今回は、反比例について取り上げていきます。

反比例は、小学6年生の算数で学ぶ重要な単元の1つです。

中学受験を目指しているお子様はもちろん、中学校での勉強をスムーズに出来るようにしたいお子様にとってもしっかりと理解しておきたい単元です。

この記事では、反比例の特徴だけでなく具体的な問題を取り上げた丁寧な解説も掲載されています。

また、反比例について学べるおすすめの参考書もいくつか紹介しているので、反比例が苦手で克服したいと考えている方はぜひご一読いただき、参考にしていただければと思います。

【小6算数】反比例とは

反比例の特徴

反比例とは、ある数が〇倍になったとき、もう一方の数は1/〇倍になるという関係のことを指します。

つまり、「ｙはxに反比例する」という場合には、xが〇倍になったとき、yは1/〇倍になることを指します。

より具体的な例を挙げるとすれば、クッキー50個を5人で均等に分ける場合を考えます。

この場合、1人10個クッキーをもらうことができます。

そして、クッキー50個を10人で均等に分ける場合は、1人5個クッキーをもらうことができます。

この例の場合、人数が2倍になると1人あたりのクッキーの数が1/2倍になっていることが分かります。

したがって、1人あたりのクッキーの数は人数に反比例するということができるのです。

また、反比例の関係は数式に表すことができ、y＝a/x(aは定数)となります。

この式におけるaを比例定数と呼び、上記の式からaの値はxとyの積になっていることが分かります。

そして、この式に沿ってグラフを作成する際は、aが正のときと負のときで場合分けをする必要があります。

まず、aが正のときについては、xの値が大きくなればなるほどｙの値が小さくなることに注意してグラフを書くようにしましょう。

そうすると、第1象限・第3象限になめらかな曲線を描くことができます。

この2つの曲線は原点に関して対称になるはずです。

次に、aが負のときについても、xの値が大きくなればなるほどyの値が小さくなることに注意してグラフを書く必要があります。

そうすると、aが正のときとは異なり、第2象限・第4象限になめらかな曲線を描くことができます。

ただし、この場合でも2つの曲線が原点に関して対称であることは変わりません。

適当に数字をあてはめて実際にグラフを書いて確かめてみることでより理解が深まるので、ぜひ取り組んでみてください。

比例と反比例の違い

比例と反比例の違いを確認する前に、比例の特徴についておさらいします。

比例とは、ある数が〇倍になったとき、もう一方の数も〇倍になるという関係のことを指します。

つまり、「ｙはxに比例する」という場合には、xが〇倍になったとき、yも〇倍になることを指します。

具体例としては、1個100円のりんごを買う時の代金を考えてみましょう。

りんごを1個買うときの代金は100円です。

そして、2個買うときの代金は200円、3個買うときの代金は300円となります。

このように、りんごの個数が2倍になれば代金も2倍になることが分かります。

したがって、りんごを買う代金はりんごの個数に比例するということができるのです。

また、比例の関係は数式に表すことができ、y＝ax(aは定数)となります。

これに沿ってグラフを作成すると、原点を通る直線になることが分かるでしょう。

比例と反比例の違い
関係	比例	反比例
公式	y＝ax(aは定数)	y＝a/x(aは定数)
グラフの特徴	原点を通る直線	原点に関して対称である2つの曲線

比例と反比例の主な違いは、上記の表のようになっています。

公式とグラフに主な違いがあり、特にグラフについては、比例の場合は直線のグラフ、反比例の場合は曲線のグラフとなります。

このように、比例と反比例は全く異なる性質を持っているので、確実に覚えるようにしましょう。

比例と反比例の見分け方

比例と反比例を見分けるには、まず表を書いて数の変化を見てみるようにしましょう。

一方の数が〇倍されたときもう一方の数も〇倍される場合は比例、もう一方の数が1/〇倍される場合は反比例と見分けることができます。

また、それぞれの数の関係を数式に表してみることも有効な手段です。

y=ax(aは定数)の形になれば比例、y＝a/x(aは定数)の形になれば反比例ということがすぐに分かります。

どちらの方法でも良いので、自分に合った方法で比例と反比例を正しく見分けられるようにしていきましょう。

反比例の問題

【基本】反比例の式を作る問題

まずは基本となる反比例の式を作る問題に取り組んでみましょう。

問題はこちらです。

yはxに反比例し、x=6のとき、y=3である。

このときのyをxの式で表しなさい。

まずは比例定数aの値を求めます。

比例定数aはxとyの積であるから、a=6×3=18となります。

次に、反比例の公式にこれをあてはめます。

反比例の公式はy=a/xであるから、今回の問題ではy=18/xとなります。

したがって解答は、 y=18/xです。

【応用】グラフ問題

続いて、応用問題としてグラフの問題を解いてみましょう。

問題はこちらです。

y=16/xのグラフを書きなさい。

まずはxとyの関係を表にまとめることから始めます。

そうすると、以下のようになります。

x	1	2	4	8	16
y	16	8	4	2	1

次に、作成した表をもとに、それぞれの座標に点を打ち、線で結んでいきます。そうすると、以下のグラフのようになります。

したがって、解答は上記のグラフとなります。

【発展】文章問題

最後に発展問題として文章問題にも取り組んでみましょう。

問題はこちらです。

3人で行うと10日間かかる仕事がある。 仕事を行う人数をx、かかる日数をyとすると、この時のxとyの関係を表す式を書きなさい。 また、同様の仕事を5人で行った場合にかかる日数を求めなさい。

まずは、文章中の数字をy=a/xの式にあてはめていきます。

仕事を行う人数をx、かかる日数をyとするから、x=3、y=10 として式にあてはめると、10=a/3となります。

したがって、a=30と求められ、xとyの関係式はy=30/xと表すことができます。

次に、同様の仕事を5人で行った場合の日数は、上記で求めた関係式y=30/xにx=5を代入することで求めることができます。

したがって、y=30/5=6となります。

よって解答は、xとyの関係式がy=30/x、5人で仕事を行った場合にかかる日数が 6日となります。

反比例が学べるおすすめの参考書

分野別学習ノート算数⑪　比例・反比例

分野別学習ノート算数⑪　比例・反比例
出版社	清風堂書店
料金(税込)	990円
難易度	基礎

「分野別学習ノート算数⑪　比例・反比例」は、比例・反比例の特徴と文章問題が1冊にまとまっているドリルです。

単元ごとに内容が16項目に分けられているので、少しずつ着実に演習することができます。

また、この問題集では、ヒント付きのうそテスト、ヒントなしの本テスト、仕上げのたしかめテストの3ステップで繰り返し問題に取り組んでいきます。

まず、うそテストでは、ヒントに沿って問題の解き方を正しく学んでいくことができます。

本テストでは、うそテストと同じ問題をヒントなしで取り組むことで解き方をしっかり定着させることができます。

最後に、たしかめテストでは、本テストとパターンは同じ問題でも数字が異なる問題に対して、自分の力だけで取り組みます。

これにより、演習力を身に着けることができます。

ひとりで学べる算数　小学6年生

ひとりで学べる算数　小学6年生
出版社	朝日学生新聞社
料金(税込)	1,650円
難易度	標準

「ひとりで学べる算数　小学6年生」は、朝日小学生新聞に連載された小学6年生の算数問題集です。

基礎レベルの問題から学校の教科書を少し上回るレベルの問題までを取り扱っているので、基礎からしっかりと学びたいお子様向けの問題集となっています。

保護者の方や兄弟姉妹の助けを借りず、一人で学ぶことができるよう問題自体も工夫されており、お子様がつまずきやすい部分も分かりやすく説明されています。

基礎から丁寧に演習を積み重ねていくことができるので、難しい問題を解くことができる力を無理せずに身に着けることができるはずです。

また、著者による音声解説(全9時間)が朝日学生新聞社の公式ホームページ「あさがく・ジェーピー」で無料配信されているので、これも合わせて聴くことでより理解を深めることができます。

小学高学年　自由自在　算数

小学高学年　自由自在　算数
出版社	受験研究社
料金(税込)	3,080円
難易度	応用

「小学高学年　自由自在　算数」は、小学校高学年を中心に、中学受験の内容まで完全にカバーした参考書です。

難関中学の入試問題のようなレベルの高い問題も多数取り扱っていますが、丁寧な解説がされているので、安心して学習を進めることができるでしょう。

また、図や表をたくさん用いることで学習内容を分かりやすくできるよう工夫されており、オールカラーで楽しく学習できるデザインとなっています。

問題と解説のほかにも、思考力を向上させるための特別コーナーなども掲載されており、応用的な知識を身に着けたいお子様にも効果的です。

中学受験を目指しているお子様向けの参考書といえます。

まとめ

今回は、反比例についてご紹介しました。

反比例を学習する際のポイントとして、まずは反比例の特徴を正確に理解し、比例との違いや見分け方を学習していくようにしましょう。

また、知識のインプットばかりを行うのではなく、その知識をアウトプットする作業も忘れずに行っていく必要があります。

反比例の式を作る問題やグラフを書く問題、文章問題など様々な問題があるので、自分の学習ペースに合わせて少しずつ演習していきましょう。

ここで間違えた問題に繰り返し取り組むことが大切です。

そして、アウトプットを効果的に行うために役に立つのが参考書です。

参考書によって重視している部分が異なるうえ、価格もリーズナブルなものから少し高めのものまで様々なものが出版されています。

掲載されている問題も、基本問題が多い参考書や、基本問題から難関中学の入試問題まで幅広く取り扱っている参考書があるため、お子様のニーズに合わせて最適な参考書を見つけることができるはずです。

今回紹介した参考書の他にもいろいろな参考書があるので、自分のレベルや学習スタイルに合ったものを利用してみてください。