二次不等式と解の範囲

ax²+bx+c（a＞0）について、

1⃣ax²+bx+c=0が解p,q（p>q）をもつ場合

①二次不等式ax²+bx+c＞0の解の範囲はx＜q, p＜x

②二次不等式ax²+bx+c＜0の解の範囲はq＜x＜p

2⃣ax²+bx+c=0が解をもたない場合

③二次不等式ax²+bx+c＞0の解の範囲は全ての実数

④二次不等式ax²+bx+c＜0の解なし（xを満たす解はない）

①下記のいずれかの形を用いて二次不等式を解く

1.ax²+bx+c＜0

2.ax²+bx+c＞0

②①で求めた値を用いてグラフを書く

③不等号の向きに注意して、書いたグラフにおいて範囲をみつける

④みつけた範囲のxの範囲を答える

今回は「x²‐3x>-2」を例題にしながら進めていきます。

1つ目の手順では、「xを用いた式【不等号】0」の形にします。

問題では右辺にあった3xを左辺に持ってくることで、「x²-3x+2>0」という形を作ります。

2つ目の手順では、「y=xの式」のグラフを描きます。

ただ、そこまで厳密なグラフを書く必要はありません。

頂点の座標は求めなくて良いので、x軸との共有点の座標だけを求めましょう。

3つ目の手順では、描いたグラフにおいて、0より大きい部分（不等号の向きによっては、0より小さい部分の時もあります）をなぞってください。

今回の問題は、「x²-3x+2>0」となっていますが、「y=xの式」とおいたことで、「y>0」という条件にもなっています。

よって、yが0より大きい部分をなぞります。

4つ目の手順では、なぞった部分のxの範囲を答えます。

今回でいえば「x<1,x>2」となります。

この4つの手順を踏むことで二次不等式は確実に解けるようになります。

「3x²-x+1≦x²+3x」を解いてください。

できましたか？先ほどの4つのステップに沿って説明します。

まず「2x²-4x+1≦0」とします。

続いて「y=xの式」のグラフを描きますが、現在の形ではx軸との共有点の座標が分かりません。

そのため、「0=2x²-4x+1」の二次方程式を解き、共有点の座標を求める必要があります。

二次方程式を解くと、x=(2-√2/2,0),(x=2+√2/2,0)がx軸との共有点の座標となります。

これに従い、ざっくりとしたグラフを書いてみましょう。

次に、グラフの0より小さい部分をなぞってください。

今回は「≦」なので、0より小さい部分をなぞることになります。

4つ目の手順では、なぞった部分のxの範囲を答えます。

すると、2-√2/2＜x＜2+√2/2という答えが出ます。

【例題】

「y=(x-1)²+2」の最大値、最小値を求めなさい。

まず、この二次関数のグラフを書きます。

もしグラフの書き方を忘れてしまった場合は、必ず復習してくださいね。

グラフを書くと、(1,2)を頂点とする下に凸のグラフとなります。

このグラフにおいて、頂点である(1,2)が1番下にあるので、最小値となります。

よって、xが1のとき最小値2が答えです。

では、最大値は何かというと、実はありません。

グラフは便宜上、途中で切れていますが、本来はずーっと続いています。

そのため、どこが最大かを判別することができないのです。

よって、最大値は？と聞かれたら、「なし」と答えましょう。

【例題2】

「y=(x-1)²+2 (-1≦x≦4)」の最大値、最小値を求めなさい

二次関数自体は、先ほどの例題と同じなのですが、右にxの範囲が示されています。

これを定義域と呼ぶのですが、これがあると状況が変わってきます。

グラフを書いてもいい部分がこの定義域の範囲内だけになります。

よって、同じ形のグラフでも端っこが少し切れます。

最小値は、先ほどと同様に(1,2)の場所ですが、今回は端があるので最大値も出せます。

一番高いところが最大値になるので、 X が4のときの最大値11です。

【練習問題】

「y=-2(x+1)²+3 (-2＜x≦2)」の最大値、最小値を求めてください。

できましたか？解答と解き方を解説します。

まず、平方完成をする必要があります。

平方完成をすると、aが-2、pが-1、qが3であることがわかります。

そのため、この二次関数は、(-1,3)が頂点である上に凸のグラフであることがわかります。

そして、定義域を確認すると、x=-1のとき最大値3、x=2のとき最小値-15を取ります。

【例題】

「y=x²-3x+2」についてのグラフとx軸の共有点のx座標を求める問題です。

解き方としては、yに0を代入し、0=x²-3x+2という二次方程式の解を求める方法になります。

すると、計算式としては以下のようになります。

0=x²-3x+2

0=(x-1)(x-2)

X-1=0, x-2=0より、x=1,2

この流れがスムーズにできない方は、二次方程式の解き方を復習することをおすすめします。

【練習問題】

「y=x²-x-2」のグラフとx軸の共有点の座標を求めてください。

できましたか？では、解答と解き方を見ていきましょう。

今まで通り、yに0を代入して二次方程式にした状態で計算をしていきます。

0=x²-x-2

0=(x-2)(x+1)

x=-1,2

よって、答えは(-1,0),(2,0)となります。

【練習問題2】

「y=2x²+x-2」のグラフとx軸の共有点の座標を求めてください。

できましたか？解答と解き方を見ていきましょう。

こちらは、1問目とは異なり因数分解で求めるのが難しい式です。

そのため、解の公式を利用して解くことになります。

解の公式を利用して解くと、x=-1±√17/4

よって、答えは(-1-√17/4,0),(-1+√17/4,0)となります。

二次方程式ax²+bx+c=0に対して、判別式D=b²-4ac

二次方程式ax²+2bx+c=0に対して、判別式D/4=b²-ac

①D＞0のとき・・・2つの異なる実数解をもつ

②D=0のとき・・・1つの実数解（重解）をもつ

③D＜0のとき・・・実数解をもたない

(ⅰ)a>0の場合

a＞0より、グラフは下に凸のグラフであり、D＞0より解を2つもつため、x軸と2つの点で交わります。

この2つの接点のx座標をそれぞれα,β（α＜β）とします。

ax²+bx+c＞0となるのは、y=ax²+bx+cがy=0（x軸）より上にある時のため、x＜α, β＜x

反対にax²+bx+c＜0となるのは、y=ax²+bx+cがy=0（x軸）より下にあるときのため、α＜x＜β

よってa＞0, 判別式D＞0で、解α,β（α＜β）とするとき、

ax²+bx+c＞0の解はx＜α, β＜x

ax²+bx+c＜0の解はα＜x＜β

（ⅱ）a＜0の場合

a＜0より、上に凸のグラフになり、D＞0より解を2つもつため、x軸と2つの点で交わります。

この2つの接点のx座標をそれぞれα´,β´（α´＜β´）とします。

ax²+bx+c＞0となるのは、y=ax²+bx+cがy=0（x軸）より上にある時のため、α＜x＜β

反対にax²+bx+c＜0となるのは、y=ax²+bx+cがy=0（x軸）より下にあるときのため、x＜α, β＜x

よってa＜0, 判別式D＞0で、解α,β（α＜β）とするとき、

ax²+bx+c＞0の解はα＜x＜β

ax²+bx+c＜0の解はx＜α, β＜x

D=0のとき、y=ax²+bx+cのグラフはx軸と接することになります。

接している点のx座標をαとすると、x=αのときのみ0になり、それ以外は0より大きくなります。

よって、ax²+bx+c＞0の解はx≠αとなります。

また、すべてのxにおいて0以上のため、ax²+bx+c＜0は解なしということになります。

a＞0で下に凸なグラフになるときは、常に0より大きくなります。

よって、ax²+bx+c＞0の解はすべての実数

ax²+bx+c＜0は解なし

【例題】

二次不等式x²+4x+k＞0の解がすべての実数となるkの範囲を求めなさい。

【解説】

まず、y=x²+4x+kとします。

次にy=x²+4x+kの判別式をDとし計算します。

D

=4²-4・1・k

=-4k+16

x²+4x+k＞0の解がすべての実数になるためには、D＜0の場合のため

-4k+16＜0

k-4＞0

k＞4

【例題】

kを定数とする。

次の二次不等式の解がすべての実数となるようなkの範囲を求めなさい。

kx²-6x+2＞0

【解説】

y=kx²-6x+2とおいてグラフとx軸との交点について考えます。

(ⅰ)k＞0のとき

x²の係数が正→グラフは下に凸

kx²-6x+2＞0がすべての実数となるためには、y=kx²-6x+2がx軸と接するか・交わらなければいいということになります。

kx²-6x+2=0の判別式をDとおくと、

D/4

=(-3)²-k・2

=6-2k

D≦0より、

6-2k≦0

-2k≦-6

k≧3

(ⅱ)k=0のとき

kx²-6x+2にk=0を代入すると、

-6x+2

不等式-6x+2≧0を解くと

-6x≧-2

x≦1/3

したがって、k=0のとき解の範囲はx≦1/3となり、すべての実数とはならないため不適です。

(ⅲ)k＜0のとき

x²の係数が負のとき、グラフは上に凸となる。

このとき、kがどのような値でもグラフは下に伸びるためy＜0となる部分が存在します。

したがって、k＜0のとき、すべての実数が解となることはないため不適。

(ⅰ)~(ⅲ)より、求めるkの範囲はk≧3

答え：k≧3