【高校数学】整数の性質を徹底攻略！約数と倍数・素因数分解・不定方程式

「高校に上がってから数学が難しくなった！」

「受験に備えて数学の基礎を見直したい！」

そんな悩みを抱えた高校生も多いのではないでしょうか。

高校数学では中学よりもさらに難解な単元が待ち構えています。

しかしその多くはコツさえ掴んでしまえば抵抗感なく取り組めるものです。

本記事では、数学A「整数の性質」の単元のポイントやコツを徹底解説しています。

イーオンキッズのキャンペーン

イーオンキッズは、お得なキャンペーンを実施しています。

【期間限定】短期実感コース
締め切り	11月30日（土）まで
キャンペーン内容	通常42,680円（税込）のところ⇒19,800円（税込）/3か月
お申込み	無料体験レッスンはこちら⇒

イーオンキッズは、11月30日までにお申込みをした方限定で、お得な入学特典を実施しています。

通常3か月のレッスンが42,680円（税込）のところ今なら19,800円（税込）/3か月で受けることが可能です。

上記の料金は、入学金＋授業料込みの料金となっているので、とても安くお得に入会することが可能です。

イーオンキッズが気になる方は、まずは無料体験レッスンから始めてみましょう。

無料体験レッスンのお申込みは、公式サイトから行うことができます。

約数と倍数

高校数学の基礎として「整数の性質」は非常に重要な単元です。

中でも重要なキーワードとなるのが「約数」と「倍数」です。

二つの整数aとbについて、aがbで割り切れる時に「bはaの約数である」、同時に「aはbの倍数である」と言うことができます。

言葉が難解になっただけで、仕組みとしては小学校二年生で学習する九九にも通ずるものがあります。

2の段を例に考えてみましょう。

2の段で導き出すことのできる数字はすべて2の倍数です。

4や8、10や12など、これらはすべて2の倍数であると言えます。

反対に2の段で導き出されるすべての数は、当然ながら2で割り切ることができるので、2はこれらの数の約数であると言うことができるのです。

こうして考えると「約数」も「倍数」もあまり難しくないことがわかるはずです。

しかしながら高校数学では、約数や倍数を使ってさらに高度な問題を解くことになります。

整数とは？

では、「整数」とは一体どのような数のことを指しているのでしょうか。

整数とは、小数、分数以外の正の数と負の数、そして0のことです。

整数の性質について理解するためにまず知っておかなければならないのは、「素数」という概念です。

素数とは、正の整数（＝自然数）の中で自分自身と1以外に約数を持たない数のことを指します。

具体的な例を挙げると、2や3、7や11が当てはまります。

簡単に言えば、1とその数以外で割り切れない数が「素数」ということになります。

そして、すべての正の整数は、必ず素数のみで構成されるかけ算で表すことができるのです。

素因数分解

しかしながら、正の整数は無限に存在します。

数が大きくなれば大きくなるほど、素数のみのかけ算に分解するのは困難です。

中学3年生の数学で習いますが、小学6年生で公約数や公倍数の学習をした際に習ったという人も多いのではないでしょうか。

ここでは「360」という整数を例に素因数分解のやり方をおさらいしましょう。

これが素因数分解の手順です。

左側に書いた素数をすべてかけると元の整数を導くことができます。

従って360＝2³×3²×5、というように表すことができるのです。

素因数分解を用いることで、例えば公約数や公倍数を簡単に探すことができます。

公約数とは二つの整数に共通する約数のこと、同じように公倍数とは二つの整数に共通する倍数のことです。

最大公約数と最小公倍数

素因数分解を扱うときに必ずといってもいいほど耳にするのが、「最大公約数」そして「最小公倍数」という言葉です。

前述の通り公約数とは「二つの整数に共通する約数」のことで、公倍数とは「二つの整数に共通する倍数」のことです。

たとえば6と4であれば、どちらも2で割ることができます。

したがって、2は6と4の公約数であると言えます。

同様に12は6の倍数でありかつ4の倍数でもあるので、6と4の公倍数であるということができるのです。

最大公約数

最初に最大公約数について解説します。

「最大公約数」とは二つの整数の公約数のうち最大のもののことを指しますが、単純に考えて最大公約数を見つけるのは至難の業です。

見落としも多くなりますし、整数が大きいと途方もない作業になります。

たとえば「6と12の最大公約数は？」程度であれば、それぞれの約数を書き出してみるのもいいかもしれません。

しかし「360と2700の最大公約数は？」と聞かれてしまうと、約数を書き出すにもかなり時間がかかります。

そこで使えるのが素因数分解です。

「360と2700の最大公約数は？」という問いで試してみましょう。

この例題の場合、記号の外に縦方向に書かれている素数は3と5です。

したがって、360と2700の最大公約数は2²×3²×5=180となります。

このように、最大公約数は素因数分解を応用することで簡単に求めることができます。

最小公倍数

続いて最小公倍数について解説します。

「最小公倍数」とは、前述のように二つの整数の公約数のうち最小のもののことです。

こちらも最大公約数と同じく、単純に考えると見落としが起こる可能性があります。

しかし最小公倍数も、素因数分解を用いることで確実かつ簡単に求めることが出来るのです。

早速例題で試してみましょう。

例題：360と2700の最小公倍数は？

やるべきことは最大公約数を求めたいときとほとんど変わりません。

注意すべき点は、最小公倍数を求めたいときは記号の外側にある整数をすべてかけるということです。

この例題の場合、記号の外側にある整数は2と2と3と8です。

したがって、360と2700の最小公倍数は2³×3³×5²＝5400となります。

「互いに素である」とは？

最大公約数や最小公倍数を求めるとき、二つ以上の整数で素因数分解をすることになります。

その際気をつけなければならないことは、素因数分解の最下部に残された二つの整数が「互いに素である」ことです。

「互いに素である」というのは、言い換えると対象である二つ以上の整数に公約数が存在しない状態のことです。

たとえば、7と10には公約数がありません。

したがって「7と10は互いに素である」と言うことができます。

では6と8ではどうでしょうか。

6と8はどちらも2で割り切ることが出来るため、公約数を持ちます。

つまり「6と8は互いに素である」という表現は誤りとなります。

二つ以上の整数の素因数分解をしたときには、最後に残った整数が必ず互いに素でなければいけません。

もし残った整数が互いに素の関係になければ、最大公約数や最小公倍数の計算にずれが生じてしまいます。

約数の個数と総和の求め方

前段でご紹介した素因数分解を利用して、約数の個数や総和を求める問題が良く出題されます。

以下では、それぞれの求め方を公式と例題とともに解説します。

約数の個数の求め方

約数の個数を求める公式は以下になります。

言葉だけだと分かりづらいので、実際に240の約数の個数を求めながら解き方を学んでいきましょう。

約数の総和の求め方

続いて、約数の総和の求め方を解説します。

約数の総和とは、文字通り約数をすべて足したもので、例えば8の場合は、約数である1,2,4,8を足した15になります。

公式は以下の通りです。

これだけだと理解できない方も多いでしょうから、この公式を使いながら、先ほど同様、240の約数の総和を求めていきましょう。

ユークリッドの互除法

ここまでは素因数分解を活用して最大公約数や最小公倍数を求める方法について解説してきました。

ここからはもう一つ、最大公約数を求める方法をご紹介します。

それが「ユークリッドの互除法」と呼ばれる解法です。

ユークリッドの互除法は、割り算の商と余りを利用して最大公約数を求める方法です。

シンプルな素因数分解と比べて慣れるまでは少し複雑に感じるかもしれませんが、ユークリッドの互除法はセンター試験では頻出でした。

したがって共通テストに臨む際にもぜひおさえておきたい内容です。

ユークリッドの互除法とは？

ユークリッドの互除法とは、二つの整数を使った割り算の商と余りの関係を利用して、対象となる二つの整数の最大公約数を求める方法です。

二つの自然数aとbについて、aをbで割ったときの商をq、余りをrとします。

この場合、aとbの最大公約数はbとrの最大公約数と等しくなる、という定理があります。

たとえば35と14を例に考えてみると、35÷14＝2あまり7になります。

上記の定理に当てはめると、35と14の最大公約数は14と7の最大公約数と等しくなるということです。

実際35と14の最大公約数と14と7の最大公約数は、等しく7になります。

この定理を用いたのがユークリッドの互除法です。

具体例を解説

それでは実際に例題を用いて検証してみましょう。

例題：365と105の最大公約数をユークリッドの互除法を用いて答えなさい。

この解説を式のみで表すと以下の通りです。

素因数分解でも確認してみるとたしかに365と105の最大公約数は5であることがわかります。

このように、ユークリッドの互除法では割り算を利用して任意の二つの自然数の最大公約数を求めることが出来るのです。

倍数判定法と証明

ユークリッド互除法は覚えてしまえば便利な解法ですが、二つ以上の整数の最大公約数を求めるときや、最小公倍数を求めるときには使うことができません。

そうなると、やはり素因数分解を使うことの方が多くなるでしょう。

しかしながら素因数分解は、シンプルな方法でありながら見落としをする可能性が高い解法でもあります。

たとえば34と85、一見互いに素に見える二つの整数ですが、実はどちらも17の倍数です。

このように「もう約数はないだろうと思っていたら、思いもよらぬところに約数があった」というケースが少なくありません。

倍数判定法とは？

倍数判定法とは、ある自然数aがどの数字の倍数であるかを判定する方法です。

最も有名なのは2の倍数の倍数判定法です。

下1桁が偶数であれば2の倍数になることは、九九ができれば誰でも知っていることでしょう。

他にも、すべての桁の数を足して3の倍数であれば3の倍数など、よく知られている倍数判定法は多いです。

2や3だけでなく、5や7、11にも倍数判定法があります。

倍数判定法を覚えておくことで、素因数分解における見落としを大幅に減らすことができます。

以下で覚えておくべき倍数判定法を紹介しているので、学習の参考にしてください。

倍数	判定法
2の倍数	一の位が偶数
3の倍数	各桁の和が3の倍数
5の倍数	一の位が0か5
7の倍数	①一の位から三桁ごとに区切り、交互に加減した結果が7の倍数 例）6104 6−104＝–98→−98は7の倍数なので、6104は7の倍数 ②一の位を消した数と、一の位を5倍した数の和が7の倍数 例）6104 4×5＝20 610＋20＝630→630は7の倍数なので、6104は7の倍数
10の倍数	一の位が0
11の倍数	一の位を消した数ー一の位の数が11の倍数
13の倍数	一の位を消した数＋一の位を4倍した数が13の倍数
17の倍数	一の位を消した数ー一の位を5倍した数が17の倍数

数学が苦手な人におすすめの塾・家庭教師

「コツさえ掴めば解くことができる」とはいえ、整数の性質は高校数学の中でもかなり厄介な単元のひとつです。

計算自体は単純でも一度聞いただけで仕組みを理解するのは至難の業です。

「整数の性質」についてより深く理解し、マスターしたいなら、やはりプロに教えてもらうのが一番の近道であるといえます。

ここからは数学の勉強をしたい方におすすめの塾を3つご紹介します。

個別教室のトライ

対象学年	小学生・中学生・高校生
授業形態	個別指導（マンツーマン）
特徴	トライ式学習法により効率的な成績アップを目指す個別指導塾

「コツさえ掴めば解くことができる」とはいえ、整数の性質は高校数学の中でもかなり厄介な単元のひとつです。

計算自体は単純でも一度聞いただけで仕組みを理解するのは至難の業です。

「整数の性質」についてより深く理解し、マスターしたいなら、やはりプロに教えてもらうのが一番の近道であるといえます。

家庭教師のトライでは、プロの家庭教師によるマンツーマン授業やトライ式AIタブレットで、より効率的にわかりやすく学習することができます。

教科書を読むだけ、学校で授業を聞くだけではなかなか理解の難しい部分も、わかるまで何度でも取り組むことができるので確実に力をつけていくことが可能です。

プロ家庭教師のマンツーマン授業

家庭教師のトライは、プロの家庭教師によるマンツーマンの授業が大きな魅力です。

数々の合格実績を持つプロ家庭教師が一人一人に合ったカリキュラムを作成し、全国でわずか3.5％の高い指導力を誇る家庭教師が指導を行います。

そのためわからないところをそのままにせず、何度でも繰り返し学習して身に付けることが可能です。

苦手な科目や単元に合わせたプロの個別指導で、自身の弱みや苦手意識を確実に強みに変えていくことができます。

トライ式AIタブレットによる効率的な学習が可能

トライではプロのマンツーマン指導のほか、トライ式AIタブレットによる学習も行なっています。

学習で躓くことが多い問題の一つに「なにがわからないのかわからない」というものがあります。

トライ式AIを用いた学習診断では、約10分の質問に答えるだけで単元別の理解度を明確にすることができます。

このシステムによって、確実に苦手を克服するための効率的な学習を行うことが出来るのです。

東京個別指導学院

対象学年	小学生・中学生・高校生
授業形態	個別指導
特徴	高い「講師力」で学習をしっかりサポート

相性の良い講師と学習できる担当講師制度

東京個別指導学院では、担当講師制度を採用しています。

受講科目ごとに何人かの講師の授業を体験し、その中から相性が良かった講師を生徒自身が選ぶことができます。

数学を克服したい生徒にとっては、自分に合った効果的な指導を受けられるでしょう。

質問がしやすく良い雰囲気で学習することができる点もメリットの1つといえます。

生徒一人一人にぴったりなカリキュラムの作成

東京個別指導学院では、オーダーメイドカリキュラムを作成してもらうことができます。

生徒の現状での実力や目標に合わせて実現可能な学習計画を提案してもらうことができ、無理のないペースで学習を進めることができるので、安心です。

数学が苦手な人は、演習量が足りていないことが多いです。

この点、東京個別指導学院では、問題演習を中心にカリキュラムを組んでもらうこともできるので、効率的に苦手を克服していくことができるでしょう。

オンライン数学克服塾MeTa

対象学年	中学生・高校生
授業形態	オンライン（個別1対1、集団）
特徴	数学克服・対策に特化したオンライン専門塾

オリジナル学習法で数学を得意科目に

MeTaでは、古代ギリシアでソクラテスが実践していた問答法を応用した、ソクラテスメソッドを指導に取り入れています。

この指導法は、講師が生徒に「教える」のではなく、対話によって生徒に「考え、気づかせる」点に大きな特徴があります。

講師のサポートを受けつつも、生徒は自力で解答を導き出すことが求められるので、授業を通して数学の勉強に対する主体性と高い論理的思考力を身に着けることができます。

数学克服プラン作成を毎月作成

数学に苦手意識を持っている方の中には、自分の何が課題で、どうすれば克服できるかが明確になっていない人が多いのではないでしょうか？

MeTaでは毎月1回個人面談を実施して、生徒と相談しながら1か月分の学習計画を作成してくれます。

この計画表には3日単位でやるべきことが細かく明記されており、この通りに学習を進めることで確実に成績を上げることができます。

数学の点数が伸び悩んでいる方の多くは勉強方法に問題を抱えているケースが多いので、MeTaでは日々の学習から改善を行うことで、数学に対する苦手意識を取り除いていきます。

まとめ

高校数学は中学までの数学と比べ、格段に複雑になります。

そのため今まで数学が得意だったという人でも躓いてしまうことが珍しくありません。

だからこそ受験に備えた基礎固めが必要なのです。

本記事では、高校数学の基礎である数学Aから「整数の性質」の内容について解説しました。

日常では見慣れない言葉や証明問題の多さから高校数学で最初の鬼門になりうる単元ですが、一度ゆっくり咀嚼してみるとそれほど難しくない部分でもあります。

問題数さえこなせば出題傾向にも慣れてきますし、次第に頭の中がおのずと整理されてきます。

あせらず地道に練習していくことで苦手に感じていた部分を強みに変えることも可能です。

この記事の内容を参考に素因数分解や整数の証明問題のコツを掴んで、ぜひ得意分野に変えてください。