場合の数の求め方は？2つのポイントを問題演習を通して身につけよう
場合の数は、高校で新しく学習する分野です。
中学校の時にも似たような内容を扱いましたが、高校では本格的に場合の数について学習します。
今回は、基礎をきちんと理解し、スラスラ解けるようにマスターするのが目標です。
それでは、場合の数の求め方のポイントを2つに分けて解説していきます。
場合の数の求め方のポイント①「または」と「かつ」
まずは、場合の数の求め方について解説します。
場合の数は、パターンが何通りあるのかを数える問題になっています。
例えば、ジャケットとシャツの組み合わせがいくつあるのか、ハンバーガーとサイドメニュー、ドリンクの組み合わせがいくつあるのか、などのパターンの数を数えるのが場合の数の問題です。
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場合の数の求め方のポイントには2つあり、1つが「または」と「かつ」、2つ目が「選んだ後に区別するかどうか」です。
「または」と「かつ」は集合と命題の分野で学習しました。
例えば、5種類のドリンク、3種類のスイーツからメニューを選んで注文する場合を考えます。
ドリンクか、スイーツかどちらか1個しか買えない場合は、5種類のドリンクから1個選ぶか、3種類のスイーツか、それぞれ「または」という条件で繋げます。
ただ、ドリンクとスイーツの両方とも頼みたい場合は、ドリンクとスイーツのそれぞれを一緒に頼むので「かつ」の条件になります。
和の法則「または」
先ほどの例に式を当てはめてみると以下の通りになります。
「または」の条件の時は、それぞれの場合の数を足します。
要するに、ドリンクを選ぶのが5通り、スイーツを選ぶのが3通りなので、5+3=8通りとなります。
このように、「または」となり、それぞれを足す法則を「和の法則」と呼びます。
積の法則「かつ」
また、「かつ」、つまりドリンクとスイーツを同時に頼むときについても解説します。
例えば、ドリンクがAからEの5種類で、スイーツがXYZの3種類あるとします。
Aのドリンクを頼んだときに、このようにXYZ3種類のスイーツを選ぶことができます。
これはBのドリンクを選んだときもCのドリンクを選んだときも全て同じです。
よって、ここに書いてある全てのパターンを足すと5×3=15通りあります。
このように、「かつ」の条件のときに、それぞれのパターンの数をかけることを「積の法則」と言います。
それではもう1つ、例題を考えてみましょう。
ハンバーガーが8種類、サイドメニューが3種類、ドリンクが5種類ある場合、この全部の中から1個だけ何かを注文したいというときは、ハンバーガー、またはサイドメニュー、またはドリンクどれかを1個選ぶので、和の法則が成り立ちます。
なので、8+3+5=16本となります。
ただ、ハンバーガーから1個、サイドメニューから1個、ドリンクから1個と、全てから1個ずつ選んで、それをセットにして同時に買う場合、これは「かつ」の条件になって積の法則が成り立ちます。
よって、場合の数は8×3×5=120通りとなります。
CHECK
- 場合の数の求め方のポイントの1つ目は「または」「かつ」
- 「または」は和の法則
- 「かつ」は積の法則
場合の数の求め方のポイント②「選んだ後に区別するかどうか」
2つ目のポイントは、「選んだ後に区別するかしないか」を考えるということです。
例を挙げると、「AからEの文字から3文字選んで、それを1列に並べる」という問題は区別する問題です。
例えば、AからEの中から、ABCという文字を選んで、それを左から順にABCと並べるか、BCAと並べるか、のように1番目がどこなのか2番目がどこなのかを区別します。
それに対して区別しない問題では、「AからEの5文字の中から3文字を選ぶだけ」となります。
順列「選んだ後に区別する場合」
それでは「選んだ後に区別する場合」の場合の数はどのようになっているのかをみていきます。
まず、1番左にくる文字は何通りあるでしょうか。
AからEの文字の中から1個選ぶので、5通りの選び方があります。
続いて、2番目には何通りの文字の選び方があるのかというと、4通りです。
よって、3番目の文字のやり方は、さらにもう1個減って3通りとなります。
これら3つの文字は全てセットにして考える必要があります。
すると、「かつ」の条件になるので、積の法則が成り立ちます。
積の法則が成り立つので、この3つを掛け算すると、5×4×3=60となります。
このような「分けた後の区別をする」ような考え方を、順列と言います。
例えば20人の部員がいて、その20人の中からキャプテンと副キャプテンとマネージャーを1人ずつ選ぶ場合を考えましょう。
まず20人からキャプテン・副キャプテン・マネージャーの3人を選んで、選んだ3人の中でそれぞれ1人ずつ誰がキャプテン、誰が副キャプテン、誰がマネージャーかを区別します。
つまり選んだ区別があるので、これは順列になります。
順列の計算方法は、1つずつ減らしていけばよかったので、「20×19×18=6840」となります。
組み合わせ「選んだ後に区別しない場合」
それでは次に、「選んだ後に区別しない場合」についても考えてみましょう。
先ほどの例題と同じ場面を考えてみます。
ABCの3文字を選び、区別する場合は6通りの並べ方があります。
ただ、選んだ後に区別をしない場合、ただ選ぶだけの場合は、この6通りが全部同じになります。
ABCを選んだという事実は変わりません。
ここまでは選んだ後に区別する場合も区別しない場合も同じ解き方です。
ただ、ここから先、同じ計算をしてしまうと、無駄な計算を多くすることになります。
ABCだけではなく、BCDやCDEなど、他の3文字を選んだときも同じで、必ず6パターン無駄に数えることになってしまいます。
ですから、ただ選ぶだけで区別をしない場合には、まず区別をするときの場合の数を計算して、それを6で割ればいいということになります。
よって、区別しないときの場合の数は、「区別をするときの場合の数を、区別をして選んだ後の数の順列で割る」というのが、この場合の数の数え方です。
今の問題でいうと、先ほど計算した「5×4×3」を3の順列で割れば良いのです。
つまり、3×2×1=6であれば良いということになります。
よって、答えは10だと分かります。
これは先ほどの順列に対して組み合わせといいます。
ちなみに、順列と組み合わせとは、記号で描くと、例えば区別する場合が5P3、区別しない場合が5C3となります。
場合の数の練習問題に挑戦
それでは、以上を踏まえて次の練習問題に挑戦してみましょう。
「8種類のハンバーガーから2種類、3種類のサイドメニューから2種類、5種類のドリンクから2種類選んで購入する」時の場合の数を求めてみてください。
できましたでしょうか？それでは、解き方を解説します。
ハンバーガーとサイドメニュー、ドリンクをそれぞれから2個選ぶ部分に関しては、区別がありません。
なので、組み合わせです。
よって、8C2=28、3C2=3、5C2=10となります。
この場合において、選んだハンバーガーとサイドメニューとドリンクを同時にまとめて買うということは、ポイント①の「かつ」の条件です。
「かつ」の条件なので、掛け算を用いる必要があります。
さらに、この選んだあとのハンバーガー2個、サイドメニュー2個、ドリンク2個も区別ができます。
区別ができるので、それぞれを割る必要はありません。
よって、28×3×10=840になります。
これが答えです。
CHECK
- 選んだ後に区別する場合を順列という
- 選んだ後に区別しな場合を組み合わせという
- 両方混合の問題もあるので問題をよくチェックする
場合の数のおすすめの参考書・勉強法
場合の数のおすすめの勉強法は、基礎問題を繰り返し解くことです。
場合の数の問題を解く2つのポイントを見分けられるようになるには、たくさんの問題に触れる必要があります。
たくさんの問題に触れ、ポイントを見分ける練習をすることで、段々とスラスラ解けるようになっていきます。
基礎問題を何度も解いて、解き方のポイントを確実に押さえしましょう。
問題集の勉強範囲
場合の数のおすすめの勉強法は、以下の問題集を繰り返し解くことです。
応用レベルに挑戦する前に、基礎問題を繰り返し解き、解き方のコツを身につけましょう。
- 青チャート【第1章場合の数】1集合の要素の個数、2場合の数、3順列、5組み合わせ
- サクシード【第1章場合の数と確率】3場合の数⑴、4場合の数⑵、5順列、7組み合わせ⑴、8組み合わせ⑵
- 4STEP【第1章場合の数と確率】2場合の数、3順列、5組み合わせ
- Legend【第6章場合の数と確率】13集合の要素の個数と場合の数、14順列と組み合わせ
場合の数は、以上の問題集を繰り返し解くことで、解法を身につけることが非常に大切です。
-
>問題を解く際のポイントを見極めるのにかなりの時間がかかる可能性もあるので、1回で満足することなく、2回、3回と繰り返し学習しマスターしましょう。
基礎が完璧になったら応用に進み、自分の実力を高めていきましょう。
CHECK
- 場合の数はポイントを見分けるのが難しい
- 基本問題を繰り返し解法を身につけること
- 応用問題は基礎が完璧になったら取り組む
高校数学を基礎から「オンライン数学克服塾MeTa」
| オンライン数学克服塾MeTaの基本情報 | |
|---|---|
| 対象 | 中学生・高校生 |
| 授業形式 | オンライン（個別1対1、集団） |
| 特徴 | 数学克服・対策に特化したオンライン専門塾 |
1対1の指導で生徒一人ひとりに寄り添う指導
一般的な個別指導塾は講師1人につき、生徒は2人～3人の体制で指導を行いますが、オンライン数学克服塾MeTaは、1対1のマンツーマン指導を行っています。
数学の学習は、生徒によって理解の仕方や苦手な部分、成績が上がらない原因などが様々なので、各生徒にしっかりと寄り添う必要があります。
さらに、オンライン数学克服塾MeTaは生徒との対話も重視していることからマンツーマンでの指導にこだわっています。
生徒・保護者からのリアルな声
高校生になってから数学への苦手意識がついてしまったようで、ほかの科目に比べて学習意欲がなかった子ですが、まず「何が分からないのか」という根本的な部分をしっかり探って、ただやみ雲に勉強するのではなく、段階を踏んで無駄なく指導してもらえたので数学への学習意欲がかなり上がりました。
マンツーマンのきめ細かな指導と、どんな簡単に思えることでも質問できる演習の時間とをうまく組み合わせているので分かりやすい上に他の生徒と刺激し合いながら向上意欲が湧いているようで、数学の苦手意識がなくなって成績も徐々にですがアップしてきています。
やはり、苦手克服のために基礎的な部分を丁寧に指導して、計画的に進めてくれるようです。
また、どんな内容でも気軽に質問できる演習時間についても有効的に活用できそうです。
CHECK
- 1対1のマンツーマン指導での手厚い指導
- 基礎からの丁寧な指導と計画
- 気軽に質問できる環境を整備
場合の数を勉強するなら「家庭教師のアルファ」
| 家庭教師のアルファの基本情報 | |
|---|---|
| 対象 | 小学生、中学生、高校生 |
| 授業形式 | 訪問型指導、オンライン指導 |
| 特徴 | プロ家庭教師の完全個別指導なのに破格の安さ |
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家庭教師のアルファでは、生徒の学習状況や目標に合わせて最適な学習計画を提案してくれます。
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家庭教師のアルファは、春期講習を実施しています。
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| 【2025年】家庭教師のアルファの春期講習 | |
|---|---|
| 対象学年 | 幼児・小学生・中学生・高校生 |
| 春期講習期間 | 申込受付期間：2025/2/20~2025/3/31 実施期間：2025/3/10~2025/4/6 |
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そのため、料金はお子さまごとに異なります。
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家庭教師のアルファの春期講習のコース
家庭教師のアルファは、小学生～高校生を対象に春期講習を実施しています。
家庭教師のアルファの指導コースは以下の通りです。
| 家庭教師のアルファのコース | |
|---|---|
| 小学生コース 小学生コースの詳細を確認する⇒ |
やる気アップ |
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| 中学生コース 中学生コースの詳細を確認する⇒ |
目標達成までのプロセス作り |
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大学受験対策 |
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| 指定校推薦対策 | |
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上記は各コースの一部になっています。
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無料体験・学習相談の
生徒・保護者からのリアルな声
息子を担当していただいた講師の方がよかったのかもしれませんが礼儀正しく、熱心に指導していただいたため非常に好感が持てました。
志望校に対して、どこが足りないか、どこを伸ばすかを考えたスケジュールを作っていただき親である私を含めて説明していただけたので非常に信頼できました。
講師の方の印象もよかったのですが申し込み時に対応していただいた事務の方も感じがよく安心してお願いすることができました。
成績が劇的に向上しました！ 講師の教え方が非常に上手で、子供が勉強をしていて面白いと感じるようになったのはとても良かったです。
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過度にカリキュラムを詰め込みすぎているという感じもなく、個人の力量を判断した上でカリキュラム構築されていると感じました。
家庭教師ですので教室の雰囲気という訳ではありませんが、自宅で勉強させてもらっているので子供もリラックスして勉強に取り組めていると思います。
保護者の方からの評判もとても良いようです。
実際に、自分のこどもの学力が上がったと実感している方が多く見られました。
また、学習計画表を作成してくれるおかげで、子供が進んで勉強をするようになったという良い口コミも多く見られました。
子供の学習状況を不安に思っている方は、一度「家庭教師のアルファ」を利用してみてはいかがでしょうか。
繰り返し問題を解き基礎を身につけよう
今回は、場合の数の問題を解説しました。
ご紹介した2つのポイントを使い分けられるようになるだけで、一気に正解率が高まります。
まずはいろんな問題に触れて、どのような場面でどのように使い分けるのかを習得していく必要があります。
今回ご紹介したような問題集を用いて、何度も何度も練習してみてください。
【初心者でもわかる】この記事のまとめ
「場合の数」に関してよくある質問を集めました。
場合の数の求め方の2つのポイントは？
場合の数の求め方の2つのポイントは、『「または」と「かつ」の使い分け』と『選んだ後に区別するかどうか』です。これらを正確に使い分けるようになるには、基礎を繰り返し学習することが必要です。1回だけでなく、2回以上解いてマスターしましょう。場合の数の求め方の詳細はこちらを参考にしてください。
場合の数のおすすめの問題は？
場合の数を練習する際のおすすめの問題は、青チャート、サクシード、4STEP、Legendなどの基本が学習できる問題集に載っている問題です。基礎的な問題集を繰り返し学習することで、ポイントの使い分けを習得します。応用問題を解く前に基礎問題をマスターしましょう。場合の数のおすすめの問題についてはこちらを参考にしてください。
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