絶対値記号を含んだ方程式はどう解くのか？計算方法や練習問題を解説
絶対値記号を含んだ方程式は、方程式の中でも複雑な内容を含んだ分野です。
ただ、やり方を1つずつ理解していけば必ず問題は解けるようになります。
今回は、絶対値の定義や仕組みを復習した後に、絶対値を含んだ方程式や不等式の解き方について解説します。
絶対値とは
まずは、中学校で習った「絶対値」の内容を振り返りましょう。
今回の内容では必須の部分なので、言葉の定義から丁寧に復習します。
絶対値の定義
例えば、「|3|」について考えてみましょう。
「|」に挟まれている数字である「3」は、0からどのくらい離れていますか？
もちろん「3」です。
すなわち、「|3|＝3」と表せます。
続いて、「|-3|」についても考えてみましょう。
「-3」は、0からどのくらい離れていますか？
これも「3」です。
-
「-」がついていますが、距離は同じく「3」となります。
ただ、言葉だけではあまりよくわからないと思うので、ここからは数直線を用いた解き方を解説します。
絶対値の基本的な解き方
絶対値の解き方は、さまざまなパターンがあるのですが、慣れないうちは1つのパターンに統一した方が良いです。
そこで、1番おすすめである数直線を用いた解き方を解説します。
絶対値記号の中身が、数直線上の位置を表していて、この絶対値の値そのものは、原点0からの距離を表しています。
この二つだけを使えば問題は必ず解けるようになります。
例えば、|3|の値は何でしょう。
絶対値記号の中に入ってるものが、数直線上の位置なので、3の位置は「0から右に3つ進んだ場所」となります。
この位置までの距離は、もちろん3ですね。
なので、絶対値3は3です。
続いて、|-3|の値について考えましょう。
数直線上で言うと-3の位置は「0から左に3つ進んだ場所」です。
原点からの距離が絶対値記号の値でしたね。
なので|-3|の値は3になります。
このことから、絶対値の中身である「-3」に「-1」をかけた値が答えになっていることがわかります。
次に、|x|の値について考えましょう。
Xは未知数なので、場合分けをします。
-
x＞0の場合、すなわち0より右側にある場合は、中身が「+」なのでそのまま答えになります。
x＜0の場合、すなわち0より右側にある場合は、中身が「-」なので、中身に「-1」を掛けると答えが出ます。
「|x|」は場合分けが必要であることを覚えておきましょう。
CHECK
- 絶対値は中身が「+」ならそのまま外す
- 中身が「-」なら「-1」を掛ける
- |x|はx>0とx＜0の場合分けが必要
絶対値記号を含む方程式・不等式の解き方
絶対値の基本的な解き方を思い出せましたか？ここからは絶対値記号を含む方程式と不等式の解き方を解説します。
練習問題も載せているので、ぜひ活用して内容を定着させましょう。
絶対値記号を含む方程式の解き方
まずは、絶対値記号を含む方程式の解き方を解説します。
早速、例題を使って絶対値記号を含む方程式の解き方を見ていきましょう。
|x|=3について考えてみましょう。
-
先ほど、最後に説明したように、未知数である「x」がある問題では場合分けが必要になります。
x>0の場合、中身が「+」なので、「x=3」となります。
x＜0の場合、中身が「-」なので、「-x=3」すなわち「x=-3」となります。
よって、方程式の答えは「x=±3」となります。
基本の解き方は理解できましたか？
続いて「|x-2|=3」について考えてみましょう。
絶対値の中身が、1つではなくなりました。
ただ、やり方は今までと同じです。
「X-2」が中身なので、これがプラスであるかマイナスであるかで場合分けをします。
x-2が「+」であれば、そのまま外して「x-2=3⇨x=5」となります。
X-2が「-」であれば、中身に-1をかけるので、(X-2)×(-1)となります。
計算をすると、-x+2=3⇨x=-1となります。
練習問題に挑戦
では、絶対値記号を含んだ方程式の練習問題を解いてみましょう。
「|2x-3|=11」の方程式を解いてください。
答えられましたか？では、解き方と解答を見てみましょう。
まず、中身の「2x-3」がプラスであるかマイナスであるかで場合分けをします。
中身が「+」のときは、「2x-3=11⇨x=7」となります。
中身が「-」のときは、「-(2x-3)=11⇨x=-4」となります。
絶対値記号を含む方程式の応用問題
次に、絶対値記号を含んだ方程式の応用問題に挑戦します。
それぞれについて説明します。
絶対値の中と外に未知数がある問題
早速、例題を見ていきましょう。
「|x+3|=2x」について考えます。
問題が複雑になっていますが、基本の考え方は同じです。
絶対値の中身である「x+3」がプラスであるかマイナスであるかで場合分けをします。
中身が 「+」、すなわちx+3≧0⇨x≧-3のときは、「x+3=2x⇨x=3」となります。
中身が 「-」、すなわちx+3＜0⇨x＜-3のときは、「-x-3=2x⇨x=-1」となります。
ここまでは、今までと同じです。
この観点から見ると、「+」の場合、x=3はx≧-3の範囲に含まれますが、「-」の場合、x=-1はx＜-3の範囲に含まれません。
-
範囲に含まれていない場合、答えとして成立しないので、今回の答えは「x=-3」になります。
このように、絶対値の中と外に未知数がある問題では、答えを求めた後に範囲に含まれているかどうかの確認をしましょう。
絶対値記号を含む式が2つ以上ある問題
早速、例題を見ていきましょう。
「|x-1|+|x-3|=4」について考えます。
この問題は、まず場合分けにコツがあります。
絶対値記号の中身がプラスとマイナスで切り替わるポイントを探すというものです。
|x-1|においては、Xが1のときに0になって、Xが1より大きければプラス1よりも小さければマイナスになります。
つまり切り替わるポイントは1です。
|x-3|においては、切り替わるポイントは3です。
この切り替えポイントを数直線上に記入します。
すると、数直線がx＜1,1≦x≦3,3＜xの3つの部分に分けられることがわかると思います。
この3つのエリアにおいて、場合分けをすることが大切です。
まず、「x＜1」について考えます。
この場合、x-1もx-3もマイナスになります。
よって、「-(x-1)-(x-3)=4⇨x=0」となります。
続いて、「 1≦x≦3」について考えます。
この場合、x-1はプラスで、x-3はマイナスになります。
よって、「x-1-(x-3)=4⇨2=4」となり、答えが成り立たないことがわかります。
最後に、「3＜x」について考えます。
この場合、x-1もx-3もプラスになります。
よって、「x-1+x-3=4⇨x=4」となります。
最後に、「絶対値の中と外に未知数がある問題」と同じく、答えのチェックをします。
x<1のときx=0、x<3のときx=4で、どちらも条件を満たすので、「x=0,4」が答えとなります。
練習問題に挑戦
では、絶対値記号を含んだ方程式の応用問題の練習問題を解いてみましょう。
「|x-2|=2x-1」の方程式を解いてください。
答えられましたか？では、解き方と解答を見てみましょう。
絶対値の中身である「x+3」がプラスであるかマイナスであるかで場合分けをします。
中身が 「+」、すなわちx-2≧0⇨x≧2のときは、「x-2=2x-1⇨x=-1」となります。
中身が 「-」、すなわちx-2＜0⇨x＜2のときは、「-x+2=2x-1⇨x=1」となります
ここで、答えのチェックをすると、「+」の場合、x=-1はx≧2の範囲に含まれません。
一方、「-」の場合、x=1はx＜2の範囲に含まれます。
よって、今回の答えは「x=1」になります。
もう1問解いてみましょう。
「|x+2|+|x-1|=4x-1」の方程式を解いてください。
答えられましたか？では、解き方と解答を見てみましょう。
|x+2|においては、切り替わるポイントは-2です。
|x-1|においては、切り替わるポイントは1です。
この場合、数直線がx＜-2,-2≦x≦1,1＜xの3つの部分に分けられます。
まず、「x＜-2」について考えます。
この場合、x+2もx-1もマイナスになります。
よって、「-(x+2)-(x-1)=4x-1⇨x=0」となります。
続いて、「 -2≦x≦1」について考えます。
この場合、x+2はプラスで、x-1はマイナスになります。
よって、「x+2-(x-1)=4x-1⇨x=1」となります。
最後に、「1＜x」について考えます。
この場合、x+2もx-1もプラスになります。
よって、「x+2+x-1=4x-1⇨x=1」となります。
答えのチェックをすると、「 -2≦x≦1のときx=1」だけが成り立つことになるので、答えは「x=1」となります。
こういった難しい問題でも、1つずつ丁寧に解いていけば必ず正解することができるようになります。
何度も解いて定着させるようにしましょう。
絶対値記号を含む不等式の解き方
続いて、絶対値記号を含む不等式の解き方を解説します。
基本的なやり方は方程式と全く同じです。
絶対値記号の中身で場合分けをして、絶対値を外して問題を解きます。
例えば、「|x|＜1」という問題について考えます。
まず、Xが0より大きいか小さいかの場合分けをして、絶対値記号を外します。
x≧0のとき、x<1
x＜0のとき、-x＜1 すなわち x>-1
あとはそれぞれの不等式を解くだけです。
x≧0のとき、x＜1⇨0≦x<1
x＜0のとき、x>-1⇨-1
最後に、それぞれを合わせると、「-1＜x＜1」であり、これが答えとなります。
基本となる方程式の解き方をマスターすれば、不等式も解けるようになります。
練習問題に挑戦
では、絶対値記号を含んだ不等式の練習問題を解いてみましょう。
「|x+3|≦4」の不等式を解いてください。
答えられましたか？では、解き方と解答を見てみましょう。
まず、Xが0より大きいか小さいかの場合分けをして、絶対値記号を外します。
x+3≧0すなわちx≧-3のとき、x+3＜4⇨x＜1 すなわち-3≦x<1
x+3＜0すなわちx＜-3のとき、-(x+3)≦4⇨x≧-7 すなわち -7≦x<-3
あとはそれぞれの不等式を解くだけです。
最後に合わせると、 「-7≦x<-1」であり、これが答えとなります。
CHECK
- 絶対値を含んだ方程式の応用問題は答え方に注意
- 絶対値を含む式が複数あれば「+」と「-」に気を付ける
- 絶対値を含んだ不等式の解き方は方程式と基本は同じ
絶対値のおすすめの参考書・勉強法
絶対値記号を含む方程式のおすすめの勉強法は、基本の解き方をマスターした後にさまざまなパターンの問題を繰り返し練習する方法です。
まずは基本の解き方をマスターしないと、さまざまな問題をやってもあまり理解ができず定着しません。
確実に定着させるためにも、時間を無駄にしないためにも、まずは基本の解き方をマスターするようにしましょう。
問題集の勉強範囲
絶対値記号を含む方程式のおすすめの勉強法は、以下の範囲の問題を繰り返し解くことです。
最初は、難しい問題には取り組まず簡単な問題を完璧に解けるようにしましょう。
- 青チャート【第1章数と式】⒊ 実数 ⒋ 1次不等式
- サクシード【第1章数と式】⒌ 実数 ⒏ 1次不等式⑴ ⒐ 1次不等式⑵
- 4STEP【第1章数と式】⒋ 実数 ⒍ 1次不等式 ⑺ 1次不等式の利用
- Legend【第1章数と式】⒉ 実数 ⒊ 1次不等式
基礎力をおろそかにした状態よりも、基礎力が身についた状態で難しい問題に取り組んだ方が成果が速く出ます。
まずは、記事や動画の内容を参考に基礎的な解き方を理解し、ここに挙げた問題を完璧に解けるように練習しましょう。
CHECK
- 基礎を完璧に解けるようにする
- 繰り返し練習しパターンを理解する
- 難しい問題は基礎が完璧になってから解く
絶対値記号を含む方程式を勉強するためのおすすめ学習塾
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基礎的な問題をマスターしてから応用に取り組もう
今回は、中学校で習う絶対値の復習、絶対値を含む方程式や不等式の解き方を解説しました。
絶対値を含む方程式や不等式では、基本的な問題の解き方をマスターすることが大切です。
繰り返し問題を解き基本的な問題がマスターできたら、さまざまなパターンの問題を解き、徐々に難しい問題にもチャレンジするようにしましょう。
今回の記事で、基本的な内容が理解できた方は、次のステップである共通テストレベルに進みましょう。
【初心者でもわかる】この記事のまとめ
「絶対値」に関してよくある質問を集めました。
絶対値の外し方とは？
絶対値の中身が「+」であればそのまま外し、「-」であれば、絶対値の中身全体に「-1」をかけて外します。数字や文字が1つでも、2つ以上でも考え方は同じです。基礎的な内容を理解することは数学を学習する上でとても大切なので、必ず理解しておくようにしましょう。絶対値の外し方の詳細はこちらを参考にしてください。
絶対値記号を含む方程式・不等式のおすすめの勉強法は？
基礎的な問題を確実にマスターすることです。基礎的な問題がマスターできていなければ、いくら難しい問題を解いても解ける可能性が低く、力にもなりません。まずは基礎を徹底して復習し、完璧になってから先に進むようにしましょう。基礎がマスターできたら、さまざまなパターンの問題を解いて、実践力を高めましょう。勉強法についてはこちらを参考にしてください。
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