本記事では高次方程式についてご紹介します。

高次方程式は高校数学で習います。

複雑だと思われる高次方程式ですが、一度解き方を知れば、後はスムーズに解くことが可能です。

因数分解について基本的な知識があれば誰でも解けるため、まずは挑戦してみましょう。

因数分解がわからない方は、そこから理解を深めていって下さい。

高次方程式が解けないと悩んでいる方は、この記事で一緒に理解を深めていきましょう。

 

高次方程式とは？

高次方程式（こうじほうていしき）とは、次のようなものです。

xが3乗や4乗になっているような、今までの解き方では解けなかった方程式のことです。

基本的に方程式というのは、掛け算の形=0の形に変形できれば、どれか一つは必ずゼロになり解きやすくなります。

これを高次方程式でも同じ考え方で行います。

高次方程式は難しいイメージがありますが、因数分解を理解し、因数定理ができれば解くことが可能です。

高次方程式の解き方

高次方程式は、いわば三次式を含む方程式のことです。

今まで習ってこなかった方程式であるため、ややこしいと感じるかもしれません。

しかし、方程式を解く際の意味がわかっていれば、応用して高次方程式も解くことができます。

ここでは例題を混ぜながら高次方程式の解き方を見ていきましょう。

因数定理を使用する

高次方程式は複雑というイメージがあるかもしれませんが、実際解くときは、2次方程式のときと同じ考え方です。

方程式というのは「掛け算の形=0」というふうに変形できれば、どれか1つは必ず0になるため解きやすくなるという法則があります。

これは高次方程式の際にも使用します。

ただし、今までは因数分解の方法が分かりませんでした。

そこで使用されるのが因数定理です。

因数定理は高次方程式を解くとき、必ず必要となるものであるためしっかりと抑えておきましょう。

具体例①

ここでは、具体例を交えてみていきましょう。

x3-2x2-5x+6=０

答えは次のとおりです。

xに2を代入すると左辺は0になるため、左辺はx-2を因数に持ちます。

左辺をx-2で割ります。

このように因数定理を利用して=0になりました。

因数定理を使用すれば、難しいことなく解くことができます。

具体例②

ここまで習ったことを基に、次の練習問題を解いてみましょう。

この問題も因数定理を使用して、因数分解をします。

3x3-4x2-5x+2=0

因数分解をする際は、xの中に入れて0になる数を探さなければなりません。

もしも探すのが難しいときは次で探すことができます。

絞り込んで探していくと見つけやすくなりおすすめです。

これを例題でxの中に入れて0になる数を見つけ、因数分解をしたら次のようになります。

因数分解をしてみると片方の式は二次方程式になっています。

二次方程式は、これ以上因数分解が出来ない形です。

こちらが0になるということは解の公式を使用し、答えを出すことができます。

具体例③

次数が4になっている場合の問題の解き方についても見ていきましょう。

例題はこちらです。

解と係数の関係

高次方程式の解き方の次は、解と係数の関係について見てみましょう。

解と係数の関係は二次方程式と三次方程式で証明の仕方が多少変わります。

後ほど詳しく解説しますが、二次方程式の場合は解の公式と因数定理+係数比較を使用しての求め方ができるものの、三次方程式の場合は因数定理+係数比較で証明をします。

解と係数の関係は使いこなせるとさまざまな数学で役立つため、身に付けておきましょう。

二次方程式の場合

二次方程式の場合の解と係数の関係について考えましょう。

例えば次の二次方程式の場合で考えてみます。

簡単に表すことが可能です。

どんな二次方程式でも成り立つもので、問題を解く上で非常に役立ちます。

具体例①

先程行ったことを基に、実際に例題を解いてみましょう。

次の二次方程式について、解と係数の関係をそれぞれ計算してみて下さい。

なお、実数解はa+βだとします。

この2つを足すときは、xの係数x2の係数に-1を掛けたものです。

2つの解の積は定数項x2の係数でした。

これらを使用して実際に解いてみて下さい。

では次は、この解と係数の関係をつかった練習問題をしてみましょう。

具体例②

ここでは次の練習問題を解いてみます。

それぞれ解くと、次になります。

こちらの解と係数で出てくるa+βやa×βは、基本対称式と呼ばれる形になっています。

aとβを使用した対称式の形ですと、全てa+βやa×βで表すことができます。

この項目で挙げた式も全て対象式となっており、a+βやa×βの式に変換可能です。

(1)の式はa+βを変形することができ、変形できれば後はa+βのところに解と係数の関係で求めた数字を入れれば求められます。

残りの(2)も(3)も同様です。

この式変形は問題でよく出てくるため、暗記しましょう。

効率的な因数の見つけ方

因数定理を利用する際、xの中に入れて0になる数を見つけなければならないものの、そんなに簡単なことではありません。

すべての数を代入しても、時間がかかってしまい、テストの際は他の問題を解くことができなくなってしまいます。

しかし、効率的な因数の見つけ方を知ることで問題をスムーズに解くことができます。

高次方程式の例題を解く際にさらっと紹介したのですが、ここでもう一度詳しく触れてみましょう。

まずは有理数解を見つけよう

まずは有理数解を見つける必要があります。

効率的に因数を見つける方法は次のとおりです。

求める因数=定数項の約数最高次の項の係数の約数

例えばx3+x2-5x+3の場合、3の約数→3,1、2の約数→2,1となります。

求める因数候補は1or23or1です。

このように、ルールを使用することで予想できる組み合わせはかなり絞られます。

因数定理を利用する際は、効率的な方法で因数を見つけましょう。

なお、この後は展開をしていけば証明ができます。

実際、問題を解くときは最高次の項の係数は1になることが多く、その際は定数項の約定から探し出さなければなりません。

求める因数=定数項の約数最高次の項の係数の約数はかなり役立つため、ぜひ暗記して抑えておきましょう。

整式の割り算を筆算で行う方法も

通常の割り算のように、整式の割り算を行うことができます。

基本的には通常のわり算と同じですが、少し異なる部分もあります。

次の三次方程式で例えてみましょう。

x3+x2-10x+8=(x-1)(x2+2x-8)

この場合は、最も大きい次数の値が合うように商を書いて、整式の割り算をしましょう。

その後は因数分解も併用して、三次方程式の解を求めることができます。

先ほど紹介した求める因数=定数項の約数最高次の項の係数の約数でも求められますが、整式の割り算を筆算で行うことも覚えておくと便利です。

高次方程式をマスターできるおすすめの塾

高次方程式は、解き方を知らなければ解けないものです。

また、一度に苦手意識が生まれると、一人で長時間取り組んでも解くのが難しくなります。

その場合、数学が得意な方である塾講師に教えてもらうのがおすすめです。

塾によって、勉強が苦手な方に向けてさまざまな工夫がされています。

今回は３つの塾をご紹介します。

個別教室のトライ

個別教室のトライの基本情報
対象	幼児・小学生・中学生・高校生
指導形態	1対1のマンツーマン指導
対象地域	全国

個別教室のトライの特徴を見ていきましょう。

得点力向上のための学習システム

個別教室のトライでは、トライ式学習法を導入しています。

トライ独自の独自法で、120万人の指導実績から生まれたものです。

一人ひとりの個性や課題に応じて、様々な学習法を提案してくれます。

例えば次のようなものです。

勉強が苦手な子でも、やる気が出ない子でも、個別教室のトライならば勉強に取り組むことができます。

志望校合格はもちろんのこと、目標達成に導きます。

オーダーメイドカリキュラムの作成も魅力

個別教室のトライでは、目標達成に向けてオーダーメイドカリキュラムを作成しています。

AIを活用した科学的な学習診断と、地元や受験情報に精通した教育プランナーが目標達成のために、勉強の目標をより具体的にしたものです。

一人ひとりに合わせたオーダメイドカリキュラムを作成してくれるため、無理なく勉強ができます。

主要科目に対応しているため、項目が少ないと悩むこともありません。

東京個別指導学院

東京個別指導学院の基本情報
対象生徒	小学生・中学生・高校生・高卒生
対象地域	首都圏を中心に全250の直営教室を展開
指導方法	最大1対2までの個別指導
自習室情報	あり（教室により要確認）
特徴	「成績向上・結果」「講師」で顧客満足度の高い指導

対話型のコーチング指導

東京個別指導学院では、制との考えに寄り添った対話型のコーチング指導を実施しています。

生徒の主体性を尊重しており、生徒の苦手教科の学習に特化するような学習も可能となっています。

個別指導ならではの、手厚い指導を行ってくれます。

どこよりも勉強に集中できる学習環境作り

東京個別指導学院では、どこよりも勉強に集中できる学習環境作りを目標として、環境にこだわった自習室を教室に設けています。

授業がない日でも勉強に集中できる環境でしっかりと勉強を行うことができます。

また、分からない点がある際には講師に質問することもできるため、家よりも充実した環境で学習に取り組むことが出来ます。

高校数学克服塾MeTa

高次方程式をマスターするなら「高校数学克服塾MeTa」がおすすめです。

高校数学克服塾MeTaの基本情報
対象	高校生、浪人生、高校数学を教わっている中学三年生
授業形式	１対１のオンライン個別指導
校舎	オンラインのみ
特徴	高校数学克服のための数学専門オンライン塾

「高校数学克服塾MeTa」の特徴は大きく分けて３つあります。

それぞれの特徴について紹介していきます。

数学苦手を無くす論理的思考力

数学は苦手意識を持つ学生がとても多いです。

理由は、学校の数学は先生が問題の解き方を教えるだけの「暗記」だからです。

どのようにその解き方になったのかという「解き方の思考回路」は教えてくれません。

「なぜ？」という疑問を無くすために、高校数学克服塾MeTaは論理的思考力を伸ばすことを重視しています。

講師は、生徒との対話を第一に考え考え方や癖を観察して十分理解した上で数学の指導を始めます。

そうすることで、生徒は分からないところの暗記ではなくわかるところからゆっくり理解をしていくことができ、数学の克服や成績もアップすることができます。

個別指導とは違った演習授業

毎月１回は、指導以外に学習計画表を作成する個人面談があります。

それに基づいて、数学の問題演習を進めて分からないところがあればすぐに個別で質問できる形式になっています。

個別指導とは、また違った自分で取り組む習慣を身に着けるための授業を高校数学克服塾MeTaは取り組んでいるので、意欲的に数学の勉強ができます。

★学習計画表の詳細についてはこちらから

いつでも質問ができる環境

授業中は、個別ですぐ相談ができますが高校数学克服塾MeTaは授業以外でも質問対応をしています。

勉強中、わからないところがあると飛ばしてしまったり、辞めてしまうことがないように公式LINEを使って質問をすることが可能です。

疑問を解決しストレスを無くすことで、数学克服を目指します。

公式LINEでの質問がどのような感じなのか公式サイトに載っているので気になった方はチェックしてみてください。

まとめ

この記事では高次方程式について解説しました。

高次方程式は、因数定理が理解できれば解けるものです。

1度解き方が分かればその後はスラスラと解けるため、まずは答えを見ながらでも解いてみましょう。

また、それでもわからない方は塾へ通ってみることをおすすめします。

高次方程式がわからない、勉強が苦手、と悩んでいる方はご紹介した３つの中の塾を利用してみて下さい。

ご紹介した塾ならば、一人ひとりに合わせた勉強方法で効率よく指導します。

自分に合った学習方法で苦手な勉強を克服しましょう。