ピタゴラスの定理(三平方の定理)とは？例題付きで詳しく解説！

ピタゴラスの定理の証明方法

ここまで、ピタゴラスの定理の式について解説してきました。

ピタゴラスの定理の証明方法は、非常に多く、数百通り発見されているともされています。

そのことから、ピタゴラスの定理の証明を行う問題は、私立高校や、大学受験でも頻出問題となっています。

そのため、ピタゴラスの定理の証明方法をいくつか覚えておくと良いでしょう。

ここからは、代表的な下記の3つの証明方法を紹介します。

それぞれ順番に解説します。

正方形を用いる

ピタゴラスの定理は、2つの異なる大きさの正方形を用いることで、証明できます。

下記はその証明方法です。

下記の画像のように、ある正方形の中にもう1つ正方形がある図形を想定する。

大きな正方形の1辺の長さはa+bとし、小さな正方形の1辺の大きさはcとする。

この場合、大きな正方形の中にできる4つの三角形は、いずれも斜辺がcであり、その他2辺の長さがaとbの直角三角形である。

このとき、小さな正方形の1辺の長さはcであるため、小さな正方形の面積は下記の計算式によって求められる。

ｃｃ＝c2

また、上記の青の部分と黄色の部分の場所を組み替えることで、下記のような正方形に変換が可能である。

当然ながら、前後の正方形の違いは、直角三角形や正方形の位置を組み替えたのみである。

そのため、前後で正方形の面積は変わらない。

その上で、黄色の部分の面積が変わっていないことを考慮すると、三平方の定理となる下記の式が成立する。

a2+b2=c2（証明終）

この証明方法は、その他の定理などを使う必要がないため、比較的簡単に証明可能です。

ピタゴラスの定理の証明方法として、最も代表的な方法なので、覚えておくと良いでしょう。

内接円を用いる

次に紹介するのは、直角三角形の中に内接円を描くことで、ピタゴラスの定理の証明を行う方法です。

上述した正方形を用いる方法よりも、説明も平易であり、特別な定理を使う必要も無いので、ぜひマスターしましょう。

下記は内接円を用いた証明方法です。

直角三角形ABCと、それに内接する円Oがあると仮定する。

また、直角三角形ABCは、∠C＝90°であり、角A、B、Cに向かい合う辺を、それぞれ辺A、B、Cとする。

この時、直角三角形ABCの面積の求め方は2種類あるため、直角三角形ABCの面積をSとして、2種類の求め方で計算を行う。

(i)通常通り、底辺と高さを用いる計算の場合

直角三角形ABCにおいて、底辺がa、高さがbであるため、直角三角形ABCの面積Sは下記のように求められる。

S=12ab

(ii)内接円Oの中心と、直角三角形ABCのそれぞれの角を結ぶことでできる3つの三角形の和としてSを求める場合

三角形ABCと内接円Oの接点と、内接円Oの中心を結ぶ直線は、それぞれの接線の直角に交わる。

この時、接点と内接円Oの中心を結ぶ直線は、円Oの半径rとなる。

この場合、三角形ABCである面積Sは下記の式によって求められる。

S=12ar+12br+12cr

　=12r(a+b+c)

(i)と(ii)より、下記の式が成立する

12ab=12r(a+b+c)

ab=r(a+b+c)・・・(iii)

ここで、内接円Oの半径であるrを直角三角形のそれぞれの辺の長さであるa、b、cで表す。

上記の図のようになるため、斜辺cは下記のように表される。

c=(a-r)+(b-r)

c=a+b-2r

上記の式を整理すると、下記のようになる。

r=a+b-c2・・・(iv)

(iv)を(iii)に代入すると

ab=a+b-c2(a+b+c)

2ab=(a+b-c)(a+b+c)

2ab=(a+b)2-c2

これを整理すると

a2+b2=c2（証明終）

内接円の知識があるだけで、ピタゴラスの定理の証明が可能であるため、非常に証明問題としても頻出です。

また、ピタゴラスの定理の証明だけではなく、この考え方を使った様々な応用問題も出題されるため、この証明方法も覚えておくことをおすすめします。

相似を用いる

ピタゴラスの定理は、相似を活用することによって証明を行うことも可能です。

直角三角形を2等分することで生まれる、2つの相似な直角三角形を利用します。

下記は、相似を用いた証明です。

∠C＝90°の直角三角形ABCを仮定する。

なお、角A、B、Cに向かい合う辺の長さを、それぞれa、b、cとする。

この直角三角形ABCにおいて、∠Cから、辺ABに向かって垂線AHを下ろす。

この時、△ABCと△ACHに注目する。

共通の角であるため、∠CAB＝∠HAC・・・(i)

また、CHは、直線ABの垂線であるため、∠CHA＝∠BCA＝90°・・・(ii)

(i)、(ii)より、△ABC∽△ACH・・・(iii)

次に、△ABCと△CBHに注目する。

こちらも同様に△ABC∽△CBHであることが分かる・・・(iv)

(iii)と(iv)より、下記であることは明らかである。

△ABC∽△ACH∽△CBH

上記より、この3つの相似な三角形における相似比は、それぞれの斜辺を考えるとc:b:aとなる。

そのため、面積比は、c2:b2:a2である。

この3つの三角形の面積は、それぞれ正の数kを用いて、下記のように表される。

△ABC=kc2

△ACH=kb2

△CBH=ka2

また、△ABC＝△ACH＋△CBHであるため、下記が成立する。

kc2＝kb2+ka2

上記の式を整理して

a2+b2=c2（証明終）

相似と相似比を用いることで、比較的容易にピタゴラスの定理を証明することが可能です。

相似を既に習っている必要があるものの、他の2つの証明とは違い、別の図形を用いたり、直角三角形の中に新たな図形を足したりする必要が無いため、計算も非常に楽です。

ピタゴラスの定理の証明を求められた際に、方法の制約が課されていない場合には、この方法を積極的に活用しましょう。

ピタゴラスの定理の計算

ここまで、ピタゴラスの定理の証明について解説しました。

ここからは、ピタゴラスの定理を実際に応用して、活用する方法について解説します。

角度の求め方

直角三角形の角度が分からない場合、ピタゴラスの定理では角度を求められませんが、高校の数学で習う三角関数によって、角度を求められます。

三角関数で角度を求める際の公式は2種類あり、それぞれ下記の通りです。

中学単元まででは、直角三角形の角度を求めることは難しいため、上記の公式を覚える必要はありません。

ただし、高校生になると、文系でも下の公式を利用する機会はあるため、高校生は覚えておくことをおすすめします。

斜辺の求め方

ピタゴラスの定理を用いれば、他の2辺の長さが分かっていれば、容易に斜辺の長さを求められます。

たとえば、1辺が3、もう1辺が4の場合、ピタゴラスの定理に当てはめると、下記のように斜辺を求められます。

上記の計算式を解くと、c=±5となります。

辺の長さが負の数になることはないので、斜辺cの長さが5であることが分かります。

また、斜辺に限らず、他の2辺の長さが分かっている場合はもう1辺の長さを求めることが可能です。

ピタゴラスの定理を満たす、3辺の大きさの組み合わせの中には、すべての数が整数となる組み合わせがあります。

この組み合わせの数を「ピタゴラス数」と呼ばれており、覚えておくべき組み合わせです。

代表的な2つの組み合わせと、直角二等辺三角形で用いられる、辺の比を紹介します。

代表的なピタゴラス数の組み合わせは、下記の2点です。

これらの組み合わせは、頻出なので必ず押さえておきましょう。

また、直角二等辺三角形の場合は、必ず辺の比が1:1:2になります。

こちらも併せて覚えておくと良いでしょう。

応用問題とはいえ、ピタゴラスの定理の基礎が分かっていれば、答えられる問題なので、理解度を試す意図を持って、ぜひ挑戦してみてください。

斜辺が5cm、1辺が3cmの直角三角形の、もう1辺の長さを求めなさい

斜辺が5cm、一方の辺の長さが3cmなので、未知の辺の長さをaとすると、ピタゴラスの定理より下記の式が成り立つ

a2+32=52

上記の式を計算すると、a=±4。

辺の長さは常に正の数であるため、未知の辺の長さは4cmである。

先述した数の組み合わせであるため、慣れていれば計算せずとも答えられます。

しかし、ピタゴラス数が問題で出題されるのは稀であるため、計算を行ってピタゴラスの定理に慣れておきましょう。

斜辺の長さが4cmの直角二等辺三角形の他2辺の長さを求めなさい

先述したように、直角二等辺三角形の辺の長さの比は、等しい2辺を1とした場合、下記の通りである。

1:1:2

よって、今回の未知の辺の長さをxとすると下記が成立する

x:4=1:2

上記を解いて、求める長さx=22

直角二等辺三角形の辺の長さの比は決まっているため、その比に当てはめて式を作ることが大切です。

ピタゴラス数とともに、必ず覚えておくべき内容なので、押さえておきましょう。

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展開地域	東京都、神奈川県、埼玉県、千葉県、愛知県、京都府、大阪府、兵庫県、福岡県
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まとめ

本記事では、ピタゴラスの定理の概要や証明方法を解説するとともに、例題をご紹介しました。

ピタゴラスの定理は、一見難しそうに感じられるものの、慣れてしまうと簡単に回答できます。

そのため、何度も問題を解くことで、慣れることが大切です。

また、高得点を狙う方は、証明方法なども覚えておくと良いでしょう。

ピタゴラスの定理に苦手意識のある方は、ぜひ本記事を参考に学び直してください。

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