高校数学の二次関数には、さまざまな内容が含まれています。

基本形や平方完成などの基本的な部分だけでなく、それを活用した応用問題も数多くあります。

ただ、基本を1つずつ理解すれば、応用問題にも太刀打ちできる力を養うことができます。

今回は、高校数学の二次関数のうち、二次関数の最大・最小、二次関数とx軸の共有点、二次不等式について解説します。

二次不等式とは？

ここからは、二次不等式について解説します。

二次不等式とは、最高の次数が2であるような不等号の入った式のことです。

ax²+bx+c＜0（a,b,cは定数、a≠0）のように、xについての二次式になる時「xの二次不等式」といいます。

二次不等式と解の範囲

二次不等式の解の範囲は、（左辺）=0が解をもつかに応じて下記のようになります。

二次不等式は解き方のパターンを覚える

二次不等式の解き方は、パターンが決まっています。

手順は4つあるので、1つずつ確実に理解をしていきましょう。

ここまでが手順の半分となります。

理解できているでしょうか？

理解できていないという方は、もう一度最初に戻って見直してみてください。

では、手順の後半に入ります。

二次不等式の計算問題

では、二次不等式の練習問題に挑戦しましょう。

二次関数の応用問題の解き方は？

ここでは、二次関数の応用問題である、二次関数の最大・最小、二次関数とx軸の共有点、判別式、すべての実数となる範囲・係数kの範囲について解説します。

応用問題と言っても、1つずつ解き方を理解すれば必ず解けるようになるので、焦らず見ていきましょう。

二次関数の最大・最小

次に、2次関数の最大・最小問題について、勉強していきます。

この問題を解くポイントは、グラフを描いて考えることです。

適当なグラフであったとしても、グラフの最大値と最小値はどこでしょうと言われたら、どこが最大値、最小値になるかはひと目見たらわかります。

では、もう1問例題を解いてみましょう。

このように、定義域があるかないかも重要なポイントなので、見逃さないようにしましょう。

では、練習問題に挑戦してみましょう。

グラフとx軸の共有点

次にグラフと x軸の共有点について解説します。

では、共有点のx座標はどうやって求めれば良いのでしょうか？

二次関数の式にy=0を代入すると、二次方程式の形になります。

そこで、二次方程式を解いてxの値を求めることができれば、それが共有点のx座標になります。

例題を見ていきましょう。

では、練習問題に挑戦しましょう。

続いて、もう1問解いてみましょう。

判別式Dによる場合分け

次に、判別式Dによる場合分けについて勉強していきます。

判別式Dによる解の数は下記の通りです。

二次方程式ax²+bx+c=0のbが偶数の場合は2つ目の公式を使えると時短できます。

判別式Dによる場合分け①：D＞0のとき

まず二次関数y=ax²+bx+c（判別式D>0）をグラフに書きます。

以上のように、x²の係数の正負・グラフが上に凸か下に凸かによって答えが変わるので注意しましょう。

また、上記のふたつのパターンをそのまま暗記しようとすると混同してミスを誘発する恐れがあるため、グラフを書いて考えることがおすすめです。

判別式Dによる場合分け②：D=0のとき

ちなみに、a＜0の場合は、ax²+bx+c＞0は解なし・ax²+bx+c＜0はx≠αとなります。

気になる方はグラフを書いて証明してみましょう。

判別式Dによる場合分け③：D＜0のとき

二次方程式の判別式Dが負になるとき、y=ax²+bx+cのグラフはx軸と交わりません。

つまり、D＜0のときは常に0より大きいか、常に小さいかのどちらかになります。

また、a＜0で下に凸なグラフになるときは、常に0より小さくなります。

よって、ax²+bx+c＞0は解なし

ax²+bx+c＜0の解はすべての実数

混同しやすい内容ですが、グラフを書くことで解なしとすべての実数が反対になってしまう等のミスを防ぐことができるので、必ずグラフを書くことを推奨します。

すべての実数となる範囲

二次不等式の問題で「すべての実数となる範囲を求める問題」が頻出問題なので、できるようにしておきましょう。

「すべての実数となる範囲を求める問題」では判別式Dを使うのが基本です。

解がすべての実数になる条件がわからない方はこちらから復習しましょう。

係数kの範囲を求める

この係数kの範囲を求める問題も頻出しますが苦手意識がある人も多数いるため、この問題を抑えることで他の人との点数を離すことができます。

この問題ではx²の係数がわからなくなっています。

x²の係数が正か負かによってグラフの形が変わるので、場合分けが必要です。

二次不等式はグラフを書くことで条件等がわかりやすくなるので必ずグラフを書いて条件を把握するようにしましょう。

二次不等式のおすすめの参考書・勉強法

二次不等式のおすすめの勉強法は、何度も何度も繰り返し練習することです。

二次不等式の問題の解き方は、どれも４ステップを使えば解くことができます。

問題集の勉強範囲

二次不等式のおすすめの勉強法は、以下の範囲の問題を繰り返し解くことです。

何度も解いて、解き方の「４ステップ」を自然と暗記してしまうレベルまで完璧にしましょう。

二次関数の最大・最小問題やグラフとx軸の共有点を求める問題も、手順を理解し習得することがかなり大切になります。

基本を何度も繰り返し解き、まずはこれらの問題が完璧に解けるようにしましょう。

基本が完璧になったら、共通テストレベルの応用問題に挑戦してみると良いです。

二次不等式を勉強するためのおすすめの学習塾

オンライン数学克服塾MeTa

対象	高校生
授業形式	マンツーマン形式
校舎	オンライン
特徴	数学克服に特化したオンライン専門塾

オンライン数学克服塾MeTaがおすすめの理由を2つご紹介します。

ソクラテスメソッドで数学を根本から理解

オンライン数学克服塾MeTaの授業は、対話式で行われるため、論理的思考力を身につけることができます。

論理的思考力を身につけることは、数学を理解するために重要となります。

このように、数学の本質から理解することに重点を置いているので、成績を向上することができます。

一人ひとりに合わせたアドバイス

オンライン数学克服塾MeTaでは、月に1度面談を行い、学習計画の作成を行っています。

学習計画を作成することにより、数学の学習が苦手だという方も、効率よく学習を進めることができるでしょう。

その他にも、勉強方法のアドバイスや生徒に合ったカリキュラムを提供してくれるので、数学の苦手を克服したい方におすすめです。

東京個別指導学院

対象	小学生・中学生・高校生
授業形式	個別指導
校舎	首都圏・関西圏・愛知・福岡
特徴	35年以上の指導歴を持つ信頼の授業

なぜおすすめなのか、その理由を2つご紹介します。

コーチングを活用した指導法

東京個別指導学院のコーチングスキルを身につけた講師が、1人1人の学習計画を立ててくれます。

また、コーチングに対話型授業をかけ合わせることによて、生徒がより主体的に授業に取り組むことができるので、 生徒自身で考える力が身につきます。

生徒に勉強を教えるというよりかは、生徒が自分で答えに辿り着けるように指導してくれます。

勉強に集中しやすい環境

東京個別指導学院では、各生徒の部活や習い事のスケジュールに合わせ授業スケジュールを組むことができます。

そのため、部活や習い事がない日に授業を入れたり、逆に部活や習い事が終わったあとに入れたりするなど、 時間を有効に使うことができます。

また、授業当日に急な予定が入ってしまっても、授業の開始前であれば変更が可能です。

東京・関西個別指導学院の春期講習

東京・関西個別指導学院では、今年も春期講習を実施しています。

春期講習の概要は以下の通りです。

東京・関西個別指導学院の春期講習概要
日程	2025年3月18日〜2025年4月7日
指導形態	個別指導
対象学年	小学生・中学生・高校生
対象科目	全科目
時間割	自由に時間帯・通塾回数を設定可能
料金	＼入会金無料／ 授業料シュミレーション

東京・関西個別指導学院では、2025年3月18日から2025年4月7日まで春期講習を実施しています。

春休みの間に苦手を克服したい方や、部活や習い事と両立しながら通塾したい方や、受験対策をしたい方など、さまざまな要望に合わせてオーダーメイドで春期講習を行っています。

時間割や授業回数も自由に組むことができるので、部活や習い事の予定が入っていても東京・関西個別指導学院の春期講習なら問題なく通うことができます。

新しい学年になり通塾を考えている方も、東京・関西個別指導学院の春期講習であれば入会金無料で1科目から受講できるので、安心して通塾をスタートできます。

東京・関西個別指導学院の春期講習の料金は以下の通りです。

東京・関西個別指導学院の春期講習の料金
入会金	無料
授業料	授業料シュミレーションで確認⇒
教材費

東京・関西個別指導学院は、入会金が無料です。

そのため、春期講習だけ東京・関西個別指導学院に通いたいという方も、入会金を払う必要がないため、どなたでも通いやすい講習となっています。

授業料は、オーダーメイドのカリキュラムにより一人ひとり金額がことなるため、詳細は公表されていませんが、公式サイトにある無料でできる「授業料シュミレーション」を使えば、授業料を確認することができます。

ぜひ公式サイトから、授業料を確認してみましょう。

ここからは、学年別で、東京・関西個別指導学院の春期講習の指導内容を見ていきましょう。

春期講習のコース内容の一例
小学生のコース コースの詳細を確認する （公式サイトへ）	・総復習や苦手克服 ・中学受験 ・学習習慣定着など
中学生のコース コースの詳細を確認する （公式サイトへ）	・苦手克服や学力アップ ・高校受験対策 ・新学習指導要領に応じた学習補強など
高校生のコース コースの詳細を確認する （公式サイトへ）	・一般選抜 ・推薦型選抜、学校推薦型選抜 ・資格検定対策 ・内部進学対策など

上記は一例になります。

東京・関西個別指導学院は、上記のコース以外にもそれぞれの目的や目標に合わせて、柔軟に指導内容を設定しています。

学習プランや指導内容でご相談がある方は、ぜひ東京・関西個別指導学院までお問合せください。

基本を丁寧に身につけ練習問題に取り組もう

今回は、二次不等式を含む二次関数の応用問題の解説をしました。

今回の内容は、解き方を着実に理解し、何度も復習すれば確実に習得できる分野です。

応用問題だからといって避けるのではなく、一つずつ丁寧に理解を進めていきましょう。

基礎的な問題を完璧にし、共通テストレベルの問題にも挑戦してみてください。

【2025年】春期講習実施中

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