円の方程式・軌跡・領域の問題の解法を紹介！2種類の円の方程式や導き方も
円の方程式とは円周上の座標(x,y)と半径rの関係を表した式のことです。
円の方程式は数学Ⅱで学習する単元の1つです。
また、大学一年生の線形代数では、さらに深く学ぶことになります。
また円の方程式は大学入試でも出題されるので、できれば高校生のときにしっかりと理解を深めておきたい単元です。
この記事では円の方程式がわからない方に向けて、円の方程式の意味から導き方、表し方などについて解説します。
円の方程式について
円の放置式は数学Ⅱで学ぶ単元ですが、難しいと思っている方も多いでしょう。
しかし、実際はそれほど難しいものではありません。
シンプルなものであるため、一緒に理解を深めていくことで解けるようになるはずです。
ここでは円の方程式の意味から、円の方程式の導き方について解説します。
これから円の方程式に取り組むにあたって、もっとも基本的な意味を理解する部分です。
それでは実際に円の方程式と導き方についてみていきましょう。
円の方程式と導き方
円の方程式とは円周上の座標(x,y)と半径rの関係を表した式です。
たとえば座標を中心とする円の方程式はつぎのようになります。
x2+y2＝r2
導き方は後ほど詳しく解説しますが、円の方程式はピタゴラスの定理で求められます。
ピタゴラスの定理とは過去に学習した三平方の定理のことです。
CHECK
- 円の方程式とは円周上の座標(x,y)と半径rの関係を表した式のこと
- 円の方程式はピタゴラスの定理で求められるもの
- シンプルなものであるため、一緒に理解を深めていくことで解けるようになる
円の方程式の2つの表し方と解き方
円の方程式の表し方には、標準形と一般系の2つがあります。
具体的には次の式のようなものです。
(x-a)2+(y-b)2=r2(標準形)
x2+y2+lx+my+n=0(一般形)
標準形と一般形は考え方自体は同じものの、公式が異なります。
標準形は基本的に問題に中心や半径が与えられた場合に用いるもので、一般系は3点の座標がある場合に使用します。
標準形と一般形の基礎を理解し、例題をもとに実際に解いてみましょう。
円の方程式の表し方①：標準形
ここでは標準形について紹介します。
標準形は次のようなものです。
(x-a)2+(y-b)2=r2(標準形)
標準形のaとbとrは既に役割が決まっています。
aとbは円の中心の座標を表すものです。
ただし注意点として-aと-bなどとなっているときに、中心の座標は+aと+bとなります。
一方のrは円の半径を表すものです。
標準形の方程式を求める問題
ここでは標準形の方程式を求める例題を出しますので、実際にどのような解き方なのかをみてみましょう。
例題は次のとおりです。
中心が点(ー2,1)で点(1,3)を通る円
解き方についてみてみましょう。
中心が点(ー2,1)と指定されているため、先ほどの話からaが-2,bが1と分かります。
なのでaに-2,bに1を入れた式を作ります。
残りのわからない部分はrの値です。
そこで先ほど指定されていた通る座標である(1,3)をrに入れます。
xに1,yに3を代入すると次のようになります。
32+22=r2
そしてrを求められるようになります。
rの平方根はプラスマイナスになりますが、rは半径でマイナスにはなりません。
なのでプラスの方だけ選択をします。
aとbとrがわかり、求める方程式は次の形になります。
(x+2)2+(y-1)2=13
もともとの形の式がわかっていれば、つまずくことなくスムーズに解けるはずです。
円の方程式の表し方②：一般形
ここでは一般形について紹介します。
一般形は次のようなものです。
x2+y2+lx+my+n=0(一般形)
一般形は円を表します。
一般形の方程式を求める問題
一般形は円を表すといいましたが、さらに詳しくどのような円なのかを考えてみましょう。
例えば、中心の座標と半径を求めたいとき。
この場合は標準系の式に変えればいいのです。
どのように変えるのかというと、それぞれxとyを変形させて、平方完成をします。
具体的には次のとおりです。
x2+y2-lx+my+n=0
平方完成後↓
(x-a)2+(y-b)2=A
xの式、yの式、それぞれで平方完成をして式を整備すると次になります。
(x-1)2+(y+3)2=4
こちらで中心の座標と半径がわかりました。
中心の座標は(1,3)、半径は2の円を表します。
yのところは+3となっているため、符号が逆転して-3です。
半径は2乗して4になる値のうち、プラスの方なので2です。
以上で円の方程式の基本ができました。
CHECK
- 標準形のaとbとrは既に役割が決まっている
- 一般形はそれぞれxとyを変形させて、平方完成すれば良い
- 標準形の際、-aと-bなどとなっているときに、中心の座標は+aと+bとなる
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軌跡の意味と問題の解き方について
ここでは軌跡について勉強しましょう。
軌跡とはわかりやすくいってしまえば、x,y平面上で動く点が通る道のことです。
軌跡は特別難しいものではなく、シンプルな解き方です。
点の条件を求めて通る道が分かればいいだけなので、そこまで難しいことはありません。
何度か問題を解いていくことで理解できるはずです。
では、軌跡の意味と、軌跡を求める例題を交えて理解を深めていきましょう。
軌跡とは
先にも述べましたが、軌跡とはx,y平面上で動く点が通る道のことです。
動く点の動き方に決まりがあれば、動く道のりは必ずきれいな図形となります。
その図形について求めるものが軌跡です。
実際に大辞林第3版でも、「点が一定の条件に従って動く」ときに描く図形。
一定の条件を満たす点全体の集合」と記載されています。
つまり、ただの図形ではなく点の動き方の決まりを反映した図形だということです。
軌跡とは点の条件を求めると理解して間違いないでしょう。
軌跡を求める問題(アポロニウスの円)
奇跡を求める例題をみてみましょう。
2点A(ー2,1),B(6.0)に対して、次の条件を満たす点Pの軌跡を求めよ。
AP:BP＝3:1
Aからの距離とBからの距離の比が常に3:1となる点は、一箇所ではないはずです。
いろいろなところに3:1の比があり、それを全部集めた図形を今回は求めます。
今回紹介する軌跡の解き方は、他の問題だとして軌跡であれば解き方は同じです。
以下回答です。
軌跡上にある点に、まずPと名前をつけます。
その点Pの座標を(x,y)と文字で置きます。
これはどんな軌跡の問題でも必ずおこなうことです。
軌跡の問題はx,yの間にあるルールを見つけてしまえばいいのです。
今回の場合はAとPの間の距離、またはBとPの間の距離を計算するところからおこないましょう。
2つの点の間の距離は、三平方の定理で計算できます。
つまり次のようになります。
AP＝3BPすなわちAP2＝9BP2
(x＋2)2＋y2＝9｛(x−6)2＋y2｝
BPに3をかけることで、両辺等しくなります。
ルートがあると手間がかかるため、両辺2乗して式を整備します。
そうすると円の方程式になります。
x2＋y2−14x＋40＝0
円の方程式の中心と半径を求めるために、それぞれを平方完成します。
(x-7)2＋y2＝9
求める軌道は中心7,0、半径3の円だということが分かりました。
ちなみにこのように2つの点からの距離が、1:1ではないような点の軌跡というのは円になります。
そしてその円にはアポロニウスの円という名前がついています。
非常に有名な円であるため覚えておきましょう。
CHECK
- 軌跡とはx,y平面上で動く点が通る道のこと
- ただの図形ではなく点の動き方の決まりを反映した図形
- 1:1ではないような点の軌跡というのは円になる
領域の意味と問題の解き方
次は領域について勉強しましょう。
領域とはわかりやすくいうとx,y平面上で塗りつぶされたエリアのことです。
領域も軌跡と同じく、大学入試で出題されやすい分野です。
ここでは領域の例題を交えながら解説していきますので、領域への理解を深めていきましょう。
領域とは
先にもいいましたが、領域とは,y平面上で塗りつぶされたエリアのことを指します。
例えば次の不等式。
2x＋3y≦6
x2＋y2−4x≦0
ここにある不等式を満たすxとyのペアというのは一つではなく、複数あります。
その満たすペアを全て点で表すと、x,y平面上にエリアが現れるはずです。
それがこの不等式が表す領域ということになります。
領域を求める問題(直線)
先ほど紹介した次の不等式を解いてみましょう。
2x＋3y≦6
x2＋y2−4x≦0
難しいかと思うかも知れませんが、実際は簡単なものです。
実際に解いてみましょう。
この式をまず、左辺にyが来るように整理してみます。
x2＋y2−4x≦0→y≦−23x＋2
不等号を一旦、等号に書き換えてみると、単純な一次関数の形になります。
この1次関数をx,y平面に書いてみましょう。
直線y≦−23x＋2および
その下側で右の図の斜線部分でもあります。
ただし、境界線を含みます。
そして最後にこのもともとの不等号を確認します。
x2＋y2−4x≦0
yは右辺以下である式になっているため、先ほど書いた直線の下側が求める領域となります。
もしもyが右辺以上であれば、領域の上側を表します。
境界とは
問題の解説の際に述べた、境界線を含む含まないとは「＝」があるかないかです。
「≦」「≧」は協会を含むといいます。
しかし、「＜」「＞」であれば境界を含みません。
境界は＝が入っているかいなか、とシンプルなものであるため覚えておきましょう。
境界を含むか含まないかによって図の書き方が変わるのですが、図ではわかりにくいため文字をしっかりと記載をします。
領域を求める問題
ここでは円の方程式の場合もみてみましょう。
例えば次の不等式の場合を紹介します。
x2＋y2−4x≦0
こちらは先ほど勉強した円の方程式に非常によく似ています。
回答は次のとおりです。
不等号を等号に書き換えれば円の方程式です。
(x-2)＋y2≦4
中心の座標と半径を求めるために平方完成するとこの形になります。
まずその円を書いてみましょう。
そして最後に、等号を不等号に戻します。
そうすると左辺が半径以下であるという式になります。
左辺が半径以下というときには、先ほど書いた円の内側が求める領域です。
逆にこれが半径以上になれば、円の外側になります。
CHECK
- 領域とはわかりやすくいうとx,y平面上で塗りつぶされたエリアのこと
- 境界線を含む含まないとは「＝」があるかないか
- 左辺が半径以下というときには、円の内側が求める領域だが半径以上になれば、円の外側
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まとめ
この記事では円の方程式の分野を解説しました。
一見難しそうに感じる円の方程式ですが、一度解き方を覚えれば簡単なものです。
解き方自体もシンプルであるため、今まで習ってきたことを活用すればスムーズに解くことができます。
しかし、それでも円の方程式が理解できない、どうしても難しいと感じる方もいるでしょう。
その場合は家庭教師のトライへご相談下さい。
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【初心者でもわかる】この記事のまとめ
「円の方程式」に関してよくある質問を集めました。
円の方程式の2つの表し方とは何ですか？
円の方程式の2つの表し方は標準形と一般形があり、標準形は、円の中心と半径がすぐに分かります。一般系の特徴はxとyが二次ある方程式で、xyno項を含まないことです。円の方程式は標準形、一般形と両方の形式で出題されるため、しっかりと理解しておきましょう。円の方程式の2つの表し方の詳細はこちらを参考にしてください。
軌跡とは何ですか？
軌跡とはx,y平面上で動く点が通る道のことです。動く点の動き方に条件がある場合は、動く道のりは必ずきれいな図形になるのです。その図形について求めるのが軌跡になります。ただの図形ではなく、条件がある点の動き方の決まりを反映した図形です。軌跡＝点の条件を求めると認識しても間違いありません。軌跡についてはこちらを参考にしてください。