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更新日 2022.8.5

因数分解とは?解の公式を使った計算方法・練習問題を詳しく解説しています

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「因数分解」は、高校の数学で最初に勉強する単元です。

中学校でも因数分解を習いますが、高校ではさらに発展的な内容を学びます。

因数分解は、高校で習う数学の基本となる部分なので、丁寧に理解していくことが大切です。

今回は、中学校で習う因数分解と方程式の復習をした後に、「たすき掛け」を使った因数分解や「解の公式」など、基礎的な計算方法について解説します。

 

方程式と因数分解の復習

まずは、中学校で習った「方程式」と「因数分解」の内容を振り返りましょう。

高校で習う数学の基礎となる部分なので、言葉の意味から丁寧におさらいします。

方程式の定義

「方程式」とは、等号(=)と未知数(x)が含まれる式のことです。

方程式の中で値がまだ分かっていない数値のことを「未知数」と言い、一般的に「x」で表されます。

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    「方程式」とは、等号(=)と未知数(x)が含まれる式のことです。

    方程式の中で値がまだ分かっていない数値のことを「未知数」と言い、一般的に「x」で表されます。

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例えば「x²+2x+1」の式には等号(=)がないため、これは方程式とは呼びません。

また、「3+4=7」の式は未知数(x)を含まないため、これもまた方程式ではありません。

それでは、「x-1=0」の式は方程式でしょうか?この式には、未知数(x)と等号(=)がどちらも含まれているため、方程式と言えます。

  • #

    「x-1=0」の未知数(x)に当てはまる数字は、「1」です。

    この「1」のように、未知数(x)に入れて式が成り立つ数字のことを「解」と言います。

    また「方程式を解く」の意味とは、「解を探す」つまり「xに入れられる数字を見つける」ことです。

「x-1=0」のように単純な式であれば解くのは簡単ですが、式が複雑になると方程式を解くのは難しくなります。

後々混乱しないよう、「方程式とは何か」「解とは何か」などの根本的な定義の理解は、学習を始める最初の段階で確実に押さえておきましょう。

因数分解とは

因数分解とは、計算式をカッコ()でくくれる「掛け算の形」に変えることです。

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それでは、因数分解が使われている式「(x-1)(x-2)(x-3)=0」の例を詳しく見てみましょう。

「(x-1)(x-2)(x-3)=0」は、3つの式「x-1」と「x-2」と「x-3」がすべて掛け算され、結果が「0」と表されています。

つまり、3つの式のうち、どれか一つは必ず答えが「0」となるはずです。

例えば、「x-1」の答えが「0」だったら「x-1=0」という式が作れます。

他の式も同じように考えると、「(x-1)(x-2)(x-3)=0」の式の「x」に入れても数式が成り立つ数字は、1か2か3です。

つまり、この方程式の解は、1か2か3になる、ということになります。

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    先ほどの「方程式の定義」で出てきた「x-1=0」の式より複雑な式でも、「掛け算の形の式=0」に書き表せれば、方程式は簡単に解けます。

このように、足し算や引き算が混ざった複雑な式を掛け算の形に書き表すことを「因数分解」と呼びます。

因数分解は中学校でも習いますが、高校の数学でも一番最初に勉強する基礎的な単元です。

中学校で習った一次方程式では、式中の文字や数字を移行すれば解を求めることができました。

しかし、高校で勉強する二次方程式では、因数分解ができなければ解を求められません。

因数分解を使った二次方程式の計算は、高校で習う他の単元の中にも度々登場します。

ここでつまずかないよう、一度基本に戻って、中学校でも習った因数分解の公式を思い出してみましょう。

因数分解の公式

中学校で習った因数分解の復習がてら、公式を確認してみましょう。

高校数学の内容に入っていく前に押さえておきたい因数分解の公式は、以下の4つです。

  • x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
  • x²+2ax+a²=(x+a)²
  • x²-2ax+a²=(x-a)²
  • x²-a²=(x+a)(x-a)

ここに挙げた因数分解の4つの公式は、いずれも中学校の頃に習った公式です。

これらの公式が分かっていないと、先の内容に進むことができません。

あやふやなものや忘れていたものがあれば、一旦立ち止まって中学校3年生のときの問題集を使って復習しましょう。

CHECK

  • 方程式とは等号(=)と未知数(x)がある式のこと
  • 因数分解とは複雑な式を掛け算の形に書き表すこと
  • まずは中学校で習った因数分解の公式を思い出そう

高校で習う因数分解の2つの解き方

中学校で習った因数分解の内容は思い出せましたか?次に、高校で習う因数分解の2つの解き方、「たすき掛け」と「解の公式」を見ていきましょう。

それぞれ練習問題も載せていますので、ぜひ復習に活用してください。

1.「たすき掛け」を使った因数分解

高校で習う因数分解の解き方の一つ目は「たすき掛け」です。

進学校に通っていた人は、中学校で勉強したことがあるかもしれません。

たすき掛けは、「6x²+13x+5」のような、中学校で習った4つの因数分解の公式では解けない式の解を見つけるときに使います。

それでは、「たすき掛け」を使って「6x²+13x+5」の式を因数分解する方法を詳しく見ていきましょう。

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たすき掛けを使うときは、「x²の前の数字」と「xがついていない数字」に注目します。

「6x²+13x+5」の場合だと、「x²の前の数字」は6、「xがついていない数字」は5です。

数字2つに注目したら、掛け算して「x²の前の数字」の6になる数字のペアと、掛け算して「xがついていない数字」の5になる数字のペアを考えます。

掛け算して6になる数字のペアは、「1と6」「2と3」「-1と-6」「-2と-3」の4つ。

掛け算して5になる数のペアは、「1と5」「-1と-5」の2つです。

数字のペアを見つけるときは、マイナスがつく数字も忘れないようにしましょう。

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数字のペアを見つけたら、2つの数字を「6x²+13x+5」の式の「x²の下」と「xがついていない数字の下」に並べます

すべてのペアを数字の下に並べたら、数字をななめに掛け算し、掛けた結果を横に書きます。

そして、横に書いた2つを足した数字が、「xの前の数字」と一緒になるまで組み合わせを探します。

「6x²+13x+5」の「xの前の数字」は13なので、足した結果が13になるまで組み合わせを探しましょう。

この、ペアを探す作業が大変ですが、根気強く探すのがポイントです。

「6x²+13x+5」の例では、「3と1」のペアと「2と5」のペアを斜めに掛けた結果が10と3になります。

そして「10+3」の計算をすると「xの前の数字」の13と同じになることが分かります。

足した結果がxの前の数字と一致しているので、この組み合わせが正解です。

ここまでくれば、あと一息です。

今度は、ななめではなく横の数字の並びに注目して式を作りましょう。

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そうすると、「6x²+13x+5」からは、(3x+5)と(2x+1)の2つの式を作ることができます。

最後に、作成した2つの式を掛け算の形に書き直します。

「6x²+13x+5=(3x+5)(2x+1)」の形になれば、因数分解の完成です。

計算結果が合っているか確かめるには、式を展開して元の式に戻す「確かめ算」を実践してみるとよいでしょう。

因数分解をしたとき、展開をして確かめる癖がついていると間違いに気づけるため、より正確な答えを求められるようになります。

練習問題に挑戦

続いて、たすき掛けを使った因数分解の練習問題を解いてみましょう。

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「2x²+x-6」の式を因数分解してください

答えは求められましたか?それでは、解き方と解答を見ていきましょう。

「2x²+x-6」の「x²の前の数字」は2、「xがついていない数字」は-6です

掛け算して2になる数字のペアは、「1と2」と「-1と-2」

掛け算して-6になる数のペアは、「2と-3」と「-2と3」です。

数字をななめに掛け算し、2つの計算結果を足した数字が、「xの前の数字」である1と一緒になる組み合わせを探します。

式の正解の組み合わせのペアは「2と-3」と「1と2」です。

今回のようにxの係数が1の場合は、数字が省略されるので注意しましょう。

「2と-3」「1と2」の組み合わせで掛け算を作ると、「2x²+x-6=(2x-3)(x+2)」となります。

これで「2x²+x-6」の因数分解が完了です。

以上が、たすき掛けを使った因数分解の解き方でした。

因数分解の方法は、たすき掛けだけではありません。

他の解き方は、記事の最後に紹介している問題集に登場しているので、ぜひそちらで練習問題に挑戦してください。

問題に慣れるためには、繰り返し問題集を解いて定着させるのがおすすめです。

2.「解の公式」を使った二次方程式の解き方

たすき掛けを使った因数分解の方法を見てきましたが、方程式の中には掛け算の形に書き表せないものもあります。

  • #

    因数分解が難しいのではなく、因数分解ができない方程式もある、という意味です。

    因数分解が使えないとき、二次方程式であれば「解の公式」を使って解きます。

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「解の公式」を用いた計算は複雑ですが、これを覚えておけば、どんな二次方程式でも解を求めることができます。

もし「解の公式」を覚えていなければ、中学校3年生のときの問題集に戻って復習をしましょう。

練習問題に挑戦

それでは、「解の公式」を使う練習問題を解いてみましょう。

二次方程式「2x²-3x-4=0」の解を求めてください。

答えは求められましたか?それでは、解き方と解答を見ていきましょう。

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「2x²-3x-4=0」の答えは、「解の公式」に代入するだけで求められます。

「解の公式」を使うと計算の工程が多くなりますが、ミスをしないよう丁寧に計算しましょう。

CHECK

  • 高校で習う因数分解の解き方は「たすき掛け」と「解の公式」の2つ
  • 公式を使って解けない方程式には「たすき掛け」を使う
  • 因数分解ができない二次方程式の解は「解の公式」で求める

方程式と因数分解のおすすめの勉強法

方程式と因数分解のおすすめの勉強法は、基礎である中学校の内容を復習し理解できているか確認したうえで、繰り返し練習問題を解いて問題に慣れる方法です。

  • #

    数学の勉強は、学習の積み重ねが大切です。

    数学は、前の内容が理解できていないと、次の内容も理解できなくなってしまいます。

    危険なのは、分かったつもりになってしまうことです。

理解が追い付いていないまま、どんどん難しい内容に進んでしまうと、「定期テストは暗記で乗り切れていたのに、受験勉強になった途端、問題が解けなくなる」なんてことが起こってしまいます。

そうならないためにも、背伸びして最初から難しい問題に手を出すのではなく、問題集を使って基礎的な内容から確実に理解しましょう。

問題集の勉強範囲

因数分解のおすすめの勉強法は、以下の範囲の問題を繰り返し解くことです。

最初のうちは、簡単な問題だけを解きましょう。

  • 青チャート【第1章 数と式】1.整式の加法・減法・乗法 2.因数分解
  • サクシード【第1章 数と式】1.整式の加法および減法および乗法 2.展開の公式 3.因数分解(1) 4.因数分解(2)
  • 4STEP【第1章 数と式】1.整式の加法と減法および乗法 2.展開の公式 3.因数分解
  • Legend【第1章 数と式】1.式の計算
  • #

    これらの問題集の指定した問題に取り組むと、基礎が身に付きます。

    何回も繰り返して解き、完璧に解けるようになったら、「共通テストレベル編」の動画に進んでください。

    問題集の基本問題が解けるようにならないうちは、「共通テストレベル編」に進まないようにしましょう。

なぜなら、数学に限らず、勉強は最初から難しい問題に挑戦することにあまり意味がないからです。

まずは、簡単で基本的なところをなるべく速いスピードで一度全体を通して理解してしまいます。

その後、2周目3周目でもっと難しい問題を解いていった方が、最初に勉強した内容を覚えているので効率的です。

ぜひ、この記事や紹介した動画を使って、なるべく速いペースで全体図をつかみましょう。

CHECK

  • 分かったつもりにならず基礎から確実に押さえる
  • 最初から発展的な内容まで理解しようとしない
  • まずは速いペースで数学の全体像をつかんでしまおう

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因数分解は高校数学の基本

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今回は、中学校で習う因数分解の復習、「たすき掛け」を使った因数分解や「解の公式」など、方程式を解くための基礎的な計算方法を解説しました

中学校でも習う因数分解ですが、高校ではより発展的な内容を学習します。

因数分解は、高校で習う数学の基礎となる単元なので、理解できていなければ中学校の内容に戻り、確実に理解しましょう。

解き方を押さえたら、後は繰り返し練習問題を解き、問題に慣れるだけです。

今回の記事で基礎を押さえられた方は、次のステップ「共通テストレベル編」に進みましょう。

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【初心者でもわかる】この記事のまとめ

「因数分解」に関してよくある質問を集めました。

因数分解のおすすめの自習方法は?

今回の記事や動画を使って基本を理解した後に、記事内で紹介している問題集の指定箇所を解いてみましょう。まずは簡単な問題だけを繰り返し解き、一通り基礎を押さえてから発展的な内容に進みます。中学校の内容を忘れてしまっていたら、中学校の問題集を解いて内容を思い出してから、高校の学習に進みましょう。因数分解おすすめの勉強法の詳細はこちらを参考にしてください。

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