今回は、中学数学の範囲である平方根とルートについて説明していきます。

平方根とルートを基礎から学ぶことができる内容になっています。

おすすめの参考書や塾も紹介しているので、ぜひ参考にしてください。

【中３数学】平方根とルート

さっそく、平方根とルートについて解説していきます。

平方根とルートとは何かについて見ていきましょう。

平方根とは

平方根とは2乗の逆の概念で、ある数を2乗したときにその基になった数のことです。

具体的には、9の平方根は3、16の平方根は4になります。

平方根にはプラスとマイナスの２つが存在します。

平方とは２乗のことをいい、平方根は２乗根とも呼ばれています。

平方根は長さとして使われることが多いことも知っておきましょう。

ルートとは

平方根をより簡単な記号で表すため、ルート記号ができました。

2つの平方根のうち、プラスの方をルート記号を使って表すことができます。

例えば、√4＝2、√25＝5とすることができます。

マイナスの平方根は、マイナスを付けたルートで表すことができます。

具体的には、ｰ√4= ｰ2、ｰ√25= ｰ5と表せます。

ルートの計算方法

　

ここでは、ルートの計算方法について説明していきます。

計算方法を学び、ルートについての理解を深めていきましょう。

【ルート計算の基本！】素因数分解

ルートの計算には素因数分解の知識が必要不可欠です。

素因数分解とは、数字を素数の積で表すことをいい、答えは一つに決定されます。

素数とはある数字を1とその数の2つのみで割ることができる数字のことで、具体的には2、3、5、7などがあります。

以上を踏まえて、実際に素因数分解を行ってみましょう。

例えば、24という数字を素因数分解すると、24は偶数なので2で割ることができます。

つまり、24＝12×2として表すことができます。

24を2で割って出た12も同様に偶数であるので、2で割ることができ、12＝6×2と表すことができます。

さらに12を2で割ることで出された6も偶数であるので、6＝2×3とすることができます。

その結果、24は2の3乗と3に素因数分解することができます。

24を割って出てきた2と3は素数のため、これ以上分解することはできません。

また、同じ素数が複数ある場合は、それらを累乗の形にする必要があります。

さらに因数の中に×1を含めてはいけないことに注意しましょう。

1は素因数ではないからです。

今回の場合、2が3つと3が1つあるので、24＝2³×3と表すことができます。

これで、24の素因数分解ができました。

ルートの掛け算・割り算

素因数分解が理解できたら、ルートの計算方法を学んでいきましょう。

まずは、ルートの掛け算と割り算について説明していきます。

例題である√18×√24を解くことで理解を深めていきましょう。

①まずは素因数分解

まずは、ルートの中身を素因数分解し、ルートを簡単にします。

ルートを簡単にするときは、ルートの中身を素因数分解し、2乗になっている数字を2乗をとった状態でルートから取り出します。

さっそく、例題のルートを簡単にしてみましょう。

√18×√24を解くとき、まずは√18と√24を簡単にします。

√18は因数分解により、√18＝√2×3²とすることができます。

2乗となっている3は、2乗を外してルートの外に出すことで、3√2となります。

√24は因数分解により、√24＝√2³×3とすることができます。

2乗となっている2を、2乗を外してルートの外に出すことで、2√6となります。

よって、√18×√24を因数分解すると、3√2×2√6に変形することができます。

②分けて計算

つぎに、整数とルートに分けて計算します。

整数の部分・平方根の部分それぞれを計算し、最後に整数とルートの部分を分けて計算した答えをくっつけます。

では、例題の続きを解いていきましょう。

まずは、さきほど素因数分解して出した3√2×2√6の整数部分である3と2を掛けて6とします。

その後、ルートの掛け算をすると√2×√6＝√12となります。

最後に、整数部分の6とルート部分の√12をくっつけて、6√12となります。

⓷再び素因数分解

最後に、再びルートの中身を素因数分解することでルートを簡単にします。

例題の続きを確認していきましょう。

さきほど出した6√12は、再びルートの中身を素因数分解すると6√2²×3となり、2乗になっている2は2乗を外してルートの外に出すことができます。

よって、√18×√24は12√3が答えになります。

ルートの足し算・引き算

次は、ルートの足し算と引き算について説明していきます。

例題を通して、計算方法を確認していきましょう。

①まずは素因数分解

まずは乗除の時と同様、素因数分解をすることで、ルートを簡単にします。

ルートの中身を簡単にすることで計算がしやすくなるからです。

簡単にする方法は、掛け算や割り算と同様です。

②ルートの中身が同じのものを計算

つぎに、ルートの中身が同じもののみを足し引きします。

例えば、「6√2-3√2」は√2が同じであるので「6√2-3√2=3√2」と引き算することができます。

しかし、「4√5-3√2」はルートの中身が5、2と別々であるので、計算することができません。

ルートの中身が同じでない場合は、そのまま放置しましょう。

また、ルートの中身は足し算・引き算しないように気をつけましょう。

それでは、例題「√12＋√18－√32」を解いていきます。

「√12＋√18－√32」を計算するとき、まずはルートを簡単にします。

素因数分解をしてそれぞれ簡単にすると、2√3+ 3√2－4√2となります。

次に、中身が同じものを探すと、3√2と4√2はルートの中身が同じため、計算することができます。

よって、2√3ｰ1√2が答えになります。

ルートの中身が同じ項がない2√3は、放置して大丈夫です。

中学生におすすめの学習塾

個別教室のトライ

個別教室のトライの基本情報
対象学年	小学生～高校生
対象地域	全国
授業形式	個別指導
特徴	生徒の課題に合わせた学習プランの提供

個別教室のトライの特徴

個別教室のトライは、120万人の生徒を指導していく中でマンツーマン授業の効果を最大化するための方法を研究し続け、トライ式学習法という独自の学習法を生み出しました。

授業内で教えたことを改めて生徒に説明してもらうダイアログ学習法や、脳科学を応用して、授業の1時間後、寝る前、翌日の3度復習を行うトライ式復習法がその例です。

豊富な指導実績に基づいた効果的な指導で、定期テスト対策から受験勉強まであらゆる生徒のニーズに対応してくれます。

個別教室のトライが中学生におすすめの理由

苦手分野を克服するためには、徹底的な学習プランを立てなくてはなりません。

また、学習プランに加え、つまずいてしまう原因を把握する必要があります。

そのようなとき是非頼っていただきたいのが、個別教室のトライです。

個別教室のトライでは、学習の理解度を加味した一人ひとりに合わせたカリキュラム設定をしてくれます。

トライの講師は、プロであるため様々なノウハウを持っています。

また、講師が合わなかった場合でも、交代することが可能なので、自分と相性のよい講師を選択することができます。

苦手分野を克服するために必要なことを個別教室のトライが提供してくれるため、勉強に集中し、効率よく学習を進めることができます。

個別教室のトライの料金

個別教室のトライでは、生徒の学習状況や目標に応じてオーダーメイドカリキュラムを作成してくれます。

そのため、料金は一人ひとり異なります。

無料で見積もりを実施してくれるので、気になる方はお近くの教室までお問い合わせください。

東京個別指導学院

東京個別指導学院の基本情報
対象生徒	小学生・中学生・高校生・高卒生
対象地域	首都圏を中心に全250の直営教室を展開
指導方法	最大1対2までの個別指導
自習室情報	あり（教室により要確認）
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東京個別指導学院の特徴

東京個別指導学院の特徴は、個別指導ならではの手厚い学習サポートを受けられるという点です。

東京個別指導学院では、部活や習い事、プライベートで当日に授業に行けなくなっても、振替授業を行ってくれます。

【2025年】東京・関西個別指導学院の冬期講習について

【2025年】東京・関西個別指導学院の冬期講習
対象学年	小学生 / 中学生 / 高校生
申込期間	～2026年1月31日まで
講習期間	2025年12月11日～2026年1月31日まで
授業料	＼入会金無料／ 授業料シミュレーション
冬期講習のポイント	入会金不要＆1科目からでも受講可能
校舎情報 (東京個別指導学院)	【関東】東京・神奈川・千葉・埼玉 【東海・九州】愛知・福岡 東京個別指導学院の教室情報を確認する⇒
校舎情報 (関西個別指導学院)	【関西エリア】京都・大阪・兵庫 関西個別指導学院の教室情報を確認する⇒
お問い合わせ	冬期講習のお問い合わせはこちら

東京・関西個別指導学院は、2025年の冬期講習を実施しています。

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小学生～高校生まで受講可能ですので、気になる方は1科目からでも受講をしてみてはいかがでしょうか。

東京・関西個別指導学院の冬期講習のポイント

東京・関西個別指導学院の冬期講習は、1人ひとりに最適な指導と手厚いサポートが受けられます。

1. 科目ごとに選べる担任制できめ細かい指導
2. ベネッセグループ力を活かした進路・受験指導で合格まで導く
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東京・関西個別指導学院の冬期講習は、1人ひとりに最適な専用のカリキュラムを作成してくれるので、効率よく目標まで学習することが可能です。

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ベネッセグループならではの情報力と、これまでの豊富な指導実績を活かし、的確かつ効果的な対策をご提供いたします。

東京・関西個別指導学院の冬期講習の料金・費用

東京・関西個別指導学院の冬期講習の料金・費用は、下記の通りです。

東京・関西個別指導学院の冬期講習の料金・費用
入会金	無料
授業料	授業料シミュレーションで確認する
教材費

東京・関西個別指導学院の冬期講習は、入会金不要となっており、とてもお得に安心して入塾ができます。

授業料・教材費に関しては、1人ひとり料金が異なるので、授業料シミュレーションから確認してみてください。

また、維持費や管理費なども一切不要ですので、追加での費用がかかる心配はありません。

そのため、安心して東京・関西個別指導学院の冬期講習が受けられるでしょう。

東京・関西個別指導学院の冬期講習のコース

東京・関西個別指導学院の冬期講習の学年別のコースをご紹介します。

学年	コース内容
高校生 詳しいコース内容はこちら	大学入試・志望校別対策
	総合型選抜・推薦・共通テスト対策
	定期テスト・内申点対策
	苦手科目の克服・勉強法改善
中学生 詳しいコース内容はこちら	高校受験・志望校対策
	定期テスト・内申点対策
	苦手科目の克服・勉強法改善
	学校別学習フォロー
小学生 詳しいコース内容はこちら	中学受験対策
	学習の復習・基礎固め
	学習習慣定着サポート
	苦手科目の克服サポート

各学年のコースを見ると、受験対策はもちろんのこと、総合型選抜・推薦入試対策や苦手科目のフォロー、学校別のテスト対策まで行ってくれるようです。

また、ご紹介したコースは一部になるので、その他にも柔軟に対応してくれるようです。

個別指導ならではのきめ細かい指導と最適なカリキュラムで志望校合格や目標達成が出来るでしょう。

気になる方は、公式サイトより各学年のコースを確認してみてください。

東京・関西個別指導学院の冬期講習までの流れ

東京・関西個別指導学院の冬期講習までの流れをご紹介します。

1. 公式サイトのお問い合わせフォームからお問い合わせ
2. 無料の学習相談・お子さま専用のカリキュラム作成
3. 学力・性格・目的に合った講師を選定

お問い合わせフォームよりお申込みをした後、無料の学習相談で目標や志望校などヒアリングを行い、お子さま専用のカリキュラムを作成いたします。

その後、学力・性格・目的などお子さまに合った講師を選定し、学習を始めます。

冬期講習の成果を報告してくれるので、受講後も丁寧なサポートが受けれます。

そのため、保護者は安心して指導を任せることが出来るでしょう。

気になる方は、下記の公式サイトよりお申込みを行ってみてください。

そのため、部活や習い事などで忙しい学生でも安心して通うことができます。

東京個別指導学院をおすすめする理由

東京個別指導学院をおすすめする理由は、生徒に寄り添った対話が指導を行ってくれるからです。

生徒の主体性を大切にしており、生徒が自ら学習に取り組めるように指導を行っています。

また、授業がない日でも教室に併設されている学習環境にこだわった自習室を利用することで、しっかりと勉強に取り組むことができます。

東京個別指導学院の料金

東京個別指導学院は個別指導で一人ひとりの現状や目標によって学習カリキュラムが異なるため、料金は公開されていません。

料金を確認してみたい方は、手軽に無料で出来るお問い合わせにて料金を確認してみてください。

ルートの計算が学べる参考書

ここでは、ルートの計算が学べる参考書を紹介します。

中学数学を復習したい人や、予習として学びたい人に役立つ参考書です。

ぜひ参考にしてくださいね。

中学校3年間の数学が1冊でしっかりわかる問題集

出版社	かんき出版
値段	1,320円（税込）

15万部のロングセラーとなった『中学校3年間の数学が1冊でしっかりわかる本』の問題集版です。

最小限の時間で最大限に理解できるように中学数学の重要な部分だけをまとめています。

そのため学び直しをしたい人も効率的に復習することができます。

またミスを減らす方法や解き方のコツも収められているので、周りと差を付けることができます。

中3数学をひとつひとつわかりやすく。

出版社	学研プラス
値段	1,100円（税込）

「中3数学をひとつひとつわかりやすく。」は中学3年生の数学を基礎レベルから丁寧に解説した一冊です。

やさしい言葉と豊富な図解で解説してあるので、数学が苦手な人にもおすすめです。

書き込み式の練習問題で、理解した内容をすぐにアウトプットして理解を深めることができます。

1回の学習が見開き1ページにまとまっているので、続けやすい問題集です。

中学　自由自在　数学

出版社	受験研究社
値段	3,190円（税込）

中学3年間だけでなく高校への発展学習事項までカバーしている参考書です。

学習内容を分かりやすく整理した図や表で、理解を深めることができます。

これから必要とされる「記述力・思考力」を伸ばす例題を多く収録しています。

書籍の全ページをデータベース化していて、索引内のキーワードをスマホアプリで質問すると該当ページを確認することができるので、効率よく学習を進めることができます。

まとめ

今回は、中学で習うルートについて解説しました。

ルートの計算には素因数分解の知識が必要となります。

また式によってそれぞれ解き方が異なるので解き方を覚えて、基礎を固めていきましょう。

中学数学の学習には、参考書を使うことがおすすめです。

問題集を使用してすることで、多くの問題に触れることができます。

まずは基礎を身につけ、その上で問題を繰り返し解いていきましょう。