今回は、中学数学の範囲である平方根とルートについて説明していきます。
平方根とルートを基礎から学ぶことができる内容になっています。
おすすめの参考書や塾も紹介しているので、ぜひ参考にしてください。
■まとめ
さっそく、平方根とルートについて解説していきます。
平方根とルートとは何かについて見ていきましょう。
平方根とは2乗の逆の概念で、ある数を2乗したときにその基になった数のことです。
具体的には、9の平方根は3、16の平方根は4になります。
平方根にはプラスとマイナスの２つが存在します。
平方とは２乗のことをいい、平方根は２乗根とも呼ばれています。
平方根は長さとして使われることが多いことも知っておきましょう。
平方根をより簡単な記号で表すため、ルート記号ができました。
2つの平方根のうち、プラスの方をルート記号を使って表すことができます。
例えば、√4＝2、√25＝5とすることができます。
マイナスの平方根は、マイナスを付けたルートで表すことができます。
具体的には、ｰ√4= ｰ2、ｰ√25= ｰ5と表せます。
✔平方根はプラスとマイナスの2つが存在する
✔平方根は長さを表すために使用する
✔ルートは平方根を簡単な記号で表すためにできた
ここでは、ルートの計算方法について説明していきます。
計算方法を学び、ルートについての理解を深めていきましょう。
ルートの計算には素因数分解の知識が必要不可欠です。
素因数分解とは、数字を素数の積で表すことをいい、答えは一つに決定されます。
素数とはある数字を1とその数の2つのみで割ることができる数字のことで、具体的には2、3、5、7などがあります。
以上を踏まえて、実際に素因数分解を行ってみましょう。
例えば、24という数字を素因数分解すると、24は偶数なので2で割ることができます。
つまり、24＝12×2として表すことができます。
24を2で割って出た12も同様に偶数であるので、2で割ることができ、12＝6×2と表すことができます。
さらに12を2で割ることで出された6も偶数であるので、6＝2×3とすることができます。
その結果、24は2の3乗と3に素因数分解することができます。
24を割って出てきた2と3は素数のため、これ以上分解することはできません。
また、同じ素数が複数ある場合は、それらを累乗の形にする必要があります。
さらに因数の中に×1を含めてはいけないことに注意しましょう。
1は素因数ではないからです。
今回の場合、2が3つと3が1つあるので、24＝2³×3と表すことができます。
これで、24の素因数分解ができました。
素因数分解が理解できたら、ルートの計算方法を学んでいきましょう。
まずは、ルートの掛け算と割り算について説明していきます。
例題である√18×√24を解くことで理解を深めていきましょう。
まずは、ルートの中身を素因数分解し、ルートを簡単にします。
ルートを簡単にするときは、ルートの中身を素因数分解し、2乗になっている数字を2乗をとった状態でルートから取り出します。
さっそく、例題のルートを簡単にしてみましょう。
√18×√24を解くとき、まずは√18と√24を簡単にします。
√18は因数分解により、√18＝√2×3²とすることができます。
2乗となっている3は、2乗を外してルートの外に出すことで、3√2となります。
√24は因数分解により、√24＝√2³×3とすることができます。
2乗となっている2を、2乗を外してルートの外に出すことで、2√6となります。
よって、√18×√24を因数分解すると、3√2×2√6に変形することができます。
つぎに、整数とルートに分けて計算します。
整数の部分・平方根の部分それぞれを計算し、最後に整数とルートの部分を分けて計算した答えをくっつけます。
では、例題の続きを解いていきましょう。
まずは、さきほど素因数分解して出した3√2×2√6の整数部分である3と2を掛けて6とします。
その後、ルートの掛け算をすると√2×√6＝√12となります。
最後に、整数部分の6とルート部分の√12をくっつけて、6√12となります。
最後に、再びルートの中身を素因数分解することでルートを簡単にします。
例題の続きを確認していきましょう。
さきほど出した6√12は、再びルートの中身を素因数分解すると6√2²×3となり、2乗になっている2は2乗を外してルートの外に出すことができます。
よって、√18×√24は12√3が答えになります。
次は、ルートの足し算と引き算について説明していきます。
例題を通して、計算方法を確認していきましょう。
まずは乗除の時と同様、素因数分解をすることで、ルートを簡単にします。
ルートの中身を簡単にすることで計算がしやすくなるからです。
簡単にする方法は、掛け算や割り算と同様です。
つぎに、ルートの中身が同じもののみを足し引きします。
例えば、「6√2-3√2」は√2が同じであるので「6√2-3√2=3√2」と引き算することができます。
しかし、「4√5-3√2」はルートの中身が5、2と別々であるので、計算することができません。
ルートの中身が同じでない場合は、そのまま放置しましょう。
また、ルートの中身は足し算・引き算しないように気をつけましょう。
それでは、例題「√12＋√18－√32」を解いていきます。
「√12＋√18－√32」を計算するとき、まずはルートを簡単にします。
素因数分解をしてそれぞれ簡単にすると、2√3+ 3√2－4√2となります。
次に、中身が同じものを探すと、3√2と4√2はルートの中身が同じため、計算することができます。
よって、2√3ｰ1√2が答えになります。
ルートの中身が同じ項がない2√3は、放置して大丈夫です。
✔ルートの計算には素因数分解の理解が必要
✔素因数分解をすることからはじめよう
✔式によって解き方が異なるので注意しよう
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今回は、中学で習うルートについて解説しました。
ルートの計算には素因数分解の知識が必要となります。
また式によってそれぞれ解き方が異なるので解き方を覚えて、基礎を固めていきましょう。
中学数学の学習には、参考書を使うことがおすすめです。
問題集を使用してすることで、多くの問題に触れることができます。
まずは基礎を身につけ、その上で問題を繰り返し解いていきましょう。
「ルートの計算」に関してよくある質問を集めました。
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ルートの掛け算は、3ステップで計算することができます。まずは素因数分解をしてルートを簡単にします。次に整数とルートを分けて計算してそれらをくっつけます。最後に、再び素因数分解をしてルートを簡単にすることで答えを求められます。ルートの計算について詳しくはこちらを参考にしてください。