立体の表面積の基本

表面積とは？

表面積とは立体を構成する全ての面の面積を合わせた値です。

外側の面の面積だけでなく、地面と接する底面も全て足して求めます。

表面積を求める際は、底面の面積をさす底面積と側面の面積をさす側面積をそれぞれ計算して足し合わせて求めることが多いです。

小6・中1で登場！中学受験でも

表面積を求める問題は小学6年生や中学1年生で主に出題されます。

中学受験で出題されることも多いので、しっかりとおさえておきたい範囲です。

学習内容

空間図形の範囲では、空間における直線や平面の位置関係や平面図形の運動による空間図形の構成などを学びます。

表面積を求める問題では、小学生では角柱や円柱の表面積の求め方を学び、中学生では新たに錐体の表面積の求め方も学びます。

学習目標

立体の表面積を扱う空間図形の分野の目標では、空間における直線や平面の位置関係を知ることや立体の表面積や体積を求める方法を考察し表現する力などを身に着けることが挙げられています。

様々な立体図形の表面積や体積の求め方について、見取り図や展開図を元に論理的に考察し表現する力を養います。

【基礎編】立体の表面積の求め方・公式

LEVEL1｜立方体・直方体

立方体の表面積の求め方

立方体の表面積は一辺×一辺×6で求められます。

立方体は12辺の長さが等しいので、1つの面の面積を求め、6面あるので6をかけると求められます。

例えば、一辺が3cmの立方体の場合は3×3×6=54c㎡となります。

直方体の表面積の求め方

直方体の表面積は2×（たて×横＋たて×高さ＋横×高さ）で求められます。

直方体も立方体と同様に6面の面積を合計したものが表面積となり、向かい合った面は同じ面積となるためこのような式となります。

例えばたて4cm、横3cm、高さ5cmの直方体の場合、表面積は2×（4×3＋4×5＋3×5)=94c㎡となります。

LEVEL2｜柱体

柱体の表面積の求め方

柱体の表面積は、側面積+底面積で求められます。

柱体には角柱や円柱があります。

それぞれの表面積の求め方をみていきましょう。

角柱の表面積の求め方

角柱の表面積は底面積×2+側面積で求められます。

側面積は底面の周りの長さ×高さで求めます。

例えば、三角柱で底面積が30c㎡、底面の周りの長さが40cm、高さ10cmの場合、表面積は30×2+40×10＝460c㎡となります。

円柱の表面積の求め方

円柱の表面積は2 × 半径 × 半径 × 3.14 + 直径 × 3.14 × 高さで求められます。

柱体の底面積は2 × 半径 × 半径 × 3.14で求められ、上面と下面の2面あるので2倍して、直径 × 3.14 × 高さで求められる側面積を足します。

例えば、半径3cm、高さ10cmの円柱の表面積は2 × 3 × 3 × 3.14 + 6 × 3.14 × 10=244.92c㎡となります。

LEVEL3｜錐体

錐体の表面積の求め方

錐体の表面積は底面積+側面積で求められます。

錐体には四角錐や円錐があります。

それぞれ表面積の求め方をみていきましょう。

四角錐の表面積の求め方

四角錐の表面積は底面積+4面ある側面の面積の合計で求められます。

底面積が40c㎡、側面積が100c㎡の時、表面積は40c㎡+100c㎡=140c㎡となります。

円錐の表面積の求め方

円錐の表面積も底面積と側面積の合計で求められます。

側面積は底面の円の直径×3.14×母線で求められます。

例えば、円の半径が3cm、母線が10cmの場合、底面積は3×3×3.14、側面積は6×3.14×10となるので2つの面積を合わせると側面積は216.66c㎡となります。

LEVEL4｜球体

球体の表面積は4 × 3.14 × 半径 × 半径で求められます。

半径が3cmの場合、表面積は4 × 3.14 × 3 × 3=113.04c㎡となります。

【実践編】立体の表面積の問題・解説

こちらでは実際に何問か例題を解き、表面積の求め方をマスターしていきましょう。

LEVEL1｜立方体・直方体

例題

図の立体の表面積を求めよ。

解説

直方体の表面積の公式は2×（たて×横＋たて×高さ＋横×高さ）です。

直方体は6面の長方形で構成され、向かい合う面の面積は等しくなるので、異なる３つの長方形の面積の合計を2倍すると表面積が求められるのです。

直方体の各辺の長さが3cm、5cm、10cmであるとき表面積は2×（3×5＋3×10＋5×10）=190c㎡となります。

LEVEL2｜柱体

例題1 三角柱

図の立体の表面積を求めよ。

解説

三角柱の表面積は底面積×2+側面積で求められます。

底面の三角形がたて6cm、横8cmの直角三角形の場合、底面積は6×8÷2＝24c㎡となります。

底面の三角形のもう一辺が10cm、三角柱の高さが5cmのとき、三角形の周りの長さは6+8+10=24cmなので側面積は24×5＝120cmとなり底面積と側面積を合わせて24×2+120=168c㎡となります。

例題2 円柱

図の立体の表面積を求めよ。

解説

円柱の表面積は底面積 + 側面積で求められます。

柱体の底面は円なので、2 × 半径 × 半径 × 3.14で底面積求められ、上面と下面の2面あるので2倍して、直径 × 3.14 × 高さで求められる側面積を足します。

半径4cm、高さ10cmの円柱の表面積は2 × 4 × 4 × 3.14 + 8 × 3.14 × 10=351.68c㎡となります。

LEVEL3｜錐体

例題1 四角錐

図の立体の表面積を求めよ。

解説

四角錐の表面積は底面積+4面ある側面の面積の合計で求められます。

底面の四角形はたて5cm、横5cmの正方形なので5×5=25c㎡となります。

側面の三角形の高さが8cmのとき側面積は4面全て同じとなり、1つの面の面積は5×8÷2＝20c㎡となるので表面積は25+20×4=105c㎡となります。

例題2 円錐

図の立体の表面積を求めよ。

解説

円錐の表面積は底面積と側面積の合計で求められます。

側面積は底面の円の直径×3.14×母線で求められます。

円の半径が4cm、母線が10cmなので、底面積は4×4×3.14、側面積は8×3.14×10となるので2つの面積を合わせると側面積は301.44c㎡となります。

LEVEL4｜球体

例題

図の立体の表面積を求めよ。

解説

球体の表面積は難しそうに思えますが、4 × 3.14 × 半径 × 半径で求められます。

半径が4cmなので、表面積は4 × 3.14 × 4 ×4=200.96c㎡となります。

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個別教室のトライ

個別教室のトライの基本情報

個別教師のトライの基本情報
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授業形態	個別指導
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出典：評判ひろば

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出典：評判ひろば

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出典：StudySearch

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自習室が埋まっている場合があるので、そこを改善していただけるとよりよいかと思います。

出典：StudySearch

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まとめ

今回は直方体や円錐、球体などの立方体の表面積の求め方を紹介し、実際にそれぞれの立体に関する例題を解説しました。

それぞれ公式を知り、なぜその公式で求められるのか理解できるとスムーズに解けるようになります。

問題演習を繰り返して表面積の求め方に慣れていきましょう。

また、表面積などを学習する際におすすめの塾として完全マンツーマン指導の個別教師のトライを紹介しました。

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