【数学】一次関数の変化の割合について基礎から例題付きで解説！

今回は、1次関数数の変化の割合について取り上げていきます。

変化の割合は、意味が分かりづらいためかしっかりと理解しているお子様が少ない分野にあたります。

そこで今回は、変化の割合についての基本事項から問題の解き方まで、理解しておくべき内容を例題を用いながら詳しく解説していきます。

1次関数に苦手意識を持っているお子様や、もう一度さらっておきたいと考えているお子様は、この記事を一読することをおすすめします。

また、記事の最後には、中学生・高校生におすすめできる塾についても簡単に取り上げているので、ぜひ最後まで読んでみてください。

1次関数の変化の割合とは？

変化の割合の公式を覚えよう！

変化の割合とは、Xの増加量に対してYが増加する割合のことをいいます。

変化の割合は、次のような公式で求めることができます。

変化の割合=Yの増加量/Xの増加量

この公式は、1次関数だけでなく様々な関数において利用することができるので、しっかり暗記しておきましょう。

変化の割合を攻略しよう！

Xの増加量を知る

変化の割合を求めるには、まずXの増加量を知ることが必要です。

Xの増加量は、変化後のXの値-変化前のXの値で求めることができます。

例えば、Xが4から8に変化していたとすると、この場合のXの増加量は、

8-4

=4

というように求めることができます。

Yの増加量を知る

Xの増加量を知ることができたら、次はYの増加量を知ることが必要です。

Yの増加量も、Xと同様に、変化後のYの値-変化前のYの値で求めることができます。

例えば、Yが6から2に変化していたとすると、この場合のYの増加量は、

2-6

=－4

というように求めることができます。

今回のように、増加量は負の数になる場合もあるので注意しておきましょう。

公式に当てはめる！

Xの増加量とYの増加量を求めたら、最後は公式にあてはめていくのみです。

上記のように、Xの増加量＝4、Yの増加量＝－4とすると、この場合の変化の割合は、

Yの増加量／Xの増加量

＝－4/4

＝－1

となります。

したがって、この例の場合の関数は、Xの値が1増えるごとにYの値が－1されるという関係にあることが分かります。

1次関数と変化の割合の関係

変化の割合は「一定」

まず、変化の割合の特徴として、一定であることが挙げられます。

例えば、1次関数Y=3X+2について、XとYそれぞれの変化を表にすると、次のようになります。

X	0	1	2	3	4	・・・
Y	2	5	8	11	14	・・・

この表を見ると、Xが0から1に変化したとき、Yは2から5に変化しています。

このときの変化の割合は、3です。

さらに、Xが1から2に変化したとき、Yは5から8に変化しており、この場合の変化の割合も3です。

このように、表にしてXとYの変化を見ると、1次関数における変化の割合は一定であることがはっきりと分かります。

変化の割合と傾き

1次関数における傾きとは、1次関数のグラフにおける傾斜を決める値のことをいいます。

式でいうと、1次関数Y=aX+bにおける「a」のことを指します。

つまり、前述の1次関数Y=3X+2における傾きは、3ということになります。

そして、傾き=変化の割合という関係にあります。

傾きは、グラフの傾斜を決める値と説明しましたが、Xの増加量に対してYがどのくらい変化するかを示す値でもあります。

この値は変化の割合と呼ばれており、実際に、Y=3X+2における変化の割合は3で傾きと等しい値になっています。

グラフを書いてみよう

例題として、Y=4X-1のグラフを書いてみましょう。

1次関数のグラフを書くには、まずY軸とグラフの交点を打つことから始めます。

Y軸とグラフの交点はX=0のときのYの値であり、－1です。

したがって、(0,－1)を打ちます。

次に、XもYも整数になる点を打っていきます。

傾きが分数の場合もあるのでこのような表記にしましたが、今回は傾きは4で整数なので、X＝1を代入します。

そうするとY＝3となるので、(1,3)を打ちます。

最後に、今まで打った点を直線で結びます。

今回の場合、(0,－1)、(1,3)の2点が打ってあるのでこの2点を直線で結んでいきます。

そうすると、下のようなグラフが完成します。

例題を解いてみよう

問題1

1次関数Y=5X+3においてXの値が0から4に変化するとき、Xの増加量、Yの増加量、変化の割合をそれぞれ求めなさい。

解答解説

解答は、Xの増加量=4、Yの増加量=20、変化の割合=5となります。

まず、Xの増加量=変化後のXの値-変化前のXの値なので、Xの増加量は、

4-0

=4

となります。

次に、Yの増加量を求めるために、変化後のYの値と変化前のYの値を出します。

変化後のYの値は、X=4のときなので、Y=5×4+3=23です。

変化前のYの値は、X=0のときなので、Y =5×0+3=3です。

したがって、Yの増加量は、

23-3

=0

となります。

最後に、変化の割合は、Yの増加量/Xの増加量で求めることができるので、この式にそれぞれの増加量をあてはめます。

したがって、1次関数Y =5X+3の変化の割合は、

20/4

=5

となります。

また、変化の割合と傾きは常に等しくなるはずなので、変化の割合を求めたら、傾きと等しいか確認すると良いでしょう。

今回の場合、Ý=5X+3なので、傾きは5であり、変化の割合と等しくなっていることが分かります。

問題2

1次関数Y=8/XにおいてXの値が2から4に変化するとき、Xの増加量、Yの増加量、変化の割合をそれぞれ求めなさい。

解答解説

解答は、Xの増加量=2、Yの増加量=－2、変化の割合＝－1となります。

Y=8/Xは、一般的に反比例と呼ばれる1次関数で、分数になっているので今までよりも難しそうに感じるかもしれませんが、求め方は今まで通りです。

したがって、Xの増加量は、

4-2

=2

Yの増加量は、

8/4-8/2

=2-4

=－2

変化の割合は、

－2/2

=－1

となります。

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まとめ

今回は、1次関数の単元の中でも変化の割合について主に説明しました。

変化の割合の意味を理解し公式を正確に覚えることで、すぐに問題が解けるようになるので、まずは公式を覚えましょう。

また、変化の割合とグラフの傾きが常に等しいことや、変化の割合は常に一定となることといった特徴も覚えておくとより良いです。

グラフの書き方についても、何度も練習してスムーズに手順を思い出せるようにしておきましょう。

何度も繰り返し取り組むことで自然と解けるようになってくるので、あきらめずに学習してみることが大切です。

最初は苦手だなと思っていた問題でも、得意にすることが出来れば、後々の高校受験や大学受験で役に立ってきます。

後で苦労しないためにも、早いうちから理解を深めておきましょう。

その際に、この記事が参考になれば幸いです。

記事の最後には、中高生におすすめの塾についても少し紹介したので、塾を活用することも考慮に入れながら、学力UPを目指してみてください。