方程式については中学校から繰り返し学習していますが、高校数学ではさらに発展させた内容として、不定方程式について学びます。

不定方程式の問題を解くには、ユークリッド互除法や因数分解などの整数問題に関する理解が欠かせません。

今回は、不定方程式の特徴やその性質、4つの頻出パターンとその解き方を解説します。

また、整数問題の分野の中で苦手とする人も多いn進法についても、10進法との変換方法などをあわせて解説しています。

不定方程式とは？

不定方程式とは、解が無数に存在する方程式です。

中学数学では、7x-2y=0のような方程式にもう一本方程式を立て、連立方程式とすることで解を導きました。

それは、x,yという2つの未知数に対して方程式が2つあれば、解を1つに定められるからです。

しかし、高校数学では連立方程式とせず、不定方程式の形で出題されるのが一般的です。

この記事では、不定方程式の性質や解き方について解説します。

一般解と特殊解がある！

不定方程式には解が無数に存在すると説明しましたが、それでは数学の問題としづらいことから、実際には「整数x，yの解」 などと限定して出題されることがほとんどです。

また、不定方程式では「一般解」または「特殊解」、あるいは両方を求めさせる問題が多くあります。

ここでいう一般解とは、文字を使った一般的な解のことです。

たとえば、7x-2y=0であれば、x=2k、y=7k（kは整数）が成り立ちます。

このように、kにどのような整数を代入しても不等式が成り立つ解を一般解といいます。

一方、特殊解とは不等式が成り立つ具体的な解です。

先ほどと同じように7x-2y=0の不等式を例にすると、x=2、y=7が特殊解になります。

不定方程式の具体例

前の項では、不定方程式の解が無数に存在するという特徴や、一般解と特殊解があることについて解説しました。

それでは、不定方程式の具体例として、ここでは3つの性質を見ていきます。

不定方程式には上記の3つの性質があり、これらの性質の理解は不定方程式の問題を解くうえで欠かせないポイントです。

次の項目にてひとつひとつ丁寧に解説しますので、しっかりと目を通し、理解を深めてください。

①互いに素

不定方程式ax+by=1では、aとbが互いに素であるとき、ax+by=1 が整数解を持つという定理が成り立ちます。

互いに素とは、aとbの両方を割り切れる正の整数が1しかない、つまりaとbの最大公約数が1であるという意味です。

不定方程式ax+by=cでは解が無数に存在します。

たとえば、2x+5y=1は2と5が互いに素のため、x=-2,y=1のように整数解を持ちます。

一方、2x+6y=1という不定方程式で考えてみると、2と6には2という公約数があります。

このとき、もしx,yが整数ならば2x+6yは偶数になるため、2x+6y=1になることはありません。

よって整数解は存在しないといえます。

②ユークリッド互除法

ユークリッド互除法は最大公約数を求める際に使われる方法ですが、不定方程式の解を求める際にも役立ちます。

ユークリッド互除法は、不定方程式ax+by=1でaとbが互いに素である場合に使えます。

ユークリッド互除法で見つけた解は特殊解です。

さらに、ここから元の方程式を使うことで、一般解(x,y)=(3+7m, -2-5m)が求められます。

③因数分解

不定方程式ax+by=1でaとbが互いに素でない場合や、ユークリッド互除法が使えない場合には、因数分解を使うことで解を求められます。

たとえば、ax+by+cxy+d=0のような不定方程式の整数解を求めるにはどうしたら良いでしょうか。

このとき、まずはxとyに着目して、因数分解を行います。

一見複雑な不定方程式でも、因数分解でax+by=cの形に変形させることで解けるようになります。

不定方程式は4パターンに分けられる

不定方程式には多くのバリエーションがありますが、大学入試において出題される不定方程式は、大きく以下の4パターンに分けられます。

不定方程式ではそれぞれのパターンごとに、定番の解き方があります。

次の項目から具体例とあわせてひとつひとつ見ていきましょう。

解法を覚えてしまえば、複雑に見える問題でも慌てる必要はありません。

二元一次不定方程式

二元一次不定方程式とは、3x+2y=1のような形の不定方程式です。

この不定方程式は、右辺の定数項が1であるax+by=1の形で、かつaとbが互いに素であれば、すでに説明したようにユークリッド互除法を用いて解くことができます。

また、a,bがそれほど大きな数字でなければ、直感で式を成り立たせるx,yの組み合わせ（特殊解）を導ける場合もあるでしょう。

特殊解が導ければ、一般解を求めるのは難しくありません。

その後、与えられた定数項と等しくなるように解を定数倍することで、本来の不定方程式の解を求められます。

因数分解可能な二元二次不定方程式

続いて、因数分解可能な二元二次不定方程式の解法を解説します。

二元二次不定方程式とは、3x2+5xy+2y2+x+y+7=0のような、xまたはyの2乗を含む不定方程式です。

やり方は、すでに説明した因数分解を使って不定方程式の解を求める方法とほとんど同じです。

ただし、xまたはyの2乗がある分、少し複雑になります。

因数分解不可能な二元二次不定方程式

二元二次不定方程式でも、3x2+6xy+2y2-y+5=0のように因数分解不可能なものもあります。

因数分解ができるかどうかは、定数項を除いた2次の項を見ると判断できます。

因数分解が不可能な場合は、xまたはyに関する2次方程式と見立てることで整数解x,yを導くことが可能です。

2次方程式には、判別式D/4≧0のときに実数解を持つという性質があるのを覚えているでしょうか。

この判別式を使うことで、二元二次不定方程式が持つ整数解を絞り込めるのです。

3文字以上の分数の不定方程式

最後に、3文字以上の分数の不定方程式の解き方を解説します。

以下の問題を見てみましょう。

n進法とは？

続いて、不定方程式と同じように高校数学の整数問題でつまづきやすいn進法について解説します。

n進法というと難しそうに聞こえるかもしれませんが、10進法や2進法については聞いたことがある人も多いのではないでしょうか。

実は、10進法は私たちが普段使っている数字の数え方です。

1から10までの数字を使って数を表す方法で、10を一つのかたまりとして、位が変わるので10進法と呼びます。

同じように、2進法は2を一つのかたまりとしており、数字を表すのに0, 1の2つしか使いません。

1は10進法でも2進法でも1ですが、10進法の2は2進法では位が一つ上がり、10になります。

同様に、10進法の3は2進法では11、4は2進法で100となります。

n進法はnをひとかたまりとする数の表し方と覚えましょう。

10進法での表し方

先ほどは10進法の数字を2進法で表す方法を解説しましたが、今度はn進法で表した数字を10進法にする方法を解説します。

ここでも、2進法を例にしましょう。

2進法で表した数字を10進法に変換するには、2つのステップを踏みます。

まず手順1では、2進法で表した数字に沿って、「2×（各ケタの数）」を書きます。

次に、手順2として、手順1で書いた数字の2に右から指数0, 1,2,3,…をふっていきます。

最後に、これらをすべて足し算しましょう。

n進法では、上記の例で2をnに入れ替えることで同じように10進法に変換できます。

たとえば、3進法の211はまず「3×2 　3×1 　3×1」と書き、「 32 ×2　 31 ×1　 30 ×1」のように指数を書き入れ、合計しましょう。

10進法では22になります。

n進法での表し方

次に、10進法の数字をn進法に変換する方法を解説します。

ポイントは、変換したい10進法の数字をnで割り算し、最後の商とそれぞれの割り算の余りに着目することです。

今回は10進法を2進法に変換する方法で解説しましたが、n進法へ変換する方法も同じです。

10進法の数字を3進法や4進法で表したい場合は、数字を3や4で割り算していきます。

n進法への変換に割り算する理由は、nで割っていくことで一の位・十の位・百の位…に相当するnxの数がわかるためです。

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湘南ゼミナール

ここでは、湘南ゼミナールの基本情報や特徴をご紹介していきます。

湘南ゼミナールの基本情報
対象	小学生～高校生
授業形式	集団指導、個別指導
対象地域	神奈川、千葉、埼玉、東京

学びやすい学習環境が整備されている

湘南ゼミナールの特徴は、授業だけでなく自習などもしっかり行えるよう教室内に自習室が設けられています。

自習室は授業がなくても利用することが可能なため、学校帰りに立ち寄ったり、テスト前にテスト勉強のために使うこともできます。

また、各教室の受付スペースでは講師と生徒の交流場所として、質問対応を受け付けています。

授業を受けてわからないことがあってもすぐに解消することができるのはメリットといえるでしょう。

思考力を養う授業

湘南ゼミナールの指導は思考力を養う授業を取り入れています。

大きな特徴はテキストなしで解説を受けつつ、演習問題を解くということであり、インプットした内容を自分で考えながらすぐにアウトプットできる指導となっています。

そのため、受験期に必要となる応用力が身に付けやすくなり、同時に成績アップも目指せるでしょう。

授業前や後には各生徒に合わせて授業フォローを実施してくれるのでしっかり理解することができます。

個別教室のトライ

対象	小学生・中学生・高校生
授業形式	個別指導（マンツーマン）
特徴	トライ式学習法により効率的な成績アップを目指す個別指導塾

「個別教室のトライ」をおすすめする理由を2つ紹介します。

得点力向上のための学習システム

「個別教室のトライ」では、学んだことを着実に得点に結びつけるための学習システムを採用しています。

授業の中で「習得→習熟→演習」のサイクルを繰り返すことで、初めて学ぶ知識を定着させ、使える知識として得点力向上に結びつけるのです。

まずはマンツーマンの授業で、ひとりひとりに合わせた指導の中で学習内容の理解を深めます。

その後、学んだことを確認する振り返りを実施し、続けて問題演習を繰り返すことで得点力が養われます。

オーダーメイドカリキュラムの作成も魅力

「個別教室のトライ」では、教室長兼教育プランナーがひとりひとりの実力や目的に合わせて作成するオーダーメイドカリキュラムも魅力です。

志望校の出題傾向の分析から最短で合格を目指すカリキュラムを作成します。

さらに、これまでに120万人もの指導をしてきたデータと、心理学やカウンセリングでも使われている性格特性を分類する手法を組み合わせることで効率的に成績アップが目指せる学習方法を提案できます。

オーダーメイドカリキュラムの作成は「個別教室のトライ」ならではの特徴です。

東京個別指導学院

　

東京個別指導学院の基本情報
対象	小学生・中学生・高校生・高卒生
授業形式	1対1または1対2
エリア	東京・神奈川・埼玉・千葉

解く力をつける授業

東京個別指導学院では、授業で「わかったつもり」になるのではなく、「問題が解ける」ようになることを大事にしています。

そのため、不定方程式が苦手な方も、ただ公式などの知識を教わるだけでなく、実際に問題が解けるようになるところまで指導してもらえます。

無料のテスト対策補講

東京個別指導学院では、通常の授業に加えて無料テストで演習をすることができます。

授業で得た知識を活かせるかどうかまで確認することができるのも東京個別指導学院の強みの1つです。

オンライン数学克服塾MeTa

　

対象	高校生
授業形式	1対1のオンライン個別指導
校舎	オンライン
特徴	数学克服に特化したオンライン専門塾

「オンライン数学克服塾MeTa」をおすすめする理由を2つ紹介します。

数学克服のためのカリキュラム

MeTaは数学克服に特化しているからこそ、多様なケースに対応可能です。

そのため一人ひとりの課題・疑問にあった指導・アドバイスをしてくれます。

学習計画を毎月作成

MeTaではただ問題の解き方を説明するだけでなく、毎月の学習計画の作成もしてくれます。

3日単位で取り組む箇所を具体的に決めることで、効率的な学習をサポートします。

また、学習方法のアドバイスも実施しています。

まとめ

今回は、不定方程式について概要や解き方を解説しました。

また、n進法についても10進法との変換方法などを紹介しました。

不定方程式は、複雑に見えるものもありますが、入試問題で扱われるのは4パターンに分類することができ、それぞれに解き方があります。

パターンを覚えてしまえば、案外取り組みやすい問題は少なくありません。

問題を繰り返し解くことで頻出パターンに慣れ、実力アップにつながります。

この記事で紹介した解法を習得できたら、受験レベルの問題にも挑戦してみましょう。