平方根の大小とは？判定するための方法を詳しく解説！練習問題付き！

二乗とは同じ数を掛けることですから、マイナスの数であっても正の数の平方根として定義することができるわけです。

ルートとは

直前で平方根について説明しましたが、実際に立式して計算する際に平方根の±が判別できなくては非常に不便です。

そこで必要となってくるのが、ルート（√）という数学記号です。

ルートは上記括弧内の記号の中に自然数が入り、その数の正の平方根と対応します。

　　(例)　　√4=2

このようにルートを変換すると正の数となりますが、負の平方根はルートではどのように表すのでしょうか。

これはルートにマイナス記号を付けることによって、表すことができます。

ルートは特に図形関連の方程式や定理に使用されることが多く(三平方の定理など)、高校以降での数学で非常に重要な役割を果たします。

平方根との区別やその計算、変換などにしっかりと対応できるようにしましょう。

平方根の大小の基礎知識

平方根の大小を判定することが出来なければ、実際に数式で用いることはできません。

では、その判定方法はどのようにすれば良いのでしょうか。

結論、平方根の大小はルートに変換した際にルート内の数字の大小で判断することができます。

これらを利用して解く例題を用意しましたので、取り組んでみましょう。

平方根の大小の基本問題

平方根の大小について、それぞれの解き方毎に例題を用意しました。

取り組んでみて下さい。

問1　√5と√8

問2　－√6と√3

問3　5と√22

問4　√56と5√6

平方根同士の大小

例題は如何だったでしょうか？これらの解答を導く上で共通して必要なことは、ルートの中の数字で判断するということです。

それでは、それぞれの問題の解答解説を見ていきましょう。

正の平方根

問1は簡単ですね。

ルートの中の数字はそれぞれ5と8ですから、その大小がそのまま平方根の大小となります。

したがって、答えは　√5＜√8　となります。

負の平方根

負の平方根が登場しても、やることは同じです。

ルートの中の数字の大小を見ればよいので、問2の答えは　－√6＜√3　となります。

平方根と自然数の大小

問3では自然数が登場していますね。

この場合、平方根の大小はルート同士の比較が必要ですから、自然数をルートに変換する必要があります。

5をルートに変換すると√25ですから、問3の答えは　5＞√22　となります。

分数の平方根の大小

問4では分数が登場しています。

難しく感じるかもしれませんが、ここでもルートの中身が重要であることは変わりません。

分数の場合、ルートが分母と分子の両方に付いている場合には分数をまとめてルートの中に入れることができます。

これを利用すると、ルートの中は536と256となり、答えは　√56＜5√6　となります。

平方根の大小の応用問題

平方根の大小の基本を学習したところで、応用問題に取り組んでみましょう。

問1　4＜√x＜5を満たすxの範囲を求めよ

問2　√ｎの整数部分が2になるとき、自然数ｎの値を求めよ

問3　√5の小数部分をxとするとき、x(x+4)の値を求めよ

xの範囲を求める問題

応用問題の問1は、自然数に挟まれた√xのxの値を求める問題です。

平方根の大小は必ずルートの中身を比較するので、両端の自然数をルートに変換してみましょう。

すると√16と√25となりますので、答えは　17，18，19，20，21，22，23，24　となります。

平方根の整数部分

応用問題の問2では、平方根の整数部分について問われています。

変換した際の整数部分が2であるということは、ルートの中身は4以上9未満である必要があります。

よって答えは　4，5，6，7，8　となります。

平方根の小数部分

応用問題の問3は、かなり難易度が上がりました。

√5の小数部分を正確に求めることは難しいですが、√4より大きく√9よりも小さいことから、整数部分は2であることが分かります。

そして√5から2を引くことによって、√5の小数部分を表すことができるのです。

これを問題の式に代入すると、答えは　1　となります。

式を展開する際に、ルートの記号が外れるかどうかにはよく注意しましょう。

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まとめ

今回は、平方根の大小を比較するために必要な知識と方法について解説しました。

その中でも特に皆さんに覚えてほしいことは、平方根とは何か、ということと、平方根の大小はルートに変換したときのルート内の数字の大小で比較する、ということです。

これさえ覚えていれば、平方根の性質について問う問題の大半には対応することができるでしょう。

しかし、平方根は非常に今後の数学でも重要な単元であるため、多くの問題に取り組み復習することで理解を深いものにしなくてはなりません。

そこで今回紹介した個別指導のトライなどの学習塾は、それを達成するために必ず役立てることができます。

皆さんの勉強の助けに少しでもなっていれば、とても嬉しく思います。

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