【中学1年数学】比例・反比例のグラフを書き方・式の読み取り方｜例題付き

60円のえんぴつを1本買うと60円、2本買うと120円、3本買うと180円…になります。

このことは、多くの人が当たり前だと感じるかもしれません。

しかし、これは比例という関係が成り立っているのです。

また、10本の鉛筆を1人で使うときは1人で10本、2人で使うとき1人5本、5人で使うときでは1人2本、使うことができます。

これは、反比例の関係が成り立っています。

今回はこの比例と反比例について説明していきたいと思います。

比例・反比例のグラフとは？

中学1年生の数学で登場、中学受験にも

比例と反比例という言葉は、多くの方が聞いたことがあると思います。

いつこの言葉を習ったかというと中学1年生の時です。

比例と反比例は、中学1年生で習った後も様々な形で出題されます。

つまり、初めで分からなくなってしまうと、後に出てきた時に太刀打ちできなくなってしまうのです。

比例のグラフ

比例とは

比例とは、つり合い関係のことを言います。

具体的には、一方の値が2倍、3倍…になると、もう片方の値も2倍、3倍…になることを言います。

一方が増えると、もう片方も増えるだけでは比例とは言えません。

比例のグラフの見方

比例のグラフは、原点を通り、直線になっています。

多くの場合は、座標とグラフが交わっていることがわかります。

後に、整数の座標が式を作る土台となってくるので、しっかり確認しておきましょう。

反比例のグラフ

反比例とは

10冊あるノートを1人で使うときは10冊すべて使えます。

しかし、2人で使うときは1人当たり5冊、5人で使うと1人当たり2冊になります。

このように、一方の値が2倍、3倍…になると、もう片方の値は、1/2倍、1/3倍になることを言います。

反比例のグラフの見方

反比例のグラフは、比例のグラフと異なって曲線です。

一つの式につき、2つのグラフを持ちます。

このことを双曲線と言います。

比例のグラフと同じで、座標とグラフが交わっています。

これを基に式を立てていきます。

比例・反比例の公式

2つの数量に比例関係があるとき、y=axという式で表すことができます。

このaを比例定数といい、様々な値をとります。

一方、2つの数量に反比例の関係があるとき、y=a/xという式で表すことができます。

aは正の値だけでなく、負の値もとることができるので注意です。

比例・反比例という言葉を聞いたら、この2つの式がすぐに頭に浮かぶように覚えておきましょう。

比例・反比例のグラフを【書く】問題の解き方

解き方の手順

①文章題から式を作る

ここでは、1本60円の鉛筆を買う場合について考えてみましょう。

まず、文章には2つの数量が書かれています。

この場合の2つの数量は、鉛筆の本数と鉛筆の値段です。

鉛筆の値段は、何本買っても変わらないので、60が比例定数になります。

これを比例の式に当てはめるとy=60xになります。

②x,yに数を代入して表を作る

①に引き続き、1本60円の鉛筆を買う場合を考えます。

本数と値段の表を作ります。

具体的には、本数が1本、2本、3本…に増える時、それに対応する値段60円、120円、180円…を下に書いていきます。

③表の値をグラフに書き入れる

②で作成した表を基にグラフに点を打っていきましょう。

点を打ち終わったら、点と点を線で結びましょう。

ここで注意したいのは比例のグラフは原点を通ることと、比例のグラフは直線ということです。

もし、グラフを作成している際にこの2つを満たしていなければ、計算ミスをしているかもしれないです。

確認しておきましょう。

例題

例題1：比例のグラフ

①y=3xの式をグラフに書きましょう。

②y=-2xの式をグラフを書きましょう。

解説

①のy=3xにx=1を代入すると、y=3になります。

y=3xは原点（0，0）と（1，3）を通ることがわかります。

この２つの点をグラフにうち、直線で結ぶとy=3xのグラフを描くことができます。

次に②のグラフについて解いていきます。

y=-2xにx=1を代入すると、y=-2になります。

y=-2xは原点（0，0）と（1、-2）を通ることがわかります。

この２つの点をグラフにうち、直線で結ぶとy=-2xのグラフを描くことができます。

例題2：反比例のグラフ

①y=3/xの式をグラフに書きましょう。

②y=4/xの式をグラフに書きましょう。

解説

①のy=8/xにx=1を代入するとy=8、x=2を代入するとy=4になります。

また、x=4を代入するとy=2、x=8を代入するとy=1になります。

②のy=4/xのグラフにx=1を代入するとy=4、x=2を代入するとy=2、x=4代入するとy=1になります。

反比例のグラフは直線ではないので、表を作成して、3つほど点をとるようにしましょう。

比例・反比例のグラフの【式を読み取る】問題の解き方

解き方の手順

①目盛りとの交点を見つける

まず初めに、グラフと目盛りの交点を見つけましょう。

この時、目盛りの数値が整数であると式に代入しやすいので、できるだけ整数の座標を見つけるようにします。

②①で見つけた座標を公式に代入してaを求める

次に、①で見つけた座標を公式（y=ax,y=a/x）に代入します。

代入することによって、比例定数aの値が出ます。

③②で求めたaを代入する

最後に②で求めた比例定数aを、公式（y=ax,y=a/x）に代入します。

例題

例題1：比例のグラフ

図の①、②のグラフの式を求めましょう。

解説

①は原点と（2，1）で目盛りと交わっていることがわかります。

（2，1）をy=axに代入すると、比例定数aは1/2になることがわかります。

これを公式に代入するとy=1/2ｘになります。

②は原点と（1，-4）で交わっていることがわかります。

（1，-4）をy=axに代入すると、比例定数aは-4になることがわかります。

これを公式に代入するとy=-4xになります。

反比例のグラフ

図の①、②のグラフの式を求めましょう。

解説

①は（1，3）と（3，1）を通っています。

これをy=a/xに代入すると比例定数aは3になるので、求める式はy=3/xになります。

②は、（1、-2）と（2、-1）を通っています。

これをy=axに代入すると比例定数aは-2になるので、求める式はy=-2/xになります。

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出典：評判ひろば

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まとめ

今回は、比例と反比例について学んできました。

比例と反比例の問題では、グラフから式を求める問題と、式をグラフにする問題があります。

また、比例と反比例の問題は、ほかの問題と組み合わせて出題されるものもあるので、この先も目にする機会があるでしょう。

練習問題を解き、わからないところはゆっくりやり直しながら、完璧に理解できるようにしましょう。

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