60円のえんぴつを1本買うと60円、2本買うと120円、3本買うと180円…になります。
このことは、多くの人が当たり前だと感じるかもしれません。
しかし、これは比例という関係が成り立っているのです。
また、10本の鉛筆を1人で使うときは1人で10本、2人で使うとき1人5本、5人で使うときでは1人2本、使うことができます。
これは、反比例の関係が成り立っています。
今回はこの比例と反比例について説明していきたいと思います。
比例と反比例という言葉は、多くの方が聞いたことがあると思います。
いつこの言葉を習ったかというと中学1年生の時です。
比例と反比例は、中学1年生で習った後も様々な形で出題されます。
つまり、初めで分からなくなってしまうと、後に出てきた時に太刀打ちできなくなってしまうのです。
比例とは、つり合い関係のことを言います。
具体的には、一方の値が2倍、3倍…になると、もう片方の値も2倍、3倍…になることを言います。
一方が増えると、もう片方も増えるだけでは比例とは言えません。
比例のグラフは、原点を通り、直線になっています。
多くの場合は、座標とグラフが交わっていることがわかります。
後に、整数の座標が式を作る土台となってくるので、しっかり確認しておきましょう。
10冊あるノートを1人で使うときは10冊すべて使えます。
しかし、2人で使うときは1人当たり5冊、5人で使うと1人当たり2冊になります。
このように、一方の値が2倍、3倍…になると、もう片方の値は、1/2倍、1/3倍になることを言います。
反比例のグラフは、比例のグラフと異なって曲線です。
一つの式につき、2つのグラフを持ちます。
このことを双曲線と言います。
比例のグラフと同じで、座標とグラフが交わっています。
これを基に式を立てていきます。
2つの数量に比例関係があるとき、y=axという式で表すことができます。
このaを比例定数といい、様々な値をとります。
一方、2つの数量に反比例の関係があるとき、y=a/xという式で表すことができます。
aは正の値だけでなく、負の値もとることができるので注意です。
比例・反比例という言葉を聞いたら、この2つの式がすぐに頭に浮かぶように覚えておきましょう。
✔比例と反比例のグラフ
✔比例定数
✔双曲線
ここでは、1本60円の鉛筆を買う場合について考えてみましょう。
まず、文章には2つの数量が書かれています。
この場合の2つの数量は、鉛筆の本数と鉛筆の値段です。
鉛筆の値段は、何本買っても変わらないので、60が比例定数になります。
これを比例の式に当てはめるとy=60xになります。
①に引き続き、1本60円の鉛筆を買う場合を考えます。
本数と値段の表を作ります。
具体的には、本数が1本、2本、3本…に増える時、それに対応する値段60円、120円、180円…を下に書いていきます。
②で作成した表を基にグラフに点を打っていきましょう。
点を打ち終わったら、点と点を線で結びましょう。
ここで注意したいのは比例のグラフは原点を通ることと、比例のグラフは直線ということです。
もし、グラフを作成している際にこの2つを満たしていなければ、計算ミスをしているかもしれないです。
確認しておきましょう。
①y=3xの式をグラフに書きましょう。
②y=-2xの式をグラフを書きましょう。
①のy=3xにx=1を代入すると、y=3になります。
y=3xは原点（0，0）と（1，3）を通ることがわかります。
この２つの点をグラフにうち、直線で結ぶとy=3xのグラフを描くことができます。
次に②のグラフについて解いていきます。
y=-2xにx=1を代入すると、y=-2になります。
y=-2xは原点（0，0）と（1、-2）を通ることがわかります。
この２つの点をグラフにうち、直線で結ぶとy=-2xのグラフを描くことができます。
①y=3/xの式をグラフに書きましょう。
②y=4/xの式をグラフに書きましょう。
①のy=8/xにx=1を代入するとy=8、x=2を代入するとy=4になります。
また、x=4を代入するとy=2、x=8を代入するとy=1になります。
②のy=4/xのグラフにx=1を代入するとy=4、x=2を代入するとy=2、x=4代入するとy=1になります。
反比例のグラフは直線ではないので、表を作成して、3つほど点をとるようにしましょう。
✔文章から式を作成
✔数を代入して式を作る
✔表の値をグラフに書くグラフに書く
まず初めに、グラフと目盛りの交点を見つけましょう。
この時、目盛りの数値が整数であると式に代入しやすいので、できるだけ整数の座標を見つけるようにします。
次に、①で見つけた座標を公式（y=ax,y=a/x）に代入します。
代入することによって、比例定数aの値が出ます。
最後に②で求めた比例定数aを、公式（y=ax,y=a/x）に代入します。
図の①、②のグラフの式を求めましょう。
①は原点と（2，1）で目盛りと交わっていることがわかります。
（2，1）をy=axに代入すると、比例定数aは1/2になることがわかります。
これを公式に代入するとy=1/2ｘになります。
②は原点と（1，-4）で交わっていることがわかります。
（1，-4）をy=axに代入すると、比例定数aは-4になることがわかります。
これを公式に代入するとy=-4xになります。
図の①、②のグラフの式を求めましょう。
①は（1，3）と（3，1）を通っています。
これをy=a/xに代入すると比例定数aは3になるので、求める式はy=3/xになります。
②は、（1、-2）と（2、-1）を通っています。
これをy=axに代入すると比例定数aは-2になるので、求める式はy=-2/xになります。
✔目盛りとグラフの交点を見つける
✔比例定数を求める
✔公式に代入する
| 東京個別指導学院の概要 | |
|---|---|
| 対象年齢 | 小学生～高校生 |
| 対象地域 | 日本全国 |
| 形式 | 校舎 |
| 特徴 | オーダーメイドカリキュラム 忙しくても通える時間割 無料テスト対策補講 |
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今回は、比例と反比例について学んできました。
比例と反比例の問題では、グラフから式を求める問題と、式をグラフにする問題があります。
また、比例と反比例の問題は、ほかの問題と組み合わせて出題されるものもあるので、この先も目にする機会があるでしょう。
練習問題を解き、わからないところはゆっくりやり直しながら、完璧に理解できるようにしましょう。
また、文章だけではわからない方や直接教えてもらいたいという方は、個別指導塾の東京個別指導学院の入塾を検討されてみてはいかがでしょうか。
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