中学の数学の分野で基本の分野であるのは式による説明です。

この中学2年生から中学3年生で学習する式による説明が難しく、点数の得点源にできていない生徒が多くいるとのことです。

解き方も覚え方もわからずテストでボロボロの点数を取ってしまうことがないよう、このサイトでは練習問題の難易度から応用問題にも対応できるように、丁寧に解説をしていきます。

「式による説明」に必要な基礎知識

倍数、偶数、奇数を文字式で表す

倍数の式

まずは文字を使用して表現する方法について解説していこうと思います。

倍数とは特定の数字をかけてあげる事で、どんな倍数も文字を使用して表現する事ができます。

ではもう少し具体例を提示していきます。

まず初めに3の倍数を表現をしたいときには3に文字をかける事で3の倍数を表現することができます。

つまり、3mの形で3の倍数として表現する事ができます。

偶数の式

次に、文字を用いた偶数の式について解説していきたいと思います。

偶数ですが、偶数とは2で割り切れる数のことを偶数と言い換える事ができますよね。

つまり偶数とは常に2の倍数で構成されていることになります。

これを踏まえると、2×文字で偶数を表現する事ができ、例えば2mで偶数を表す事ができます。

奇数の式

では次は奇数を表現する場合にを考えていきます。

偶数は2mで表現する事ができますが、奇数を表現する際には少し考え方を変えないといけません。

一般的に奇数とは2で割り切れないで1余ってしまう数の事を指します。

つまり奇数とは常に1が余っている状態の数字のことを指し示す共言い換える事ができます。

これを考慮すると、2×mに1を足してあげる事で奇数を表現する事ができます。

逆に1を引いてあげる事でも奇数を表す事ができます。

つまり、2m+1もしくは2m-1の二つの方法で奇数を表現する事が可能です。

２桁の自然数

では次は2桁の自然数の表現の方法を考えていきます。

まず2桁の自然数を文字式で表現したい時には10の位と1の位の2つの要素で構成されている事を確認します。

これを文字式で表すと、10×a+bという文字式で2桁の数字を表現する事ができます。

aに数字を入れると、その代入した数字が10の位の数字になり、bに代入した数字が1の位の数字となります。

3桁以上の数、連続する数

3桁以上の自然数

では次に3桁以上の数字を考えていきます。

考え方は先ほどの2桁の自然数の表現方法と非常に似ています。

3桁の数字を文字で表現したいとなった時には100の位と10の位と1の位に分けて考えます。

そう考えると、100×a+10×b+cという式で3桁の数字を表現する事ができます。

先ほどの2桁の時と同様にaに代入した数字が100の位の数字になり、bに代入した数字が10の位の数字になり、cに代入した数字が1の位になります。

同様に1にかける数を1,000、10,000...と増やしていけば、どんな整数も表すことができます。

連続する数

では次に連続する数を表現する方法について考えていきます。

これを文字で表現するには、文字式に表現した式に+1もしくは-1をしてあげる事で連続した数字を表現する事ができます。

具体的には、mとm+1で連続した2つの数字を表現する事ができます。

「式による説明」のポイントと手順

文章を3分割する

では文章を3分割するとは一体どんな事なのか考えていきます。

それは、式による説明は3つの要素で構成されているという事です。

1つ目の構成要素としては、文字を使って式にする事、2つ目の構成要素としては計算する事、そして最後は計算の結果から読み取れる結論部分の以上の3つの構成要素に分けて考える事ができます。

文字で表す

実際の文章にして、文字で表す事について考えていきます。

では、次の文章を見て考えてみましょう。

これを構成要素に分けて考えます。

1つ目の構成要素である文字式に言い換えると、3つの連続する偶数は2n,2n+2,2n+4の3つの式となります。

このように、文章に書かれている事を文字を利用して同じ意味を満たすように作り上げる事を文字で表すという事が出来ます。

計算部分に従う

次に、先ほどの文を利用して、文字式に言い換えたものを実際に計算してみると次のようになります。

以上のように計算する事ができます。

そしてこれをさらに変形すると3(2n+2)と変形する事ができます。

結論と作り上げた式をあわせて証明

3つ目の構成要素ですが、先ほど計算した結果から一体何を導き出す事ができるのか考えていきます。

すると、3(2n+2)という式からどんな数字を文字nに代入しても3がかけられていることから、この文字式は常に3の倍数を表している事がわかります。

つまり、「3つの連続する偶数の和は3の倍数になる。」という文章は文字式で導き出す事ができた通りに正しいと証明する事ができます。

【頻出3題】式による証明の例題と解説

連続した和の例題

ではまず初めに連続した和に関する問題を解説していきます。

そこで今回解いてもらう問題はこちらになります。

これをまず初めに文字式に言い換えると、n,n,n+1,n+2,n+3と言い換える事ができます。

これを計算してまとめていくと、4n+6とまとめる事ができます。

これをさらに変形させていくと、2(2n+3)と変換する事ができます。

この文字式からnに整数が代入される場合には、常に2がかけられている状態なので、連続した4つの整数の和は偶数になると言い換える事ができます。

位数を変える例題

次に、位の数字を変える場合について考えていきたいと思います。

そこで考えていきたい問題はこちらです。

これを文字式に言い換えると、数字を入れ替える前の文字式が10a+bで、入れ替えた後の数字が10b+aと言い換える事ができます。

これを計算していくと11a+11bとなり、これをさらに変形すると11(a+b)と言い換える事ができます。

この文字式の結果a、bそれぞれに整数が代入された場合常に11がかけられている状態ですので、2桁の自然数の10の位と1の位を入れ替えた数の和は11の倍数と言い換える事ができます。

商の余りが出る例題

次は商の余りが出る場合の式の表現の仕方について考えていきます。

今回ある整数mを4で割った時の数がaでその余りをbとします。

これを文字式として表現すると、m=4a+bと表現する事ができます。

この際に注意して欲しいのが、あまりとなる条件が(b<4)の条件を常に満たす事です。

つまり、余りが常に割る数を下回っている条件を満たしている事を考える必要があります。

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まとめ

式による説明の単元で重要なのは、文字式をどのように文章に置き換える事ができるのかを考える事でした。

簡単にまとめると、偶数を表す場合には2m、奇数を表す場合には2m+1などと考える事ができます。

文字の数や使う四則演算によってどんな数も式によって表すことができます。

つまずきやすいこの単元を克服し、今後数学に苦手を残さないようにしましょう。

この記事が皆さんの学習の助けになれば幸いです。