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更新日 2022.6.12

【中学3年生必見】ルートの計算方法とおすすめの参考書を徹底解説!

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今回は、中学数学の範囲である平方根とルートについて説明していきます。

平方根とルートを基礎から学ぶことができる内容になっています。

おすすめの参考書や塾も紹介しているので、ぜひ参考にしてください。

【中3数学】平方根とルート

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さっそく、平方根とルートについて解説していきます。

平方根とルートとは何かについて見ていきましょう。

平方根とは

平方根とは2乗の逆の概念で、ある数を2乗したときにその基になった数のことです。

具体的には、9の平方根は3、16の平方根は4になります。

平方根にはプラスとマイナスの2つが存在します。

平方とは2乗のことをいい、平方根は2乗根とも呼ばれています。

平方根は長さとして使われることが多いことも知っておきましょう。

ルートとは

平方根をより簡単な記号で表すため、ルート記号ができました。

2つの平方根のうち、プラスの方をルート記号を使って表すことができます。

例えば、√4=2√25=5とすることができます。

マイナスの平方根は、マイナスを付けたルートで表すことができます。

具体的には、ー√4= ー2ー√25= ー5と表せます。

✔平方根はプラスとマイナスの2つが存在する

✔平方根は長さを表すために使用する

✔ルートは平方根を簡単な記号で表すためにできた

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ルートの計算方法

 

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ここでは、ルートの計算方法について説明していきます。

計算方法を学び、ルートについての理解を深めていきましょう。

【ルート計算の基本!】素因数分解

ルートの計算には素因数分解の知識が必要不可欠です。

素因数分解とは、数字を素数の積で表すことをいい、答えは一つに決定されます。

素数とはある数字を1とその数の2つのみで割ることができる数字のことで、具体的には2、3、5、7などがあります。

以上を踏まえて、実際に素因数分解を行ってみましょう。

例えば、24という数字を素因数分解すると、24は偶数なので2で割ることができます。

つまり、24=12×2として表すことができます。

24を2で割って出た12も同様に偶数であるので、2で割ることができ、12=6×2と表すことができます。

さらに12を2で割ることで出された6も偶数であるので、6=2×3とすることができます。

その結果、24は2の3乗と3に素因数分解することができます

24を割って出てきた2と3は素数のため、これ以上分解することはできません。

また、同じ素数が複数ある場合は、それらを累乗の形にする必要があります。

さらに因数の中に×1を含めてはいけないことに注意しましょう。

1は素因数ではないからです。

今回の場合、2が3つと3が1つあるので、24=2³×3と表すことができます。

これで、24の素因数分解ができました。

ルートの掛け算・割り算

素因数分解が理解できたら、ルートの計算方法を学んでいきましょう。

まずは、ルートの掛け算と割り算について説明していきます。

例題である√18×√24を解くことで理解を深めていきましょう。

ルートの掛け算・割り算の手順
  • ①まずは素因数分解
  • ②分けて計算
  • ⓷再び素因数分解

①まずは素因数分解

まずは、ルートの中身を素因数分解し、ルートを簡単にします。

ルートを簡単にするときは、ルートの中身を素因数分解し、2乗になっている数字を2乗をとった状態でルートから取り出します。

さっそく、例題のルートを簡単にしてみましょう。

√18×√24を解くとき、まずは√18と√24を簡単にします。

√18は因数分解により、√18=√2×3²とすることができます。

2乗となっている3は、2乗を外してルートの外に出すことで、3√2となります。

√24は因数分解により、√24=√2³×3とすることができます。

2乗となっている2を、2乗を外してルートの外に出すことで、2√6となります。

よって、√18×√24を因数分解すると、3√2×2√6に変形することができます。

②分けて計算

つぎに、整数とルートに分けて計算します。

整数の部分・平方根の部分それぞれを計算し、最後に整数とルートの部分を分けて計算した答えをくっつけます。

では、例題の続きを解いていきましょう。

まずは、さきほど素因数分解して出した3√2×2√6の整数部分である3と2を掛けて6とします。

その後、ルートの掛け算をすると√2×√6=√12となります。

最後に、整数部分の6とルート部分の√12をくっつけて、6√12となります。

⓷再び素因数分解

最後に、再びルートの中身を素因数分解することでルートを簡単にします。

例題の続きを確認していきましょう。

さきほど出した6√12は、再びルートの中身を素因数分解すると6√2²×3となり、2乗になっている2は2乗を外してルートの外に出すことができます

よって、√18×√24は12√3が答えになります。

ルートの足し算・引き算

次は、ルートの足し算と引き算について説明していきます。

例題を通して、計算方法を確認していきましょう。

ルートの足し算・引き算の手順
  • ①まずは素因数分解
  • ②ルートの中身が同じのものを計算

①まずは素因数分解

まずは乗除の時と同様、素因数分解をすることで、ルートを簡単にします。

ルートの中身を簡単にすることで計算がしやすくなるからです。

簡単にする方法は、掛け算や割り算と同様です。

②ルートの中身が同じのものを計算

つぎに、ルートの中身が同じもののみを足し引きします。

例えば、「6√2-3√2」は√2が同じであるので「6√2-3√2=3√2」と引き算することができます。

しかし、「4√5-3√2」はルートの中身が5、2と別々であるので、計算することができません。

ルートの中身が同じでない場合は、そのまま放置しましょう。

また、ルートの中身は足し算・引き算しないように気をつけましょう。

それでは、例題「√12+√18-√32」を解いていきます。

「√12+√18-√32」を計算するとき、まずはルートを簡単にします。

素因数分解をしてそれぞれ簡単にすると、2√3+ 3√2-4√2となります。

次に、中身が同じものを探すと、3√2と4√2はルートの中身が同じため、計算することができます。

よって、2√3ー1√2が答えになります。

ルートの中身が同じ項がない2√3は、放置して大丈夫です。

✔ルートの計算には素因数分解の理解が必要

✔素因数分解をすることからはじめよう

✔式によって解き方が異なるので注意しよう

ルートの計算が学べる参考書

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ここでは、ルートの計算が学べる参考書を紹介します。

中学数学を復習したい人や、予習として学びたい人に役立つ参考書です。

ぜひ参考にしてくださいね。

中学校3年間の数学が1冊でしっかりわかる問題集

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出版社 かんき出版
値段 1,320円(税込)

15万部のロングセラーとなった『中学校3年間の数学が1冊でしっかりわかる本』の問題集版です。

最小限の時間で最大限に理解できるように中学数学の重要な部分だけをまとめています。

そのため学び直しをしたい人も効率的に復習することができます。

またミスを減らす方法や解き方のコツも収められているので、周りと差を付けることができます。

中3数学をひとつひとつわかりやすく。

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出版社 学研プラス
値段 1,100円(税込)

「中3数学をひとつひとつわかりやすく。」は中学3年生の数学を基礎レベルから丁寧に解説した一冊です。

やさしい言葉と豊富な図解で解説してあるので、数学が苦手な人にもおすすめです。

書き込み式の練習問題で、理解した内容をすぐにアウトプットして理解を深めることができます。

1回の学習が見開き1ページにまとまっているので、続けやすい問題集です。

中学 自由自在 数学

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出版社 受験研究社
値段 3,190円(税込)

中学3年間だけでなく高校への発展学習事項までカバーしている参考書です。

学習内容を分かりやすく整理した図や表で、理解を深めることができます。

これから必要とされる「記述力・思考力」を伸ばす例題を多く収録しています。

書籍の全ページをデータベース化していて、索引内のキーワードをスマホアプリで質問すると該当ページを確認することができるので、効率よく学習を進めることができます。

✔要点に焦点を当てて学びたい人は「中学校3年間の数学が1冊でしっかりわかる問題集」

✔超基礎からやりたい人は「中3数学をひとつひとつわかりやすく。

✔発展的な学習もしたい人は「中学 自由自在 数学」

中学生におすすめの学習塾

個別教室のトライ

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個別教室のトライの特徴

個別教室のトライは、120万人の生徒を指導していく中でマンツーマン授業の効果を最大化するための方法を研究し続け、トライ式学習法という独自の学習法を生み出しました。

授業内で教えたことを改めて生徒に説明してもらうダイアログ学習法や、脳科学を応用して、授業の1時間後、寝る前、翌日の3度復習を行うトライ式復習法がその例です。

豊富な指導実績に基づいた効果的な指導で、定期テスト対策から受験勉強まであらゆる生徒のニーズに対応してくれます。

個別教室のトライの料金

個別教室のトライでは、生徒の学習状況や目標に応じてオーダーメイドカリキュラムを作成してくれます。

そのため、料金は一人ひとり異なります。

無料で見積もりを実施してくれるので、気になる方はお近くの教室までお問い合わせください。

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まとめ

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今回は、中学で習うルートについて解説しました。

ルートの計算には素因数分解の知識が必要となります。

また式によってそれぞれ解き方が異なるので解き方を覚えて、基礎を固めていきましょう。

中学数学の学習には、参考書を使うことがおすすめです。

問題集を使用してすることで、多くの問題に触れることができます。

まずは基礎を身につけ、その上で問題を繰り返し解いていきましょう。

【初心者でもわかる】この記事のまとめ

「ルートの計算」に関してよくある質問を集めました。

ルートの計算が身につくおすすめの参考書は?

ルートの計算が身につくおすすめの参考書は、「中学校3年間の数学が1冊でしっかりわかる問題集」「中3数学をひとつひとつわかりやすく」「中学 自由自在 数学」の3冊です。自分に合った参考書を見つけ、数学の学習を進めていきましょう。参考書についての詳細はこちらをご確認ください。

ルートの掛け算はどうやって計算するの?

ルートの掛け算は、3ステップで計算することができます。まずは素因数分解をしてルートを簡単にします。次に整数とルートを分けて計算してそれらをくっつけます。最後に、再び素因数分解をしてルートを簡単にすることで答えを求められます。ルートの計算について詳しくはこちらを参考にしてください。

この記事を企画・執筆した人
-StudySearch編集部-
この記事は、StudySearchを運営している株式会社デジタルトレンズのStudySearch編集部が企画・執筆した記事です。
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