【数学・図形】多角形の外角の和について詳しく解説！おすすめの塾も紹介

私たちの周りには様々な形をしたものがあります。

それぞれの形は、角度を持ち、内角と外角が存在します。

内角というのは多角形の内側にできる角度のことです。

一方、外角というのは多角形の外側にできる角度について言います。

そして、多角形には、外角の和というものがあり、面白い性質をしています。

今回はそんな外角の和について詳しく説明していきたいと思います。

外角の和とは？

言葉の意味

多角形

多角形とは、3つ以上の線分で囲まれた図形のことを言います。

これだけ聞くと、イメージしにくいかもしれませんが、私たちがよく目にする三角形や四角形、六角形も多角形に当てはまります。

多角形の中には、正多角形というものもあります。

この正多角形とは、多角形のうち、すべての辺の長さが等しく、すべての角度が同じものを指します。

内角

内角とは、隣り合う2辺からなる多角形の内側を向いた角度のことを言います。

「三角形の角度を足すと180°になる！」と習った方もいるかもしれません。

ここでいう角度が内角に当てはまります。

外角

外角とは、多角形の一辺と、これに隣り合う辺の延長線が成す角のことを言います。

外角の和とは、これらの外角をすべて足すことを言います。

多角形の種類にかかわらず、外角の和はすべて360°になります。

外角の和の公式

多角形の外角の和は360°

上記に書いたように、多角形の外角の和は必ず３６０°になります。

外角には、内角の和の公式である180°×（ｎ-2）のような式はありません。

どうして360°なの？

三角形と十二角形という全く異なる多角形でも、外角は360°なのか不思議に思われる方もいるかもしれません。

しかしながら、どのような多角形でも外角は360°になります。

ここで一つ例を考えてみます。

まず、ｎ角形の頂点から一辺を延長してみましょう。

そうすると、この延長した線は内角と外角を含んだ直線になります。

つまり、内角と外角を足すと180°（直線）になります。

これはどの頂点にも言えることなので、180°×ｎがｎ角形の内角と外角の和になります。

この和から内角の和を引くと外角の和を求めることができます。

180°ｎ（内角と外角の和）-180°×（ｎ-2）（内角の和）＝360°になります。

ｎがどのような値でも解は同じであることがわかります。

外角の和の問題を解いてみよう

STEP1｜三角形の外角の和の問題

例題

∠Xを求めてみよう！

この図形はある三角形を表しています。

外角である∠Xは何度になるでしょう。

解説

この図形は、三角形なので外角は３カ所になります。

3カ所の外角のうち2カ所は103°と119°です。

外角の和は必ず360°になるので、式は

∠X＝360°-（103°＋119°）

　 ＝138°（答）　となります。

STEP2｜四角形の外角の和の問題

例題

∠Xを求めてみよう！

次の図形は、四角形を表しています。

外角である∠Xは何度になるでしょう。

解説

今回の図形は四角形なので、外角は4カ所あります。

4カ所のうち3カ所は73°、120°、87°であり、外角の和は必ず360°なので、式は

∠Ｘ＝360°-（73°＋120°＋87°）

＝80°（答）　となります。

STEP3｜内角の和と外角の和の応用問題

内角の和のおさらい

ここまで、外角を中心に例題を解いてきましたが、もう一度内角について思い出してみましょう。

内角とは、多角形の隣り合った2つの辺が内側になすことを言います。

内角の和とは、すべての内角を足したものです。

ｎ角形の多角形の和は、180°×（ｎ-2）で求めることができます。

また、外角と内角では、重要な性質があります。

それは、1つの内角とそれと隣り合う外角の和は180°になるということです。

重要なことなので忘れないようにしましょう。

例題1

∠Xを求めてみよう！

この図形は三角形を表しています。

∠Xは何度になるでしょう。

解説

この図形でわかっている２つの角度は、内角です。

三角形の内角の和は180°になるので、もう一つの内角は

180°-（36°＋55°）

＝180°-91°

＝89°になります。

1つの内角とそれと隣り合う外角の和は180°になるので、式は

∠X＝180°-89°

＝91°（答）　となります。

ここで、91°という答えをみてどこかで見たような気がすると思った方もいるかもしれません。

そうです、実は最初にわかっている2つの内角の和と同じ角度なのです。

これは、偶然ではなく、三角形の内角と外角の性質なのです。

言葉で表すと、三角形の1つの外角は、それと隣り合わない2つの内角の和に等しくなります。

例題2

∠Xを求めてみよう！

この図形は四角形を表しています。

∠Xの角度は何度になるでしょう。

解説

この図形は四角形であり、わかっている3つの角度はいずれも外角です。

外角の和は、必ず360°になるので、式は

∠X＝360°-（87°＋58°＋115°）

　 ＝360°-260°

＝100°　（答）　となります。

外角の和の問題が苦手な人におすすめの塾

個別教室のトライ

個別教室のトライの基本情報

個別教室のトライの概要
対象年齢	小学生～既卒生
対象地域	日本全国
形式	校舎
特徴	教室数がNo.1 豊富な指導実績 登録講師数22万人

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個別教室のトライの特徴

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さらに、毎年安定した指導実績を残しているので、初めて塾に入る方でも安心してサポートを受けることができます。

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一階にあるので通いやすいです。自転車が塾の前におけます。

出典：評判ひろば

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また、校舎が駅から近い場所にあるので通いやすく、防犯面でも安心できることがわかります。

個別教室のトライの料金

トライでは、料金を公開していません。

しかし、トライの授業料は約30秒で問い合わせができます。

料金プランの提案・相談は無料なので、簡単に安心して資料請求ができます。

同時にオンライン家庭教師も受け付けているので、目的に合わせて利用できます。

東京個別指導学院

東京個別指導学院の基本情報

東京個別指導学院の基本情報
対象年齢	小学生～高校生
対象地域	東京都・神奈川県・埼玉県・千葉県・愛知県
形式	校舎
特徴	伸ばす指導メソッド・導く学習システム・支えるサポート体制

東京個別指導学院は、首都圏を中心に展開する1対1または1対2の個別指導塾です。

自分の好きな授業形式を選ぶことができるので、無理なく学習を進めることができます。

また、校舎で指導を受けることが原則となっていますが、都合に合わせてオンライン指導に切り替えることができるので、塾に通い続けやすい点も魅力です。

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まとめ

今回は、外角を中心に学んできました。

内角や外角という言葉に、なじみがなかった方もいるかもしれませんが、意味が把握できたでしょうか。

今回特に重要なのは、外角の和の性質と、内角と外角の性質です。

多角形の外角の和は、必ず360°になること、三角形の1つの外角は、それと隣り合わない２つの内角の和に等しくなること、内角と外角を足すと180°（直線）になることは問題を解くうえで、使う機会が多いので必ず覚えておきましょう。

また、どうしても理解できない・誰かにマンツーマンで丁寧に教えてもらいたいという方は個別指導塾に通ってみることもがおすすめです。

特におすすめなのが、47都道府県に校舎がある実績もある個別教室のトライや、オンラインでも授業を受けることができる明光義塾です。

この機会に、内角や外角の性質を理解し、マスターしましょう。