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更新日 2022.11.17

【中学数学】文字式の表し方を徹底解説!基本の解き方から難しい例題まで

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中学の数学の分野で基本の分野であるのは式による説明です。

この中学2年生から中学3年生で学習する式による説明が難しく、点数の得点源にできていない生徒が多くいるとのことです。

解き方も覚え方もわからずテストでボロボロの点数を取ってしまうことがないよう、このサイトでは練習問題の難易度から応用問題にも対応できるように、丁寧に解説をしていきます。

「式による説明」に必要な基礎知識

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倍数、偶数、奇数を文字式で表す

倍数の式

まずは文字を使用して表現する方法について解説していこうと思います。

倍数とは特定の数字をかけてあげる事で、どんな倍数も文字を使用して表現する事ができます。

ではもう少し具体例を提示していきます。

まず初めに3の倍数を表現をしたいときには3に文字をかける事で3の倍数を表現することができます。

つまり、3mの形で3の倍数として表現する事ができます。

  • 倍数の式での表し方...◯m(◯はかけたい数)

偶数の式

次に、文字を用いた偶数の式について解説していきたいと思います。

偶数ですが、偶数とは2で割り切れる数のことを偶数と言い換える事ができますよね。

つまり偶数とは常に2の倍数で構成されていることになります。

これを踏まえると、2×文字で偶数を表現する事ができ、例えば2mで偶数を表す事ができます。

  • 偶数の式での表し方...2m

奇数の式

では次は奇数を表現する場合にを考えていきます。

偶数は2mで表現する事ができますが、奇数を表現する際には少し考え方を変えないといけません。

一般的に奇数とは2で割り切れないで1余ってしまう数の事を指します。

つまり奇数とは常に1が余っている状態の数字のことを指し示す共言い換える事ができます。

これを考慮すると、2×mに1を足してあげる事で奇数を表現する事ができます。

逆に1を引いてあげる事でも奇数を表す事ができます。

つまり、2m+1もしくは2m-1の二つの方法で奇数を表現する事が可能です。

  • 奇数の式での表し方...2m+1 または 2m-1

2桁の自然数

では次は2桁の自然数の表現の方法を考えていきます。

まず2桁の自然数を文字式で表現したい時には10の位と1の位の2つの要素で構成されている事を確認します。

これを文字式で表すと、10×a+bという文字式で2桁の数字を表現する事ができます。

aに数字を入れると、その代入した数字が10の位の数字になり、bに代入した数字が1の位の数字となります。

  • 2桁の自然数の式での表し方...10×a+b

3桁以上の数、連続する数

3桁以上の自然数

では次に3桁以上の数字を考えていきます。

考え方は先ほどの2桁の自然数の表現方法と非常に似ています。

3桁の数字を文字で表現したいとなった時には100の位と10の位と1の位に分けて考えます。

そう考えると、100×a+10×b+cという式で3桁の数字を表現する事ができます。

先ほどの2桁の時と同様にaに代入した数字が100の位の数字になり、bに代入した数字が10の位の数字になり、cに代入した数字が1の位になります。

同様に1にかける数を1,000、10,000...と増やしていけば、どんな整数も表すことができます。

  • 3桁の自然数の式での表し方...100×a+10×b+c

連続する数

では次に連続する数を表現する方法について考えていきます。

これを文字で表現するには、文字式に表現した式に+1もしくは-1をしてあげる事で連続した数字を表現する事ができます。

具体的には、mとm+1で連続した2つの数字を表現する事ができます。

  • 連続した数の表し方...m、m+1

✔偶数は2×mで表せる/p>

✔奇数は2×m+1で表せる

✔文字前に倍数にしたい数字をつけるとでどんな倍数でも表せる

「式による説明」のポイントと手順

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文章を3分割する

では文章を3分割するとは一体どんな事なのか考えていきます。

それは、式による説明は3つの要素で構成されているという事です。

1つ目の構成要素としては、文字を使って式にする事、2つ目の構成要素としては計算する事、そして最後は計算の結果から読み取れる結論部分の以上の3つの構成要素に分けて考える事ができます。

  • 文字を使って式にする
  • 計算する
  • 計算の結果から読み取れる結論部分

文字で表す

実際の文章にして、文字で表す事について考えていきます。

では、次の文章を見て考えてみましょう。

3つの連続する偶数の和は3の倍数になる。

これを構成要素に分けて考えます。

1つ目の構成要素である文字式に言い換えると、3つの連続する偶数は2n,2n+2,2n+4の3つの式となります。

このように、文章に書かれている事を文字を利用して同じ意味を満たすように作り上げる事を文字で表すという事が出来ます。

計算部分に従う

次に、先ほどの文を利用して、文字式に言い換えたものを実際に計算してみると次のようになります。

2n+(2n+2)+(2n+4)=6n+6

以上のように計算する事ができます。

そしてこれをさらに変形すると3(2n+2)と変形する事ができます。

結論と作り上げた式をあわせて証明

3つ目の構成要素ですが、先ほど計算した結果から一体何を導き出す事ができるのか考えていきます。

すると、3(2n+2)という式からどんな数字を文字nに代入しても3がかけられていることから、この文字式は常に3の倍数を表している事がわかります。

つまり、「3つの連続する偶数の和は3の倍数になる。」という文章は文字式で導き出す事ができた通りに正しいと証明する事ができます。

✔まずは文章を文字式で表す

✔文字式を計算して整理する

✔計算の結果から結論を導き出す

【頻出3題】式による証明の例題と解説

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連続した和の例題

ではまず初めに連続した和に関する問題を解説していきます。

そこで今回解いてもらう問題はこちらになります。

連続した4つの整数の和は偶数になる事を証明せよ

これをまず初めに文字式に言い換えると、n,n,n+1,n+2,n+3と言い換える事ができます。

これを計算してまとめていくと、4n+6とまとめる事ができます。

これをさらに変形させていくと、2(2n+3)と変換する事ができます。

この文字式からnに整数が代入される場合には、常に2がかけられている状態なので、連続した4つの整数の和は偶数になると言い換える事ができます。

位数を変える例題

次に、位の数字を変える場合について考えていきたいと思います。

そこで考えていきたい問題はこちらです。

2桁の自然数の10の位と1の位を入れ替えた数の和は11の倍数になる事を説明せよ。

これを文字式に言い換えると、数字を入れ替える前の文字式が10a+bで、入れ替えた後の数字が10b+aと言い換える事ができます。

これを計算していくと11a+11bとなり、これをさらに変形すると11(a+b)と言い換える事ができます。

この文字式の結果a、bそれぞれに整数が代入された場合常に11がかけられている状態ですので、2桁の自然数の10の位と1の位を入れ替えた数の和は11の倍数と言い換える事ができます。

商の余りが出る例題

次は商の余りが出る場合の式の表現の仕方について考えていきます。

今回ある整数mを4で割った時の数がaでその余りをbとします。

これを文字式として表現すると、m=4a+bと表現する事ができます。

この際に注意して欲しいのが、あまりとなる条件が(b<4)の条件を常に満たす事です。

つまり、余りが常に割る数を下回っている条件を満たしている事を考える必要があります。

✔一つ一つの数の言い換えを考えてからまとめる

✔まとめた文字式はできるだけ簡潔にまとめる

✔条件が必要な場合もあるので注意が必要

中学におすすめの家庭教師

家庭教師のアルファ

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家庭教師のアルファの基本情報
対象学年 幼稚園〜高卒生
対象地域 対面:東北・九州・四国などの一部地域を除く全国29都道府県
オンライン:全国
授業形態 派遣/オンライン
特徴 プロ家庭教師によるオーダーメイド指導

授業形態・特徴

家庭教師のアルファの授業形態は、基本的に1対1の対面式家庭教師サービスで、オンライン指導にも対応しています。

そのため、部活に力を入れたい生徒や、定期テストで高得点を取りたいなどの生徒の要望に沿ったプランを考えてくれるのが魅力的な部分となっています。

特徴としては、プロ家庭教師によるオーダーメイド指導が挙げられます。

生徒の理解度や性格、家庭環境など、一人ひとり異なるさまざまな要素と向き合い、その生徒にぴったりの指導を完全オーダーメイドで提供します。

コース・料金について

コース 月間指導料金(税込)
小学生コース 8,800円~
中学受験コース 11,440円~
中学生コース 8,800円~
中高一貫コース 11,440円~
高校生コース 12,320円~
あるふぁるふぁ(幼児)コース 9,900円~

※料金は自社調べにより、あくまで目安として参考にしてください。

家庭教師のアルファの料金は以下の通りになっています。

中学生コースの最低料金は8,800円と、お求めやすい価格で授業を提供しています。

また、入会費が無料の上に紹介料も無料なので、かなりお得に家庭教師サービスを受けることができます。

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家庭教師ファースト

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家庭教師ファーストの基本情報
対象学年 幼児・小学生・中学生・高校生
対象地域 全国(オンライン含む)
授業形態 マンツーマンの対面・オンライン指導
特徴 一人一人に合わせたオーダーメイドの段階別指導

授業形態・特徴

家庭教師ファーストの授業形態は、マンツーマン指導による家庭教師サービスとなっており、オンラインでの指導にも対応しています。

特徴としては、オーダーメイドの段階別指導を行ってくれることです。

生徒がつまずいている原因を追及し、さかのぼり指導勉強法の提案などにより、生徒の苦手分野をしっかりと克服し、得意分野を伸ばしてくれます。

コース・料金について

以下、中学生コースの料金情報になります。(料金は税込価格です。)

家庭教師ファーストは全コースの入会金、月会費が無料となっており、毎月の負担は月謝と交通費のみです。

コース名 60分×月4回 90分×月4回 120分×月4回
補習 9,900円 14,740円 19,580円
ベースUP 14,960円 20,790円 27,280円
一貫校/英検A 16,720円 24,420円 31,680円
英検B 19,800円 28,380円 36,080円
プレミアム不登校/発達障害 22,000円 33,000円 44,000円
プロ≪スタンダード≫ 26,400円 39,600円 52,800円
プロ≪アドバンス≫ 35,200円 52,800円 70,400円

中学生コース以外の料金は家庭教師ファーストのホームページをご参考ください。

また、オンライン授業の場合は、一回につき小学生2500円~、中学生2800円~、高校生3100円~となっています。

お得な割引により料金が変わることもあるので、詳細は家庭教師ファーストのホームページをご覧ください。

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家庭教師のトライ

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家庭教師のトライの基本情報
対象学年 小学生・中学生・高校生
対象地域 全国47都道府県
授業形態 派遣/オンライン
特徴 「分かったつもり」を防ぐ独自の学習法

授業形態・特徴

家庭教師のトライでは、マンツーマン指導の効果を最大限に発揮するべく、生徒が教師に習った内容を自分の言葉で説明するダイアログ学習法を採用しています。

そのため、生徒が学習内容を分かったつもりになったまま放置してしまう事態を防ぎ、理解が曖昧な箇所や苦手な部分を集中的に対策することができるのです。

講義をただ聞くだけの授業では乗り越えられない苦手をしっかりと克服することができる点が家庭教師のトライの強みだと言えるでしょう。

コース・料金について

コース 月額指導料金
中学受験対策コース 要お問い合わせ
小学生向けコース 要お問い合わせ
中高一貫専門対策コース 要お問い合わせ
高校受験対策コース 要お問い合わせ
中学生向けコース 要お問い合わせ
難関大合格パーソナルプログラム 要お問い合わせ
大学受験対策コース 要お問い合わせ
高校生向けコース 要お問い合わせ
医学部合格コース 要お問い合わせ

家庭教師トライのコースは大きく分けて小学生向け・中学生向け・高校生向けの3つに分かれており、さらにその中で生徒の目標や目的に合わせて細分化された多彩なコースが用意されています。

また、専任の教育プランナーが生徒1人1人の悩みや進路に合わせてオリジナルのカリキュラムを作成するため、自分に合った学習環境を確実に掴み取ることができるのです。

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まとめ

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式による説明の単元で重要なのは、文字式をどのように文章に置き換える事ができるのかを考える事でした。

簡単にまとめると、偶数を表す場合には2m、奇数を表す場合には2m+1などと考える事ができます。

文字の数や使う四則演算によってどんな数も式によって表すことができます。

つまずきやすいこの単元を克服し、今後数学に苦手を残さないようにしましょう。

この記事が皆さんの学習の助けになれば幸いです。

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家庭教師のアルファ

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【初心者でもわかる】この記事のまとめ

「式による説明」に関してよくある質問を集めました。

式による説明のポイントとは?

まず式による説明のポイントとしては文章と同じ意味になるように文字式を当てはめる事が重要なポイントとなります。式による説明のその他のポイントについての解説はこちらを参考にしてください。

式による説明で偶数と奇数はどのように文字で表せるか?

偶数を文字式で表すと、2mで表現する事ができ、奇数にする場合は2m+1で表現する事ができます。奇数の文字式での表し方などその他の式の表し方についての詳細はこちらを参考にしてください。

この記事を企画・執筆した人
-StudySearch編集部-
この記事は、StudySearchを運営している株式会社デジタルトレンズのStudySearch編集部が企画・執筆した記事です。
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