標準偏差の計算方法は？データの分析の基礎を練習問題を通して解説

標準偏差とは、データや確率変数などによる平均値からの散らばり具合を表す指標の一つです。

例えば、このデータはどれだけばらけているのかをexcelなどで計算して知ることのできるわかりやすい指標の一つと言っていいでしょう。

標準偏差を理解して社会に出ると大変役に立つので、学生のうちにしっかり理解しておきましょう。

 

データの読み取り方法とは？

まず、データを読み取りする方法には２つの方法があります。

その2つの方法とは、データを分かりやすく整理する方法と、データの特徴を表す数字（代表値）を計算する方法です。

それでは、この2つの方法についてわかりやすく解説します。

データを整理する方法

例えば、ここに一年生全員の身長のデータがあります。

この身長のデータだけでは、数値がばらばらにあるだけでわかりにくいですね。

そこで、この身長のデータを整理して見やすくします。

データを整理する方法としては2通りのやり方があるので学習していきましょう。

度数分布表

まず、身長に関して一定の幅の間隔を決めます。

そして特定の幅の間に何人いるかを数えるという方法です。

さらに、これを表にするともっと見やすくなります。

一目見ただけで何cmから何cmまでの人が一番多いのかがすぐわかりますね。

この表のことを「度数分布表」と呼びます。

そして、この身長を「階級」と呼び、その階級に入っている人数のことを「度数」と呼びます。

ヒストグラム

先ほどの表だけでもかなり見やすくなりましたが、例えば度数を表すときに「150cmから160cmの階級では～」と言っても問題はないのですが、この「150cmから160cm」という階級を一つの値で表すことができます。

一つの値で階級から階級について表す方法は簡単です。

それぞれの階級の平均の値のことを「階級値」と呼びます。

さらに、この表の右側にこういう列を付け加えると、それぞれの階級に属する度数の割合になります。

度数の割合は、全体に対して何パーセントぐらいがその階級に人がいるのかを表しています。

この全体に対する割合のことを「相対度数」と呼びます。

この表のように整理すると見やすくなるのですが、さらに絵で表現すると直感的にわかりやすくなります。

一番高いところが、一番人数が多いところだということがすぐ理解できますね。

縦の高さが高いほど度数が大きいという意味で、この左の帯の幅がさっきの階級になります。

このような図のことを「ヒストグラム」と呼びます。

以上がデータを整理する方法の1つ目です。

箱ひげ図

データを整理する方法の2つ目なのですが、データ中の最小値と最大値の中間値がどのくらいか、一目でわかりやすくする方法です。

まずデータを小さい順で並べます。

そうすると、最小値と最大値がわかるので、直線上に書き込みます。

そして、並べることにより、ちょうど真ん中の値がわかりますね。

それもここに記述しておきましょう。

それから、このデータの特徴を詳しく知るために、真ん中の値と最小値の真ん中の値や、真ん中の値と最大値の真ん中の値を数直線の上に印をつけます。

すると、このデータの特徴が少し見えてきます。

だから、それがしっかり理解できるように、このように少し線を書き加えると、真ん中のところに箱があって、両脇にヒゲが生えているように見えます。

これを「箱ひげ図」と呼びます。

この箱ひげ図の箱の一番左の所の値、これは真ん中の値と最小値の真ん中の値ですが、このことを「第一四分位数」と呼びます。

逆に一番右側の値の真ん中と最大値の真ん中の値を「第三四分位数」と呼びます。

また、第一四分位数と第三四分位数の範囲の間の数字の幅のことを「四分位範囲」と呼びます。

このようにデータの特徴を読み解くことができます。

以上が、データを分かりやすく整理するという方法でした。

データの特徴を表す数値（代表値）を計算する方法

データの特徴を表す値を計算する方法を紹介します。

まず代表値についてふれておきます。

代表値には「平均値」「中央値」「最頻値」の3種類があります。

平均値

平均値はデータの値を全部足して、データの個数で割ることで求められます。

中央値

中央値は先述した箱ひげ図を作るときにも使っています。

データを小さい順に並べて、その真ん中の値が中央値になります。

例えば、こんな感じになります。

このデータを小さい順に並べると、真ん中は3ですね。

例えば、より大きな数字である9をこのデータに加えたらどうなるでしょうか？

そうすると、真ん中の値が無くなってしまいます。

最頻値

最後に最頻値です。

最頻値というのは、度数が最も多い階差値のことをいい、そのデータの中で一番よく見かける数字になります。

例えば、さっきの例で見てみましょう。

さっきヒストグラムを勉強したときに、こんな図を紹介しました。

このヒストグラムでは、縦の高さに何を表していたかと言うと度数でした。

そのため、この赤で囲んだところの階級値が最頻値になります。

階級値というのは、度数分布表の階級の真ん中の値（平均値）です。

ここでは、データの特徴を表す数字を計算する方法の一つである代表値について勉強しました。

標準偏差・分散とは？

データの特徴を表す数字は他にもあります。

それは、データのばらつきを表す量です。

ばらつきと言うと、少しわかりづらいので、この2つのデータを見てみましょう。

これはA組とB組のテストの結果です。

A組とB組でそれぞれの平均点と中央値を考えてみましょう。

よく見ると平均点はわかりやすくて、どちらも80点です。

では、中央値はどうでしょうか？

中央値も真ん中の値なので80点になります。

つまり、代表値は同じということです。

ですから、ここではA組はみんなが同じくらいの学力であり、B組はすごくばらついていることを表す量について計算をしてみましょう。

標準偏差・分散の計算方法

そのばらつきを計算する方法は少し大変なので、順を追って説明します。

これはB組で行っても同じになるのですが、なぜそうなるかというと、それぞれマイナスやプラスがあるからです。

マイナスの値は数値を打ち消すことになるので、ばらつきをうまく表すことができません。

ですから、このマイナスをなんとかするために、このマイナス付きの平均点との差を2乗にします。

A組とB組でばらつきを表す数値が大きく違いますね。

ただし、ひとつだけ少し不都合な点があります。

それはA組とB組のばらつきを表した数字の単位がおかしくなっていることです。

計算の途中で2乗をしたため、単位が点数ではなく点数の2乗のような、よくわからない単位になっています。

これは単位が点数という元のデータと同じため、A組は√2点ぐらいばらついているとか、B組は10√2点ぐらいばらついていると言うことができます。

標準偏差・分散の練習問題

それでは、今回の記事の内容を理解するために一度、次に表示する問題を解いてみましょう。

計算する工程はたくさんありますが、解き方が決まっているため、楽に解けると思います。

そして、このばらつきを表す数字から、さらに正の平方根をとると、こんな感じになります。

解けましたでしょうか？

今回はデータ分析について勉強しました。

そして、データの分析の中でもデータを整理する方法と特徴を表す代表的な値を計算する方法について解説しました。

標準偏差のおすすめの参考書・勉強法

標準偏差には難しい言葉や知らない言葉が出てきて、なんとなく敬遠してしまいがちです。

しかし、用語の意味さえ理解していたらかなり解きやすい分野です。

数学1のデータの分析は必須の範囲ですが、基礎さえできていれば問題なく高得点を狙えるので、しっかりと理解を深めましょう。

問題集の勉強範囲

まず、最初は理解を進めるために基本的な問題から取り組むようにしましょう。

標準偏差を勉強するためには、用語をしっかりと覚えて理解することが大事です。

また、標準偏差を含め「データの分析」にはその先に習う「統計」が待っています。

そのため、ここで重要なのは基本的なことを理解するために問題を繰り返し解くことです。

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基礎的な問題をマスターしてから応用に取り組もう

今回は、高校で習う標準偏差について、データの読み取り方法として「データの整理方法」や「データの特徴を表す数値を計算する方法」について解説しました。

標準偏差については用語をしっかりと覚えて基本的な解き方を理解することが大切です。

繰り返し問題にチャレンジしながら解き方を理解しましょう。

また、度数分布表やヒストグラムを作成することにより、データを整理してみることが更なる理解につながります。

今回の記事で理解が進んだら、徐々に難しい問題にもチャレンジしてみましょう。