【円と直線】ベクトル方程式の解き方とは？計算方法をわかりやすく解説
ベクトル方程式は、ベクトルを使って線を表す方法です。
そう聞くと「難しそう」と感じて、身構えてしまう方が少なくないはずです。
しかし、ベクトルを使って内分点・外分点を表す方法が理解できていれば、そこまで難しい単元ではありません。
焦らず1つずつ理解することで、確実にマスターできるようになります。
例題を使いながらわかりやすく解説するので、ぜひ一緒に学習していきましょう。
ベクトルと内分点・外分点
ベクトル方程式を学習する上で理解しておきたいのがベクトルで内分点・外分点を表す方法です。
ベクトルで内分点・外分点を表す方法を理解しておくことで、ベクトル方程式の理解度が高まることは間違いありません。
そのため、まずはベクトルで内分点・外分点を表す方法を復習しましょう。
ベクトルで内分点・外分点を表すには、位置ベクトルの概念を理解していることが大切です。
位置ベクトルは、原点Oを始点とし、終点の位置を表すベクトルのことを指します。
例えば、点A（1,2）があるとします。
Oを始点、Aを終点としたベクトルを「aベクトル」とすると、点A（aベクトル）と表すことが可能になるのです。
これを位置ベクトルといいます。
では、内分点・外分点をベクトルを使って表してみましょう。
従来、線分ABをm:nに内分する点Pは、
P（nx1+mx2/m+n, ny1+my2/m+n）と表します。
これを位置ベクトルを使って表すと、
点A（aベクトル）、点B（bベクトル）を結ぶ線分ABをm:nに内分する点Pは、
「pベクトル」=n「aベクトル」+m「bベクトル」/m+nと表せます。
外分点についても同様のことがいえます。
CHECK
- 位置ベクトルはベクトルの始点を原点Oにしたベクトル
- 内分点をベクトルで表すと「pベクトル」=n「aベクトル」+m「bベクトル」/m+n
- 外分点をベクトルで表すと「pベクトル」=-n「aベクトル」+m「bベクトル」/m-n
ベクトル方程式とは？
先ほどは、ベクトルを使って点を表す方法を学習しました。
数学Ⅱでは、内分点・外分点により、点の表し方を学習したあと、方程式により線を表す方法も学習しました。
ベクトルにおいても同様に、方程式により線を表すことが可能です。
-
線は点の集まりなので、ベクトルで点が表せれば線も表せます。
これをベクトル方程式と呼びます。
ベクトル方程式は入試問題にもよく出題されるジャンルであり、問題の種類も複数あることから、以下でひとつずつ解説します。
CHECK
- ベクトル方程式はベクトルを用いて線を表す方法
- ベクトル方程式は入試の頻出事項
円を表すベクトル方程式
まずは、円を表すベクトル方程式を学習します。
そもそも円とは何かを定義した後に、円を表すベクトルの3種類の問題形式を解説するので、一緒に理解を深めましょう。
円とは？
-
円とは、ある1つの点の周りに一定の距離で存在する点の集まりのことです。
例えば、原点を中心とした半径rの円は、原点からの距離が常にrであることを表しています。
このことを理解したうえで、円を表すベクトル方程式の計算方法を学習しましょう。
円を表すベクトル方程式の計算方法
円上の任意の点Pを取り、点Pの位置ベクトルを「pベクトル」とおきます。
この際、|pベクトル|=rという式が成り立ちます。
必ず原点Oを中心とした半径rの円になるため、この式が成り立ちます。
このように、図形を表せる方程式をベクトル方程式と呼びます。
円の中心が点Aのベクトル方程式
では、円の中心が原点Oではなく点Aになった場合を考えてみましょう。
点Aを中心とした半径rの円です。
点Aの位置ベクトルを「aベクトル」とすると、点Aから円周上の点Pまで伸びた「APベクトル」の長さが常にrであれば良いことになります。
したがって、|APベクトル|=rという式が成り立ちます。
その後、「APベクトル」を点Pの位置ベクトルと点Aの位置ベクトルを使って表します。
ここで、いきなり「APベクトル」を考え始めてもどのように計算すれば良いか分からないはずです。
そこで、原点Oを介して考えると、「APベクトル」は「AOベクトル」と「OPベクトル」に分けて考えることができます。
よって、「APベクトル」=「AOベクトル」+「OPベクトル」と表せます。
この式を変形すると、「APベクトル」=「-OAベクトル」+「OPベクトル」と表せるため、「APベクトル」=「-aベクトル」+「pベクトル」となります。
整理をすると、|「pベクトル」-「aベクトル」|=rです。
2点が直径の両端にくるベクトル方程式
もう1つのパターンについて学習しましょう。
それは、2点A,Bが直径の両端にくるベクトル方程式です。
点A、点Bの位置ベクトルを、それぞれ「aベクトル」「bベクトル」としたとき、円周上の点P「pベクトル」を使うと、どんな式が作れるのでしょうか？
これは直径の両端からくる円周角が理解できていれば解けます。
中心角は円周角の2倍です。
これをもとに考えると、直径の両端からくる中心角は180°なので、直径の両端からくる円周角は90°となります。
つまり、「APベクトル」と「BPベクトル」は直角に交わることがわかるでしょう。
-
ここで、2つのベクトルが直角に交わっている際のルールを思い出してください。
2つのベクトルが直角に交わるときは内積が0になります。
最後に、「APベクトル」や「BPベクトル」を位置ベクトルを使って表しましょう。
先ほどと同様に、原点Oを介して考えると、
「APベクトル」・「BPベクトル」=0より
(「AOベクトル」+「OPベクトル」)・(「BOベクトル」+「OPベクトル」)=0
(「-OAベクトル」+「OPベクトル」)・(「-OBベクトル」+「OPベクトル」)=0
(「-aベクトル」+「pベクトル」)・(「bベクトル」+「pベクトル」)=0
(「pベクトル」-「aベクトル」+)・(「pベクトル」-「bベクトル」)=0
これが答えになります。
CHECK
- 円とはある1つの点の周りに一定の距離で存在する点の集まり
- 原点Oを中心とした円では|pベクトル|=rが成り立つ
- 原点Aを中心とした円では|「pベクトル」-「aベクトル」|=rが成り立つ
直線のベクトル方程式
続いて、直線のベクトル方程式について学習します。
直線のベクトル方程式の基本的な計算方法を学習した後に、2点を通るベクトル方程式についても学習しましょう。
直線のベクトル方程式の計算方法
まず、点Aを通って「dベクトル」に平行な直線を考えましょう。
直線上の任意の点をPとして、点Pの位置ベクトルを「pベクトル」とします。
「pベクトル」は「OPベクトル」のことですが、考え方を変えると「OAベクトル」+「APベクトル」とも表せます。
ここで、「APベクトル」は「dベクトル」に平行であることから、「dベクトル」を実数倍したものが「APベクトル」であると考えられます。
実数をtとおくと、「APベクトル」=t「dベクトル」と表せます。
したがって、「pベクトル」=「aベクトル」+t「dベクトル」が答えです。
2点を通るベクトル方程式
最後に、2点を通るベクトル方程式の解き方を解説します。
2点A,B上を通る直線上の点をPとし、その位置ベクトルを「pベクトル」とします。
「pベクトル」は「OPベクトル」と同じですが、「OAベクトル」+「APベクトル」とも考えられます。
ここで、「APベクトル」は「ABベクトル」と平行であるため、実数をtとすると、
「APベクトル」=t「ABベクトル」となります。
「ABベクトル」=-「aベクトル」+「bベクトル」より、
「pベクトル」=「aベクトル」+t(-「aベクトル」+「bベクトル」)
=(1-t)「aベクトル」+t「bベクトル」
以上が2点を通るベクトル方程式の解説になります。
CHECK
- 平行ならば向きが同じ
- 向き・長さが同じベクトルは同じベクトルとして扱う
- 長さが違うときはt倍すれば良い
ベクトル方程式のおすすめの参考書・勉強法
ベクトル方程式のおすすめの勉強法は、基礎的な問題を繰り返し学習することです。
まずは、ベクトル方程式を学習するうえでの基礎である、ベクトルの基本やベクトルの性質、内積、位置ベクトルが理解できていることが大切です。
これらを理解したうえでベクトル方程式の問題演習を進めましょう。
難しい問題にこだわるのではなく、まずは難易度の低い問題を繰り返し学習し、解き方を身につけることが大切です。
そのうえで難易度の高い問題を解けば、多くの時間を割く必要がなくなり、効率よく学習できるようになるでしょう。
問題集の勉強範囲
ベクトル方程式の学習におすすめの問題集の範囲は以下の通りです。
- 青チャート【第1章 平面上のベクトル】1 ベクトルの演算 2 ベクトルの成分 3 ベクトルの内積
- サクシード【第1章 平面上のベクトル】1 ベクトルの演算⑴ 2 ベクトルの演算⑵ 3 ベクトルの成分
- 4STEP【第1章 平面上のベクトル】1 平面上のベクトルとその演算 2 ベクトルと平面図形
- Legend【第7章 ベクトル】19 平面上のベクトル 20 平面上のベクトルの成分と内積
ここに挙げた問題集は、基礎的な問題が多く掲載されているため、基礎固めに適している教材です。
ここに掲載されている問題を繰り返し解いて、解き方を身に付ければ、共通テストレベル、またそれ以上の難易度の問題にも挑戦しやすくなるでしょう。
もちろん学校で使用している問題集があれば、定期テスト対策にもなるので、そちらを使用しても構いません。
CHECK
- ベクトル方程式を理解するにはベクトルの基本を学習する必要がある
- 簡単な問題を繰り返し学習し解き方を身につける
- 基礎が身につけば応用問題にも挑戦しやすい
ベクトル方程式を勉強するなら「オンライン数学克服塾MeTa」
ベクトル方程式を勉強するなら「オンライン数学克服塾MeTa」がおすすめです。
| 対象 | 高校生 |
|---|---|
| 授業形式 | 1対1のオンライン個別指導 |
| 校舎 | オンライン |
| 特徴 | 数学克服に特化したオンライン専門塾 |
なぜベクトル方程式の勉強に「オンライン数学克服塾MeTa」がおすすめなのか、その理由を2つ紹介します。
演習授業により学習を習慣化
1つ目は、演習授業により学習を習慣化することです。
「オンライン数学克服塾MeTa」では、通常の個別指導の他に演習授業を設けています。
演習授業とは、講義形式の授業ではなく、学校の課題や学習計画表に記載されている課題に取り組む時間です。
演習授業により学習が習慣化でき、数学の苦手を克服しやすい環境が作れます。
厳しい採用基準を突破した講師陣による指導
2つ目は、厳しい採用基準を突破した講師陣による指導です。
「数学が得意なだけ」の講師は採用しておらず、苦手に共感でき、一緒に苦手を克服できる指導力を持った講師のみが在籍しています。
採用倍率は6倍を超え、厳しい採用基準を突破した方のみが講師を担当していることがよくわかるでしょう。
CHECK
- 課題に取り組む「演習授業」がある
- 演習授業により学習の習慣化が可能
- 厳しい基準を突破した質の高い講師陣
まとめ
今回は、ベクトル方程式について解説しました。
ベクトル方程式は、主に円を表すベクトル方程式と直線のベクトル方程式の2種類があります。
ベクトル方程式を理解するには、ベクトルの基本を理解する必要があります。
ベクトルの基本を理解したうえで、ベクトル方程式のそれぞれポイントを理解できれば、そこまで難しいという印象はないはずです。
基本をきちんと理解して、問題演習を繰り返すことで、解き方を身につけてください。
【初心者でもわかる】この記事のまとめ
「ベクトル 方程式」に関してよくある質問を集めました。
円を表すベクトル方程式はどうやって表すの？
原点Oを中心とする半径がrの円の場合、円上の任意の点Pについて、必ず「|pベクトル|=r」が成り立ちます。また、円の中心がAの場合は、|「pベクトル」-「aベクトル」|=rが成り立ちます。これらの式のことをベクトル方程式と呼びます。円を表すベクトル方程式についてはこちらを参考にしてください。
直線のベクトル方程式はどうやって表すの？
点Aを通って「dベクトル」に平行な直線を考え、その直線上の任意の点をPとして、点Pの位置ベクトルを「pベクトル」とします。「pベクトル」は「OAベクトル」+「APベクトル」とも表せ「APベクトル」は「dベクトル」に平行であることから、「APベクトル」=t「dベクトル」と表せます。変形すると「pベクトル」=「aベクトル」+t「dベクトル」となります。直線のベクトル方程式についてはこちらを参考にしてください。
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