等差数列・等比数列の公式は？漸化式や一般項での表し方を練習問題にて解説

数列とは？｜基本数列・難しい漸化式

では、早速数列について学習します。

そもそも数列とは「数の並び方」のことです。

その並び方が、どんなルールに従っているのかを学習していきます。

数列には大きく分けて、2つの単元があります。

1つ目が「基本数列」で、2つ目が「難しい漸化式」です。

基本数列では、等差数列・等比数列・階差数列の3つの数列について、基本的な性質を理解します。

基本数列について理解できたら、難しい漸化式を解く練習をする単元が2つ目です。

この中でも、今回は基本数列に絞って学習していきます。

基本数列とは？｜等差数列・等比数列・階差数列

まず、基本数列とは先ほど解説したように、等差数列・等比数列・階差数列の3つの数列の総称です。

基本数列は、数の並び方である数列を式で表すことができる点が特徴であることを理解しておきましょう。

等差数列とは？

では、等差数列から学習していきましょう。

等差数列とは、いつも前の数字に一定の決まった値を足したり引いたりすることで次の数字ができる数列のことです。

以下で、等差数列の計算方法と等差数列の2つの表し方について解説します。

等差数列の計算方法

例えば、以下の数列を見てください。

a(n)}:2,5,8,11,14,・・・

ここで質問です。

この数列において、14の次に来る数字が何かわかりますか？

この数列は、1つ前の数字に3を足した数が並んでいることがわかるはずです。

そのため、14の次は17が来ますね。

このように、いつも前の数字に一定の決まった値を足したり引いたりすることで次の数字ができる数列のことを等差数列と呼びます。

漸化式を使った等差数列の表し方

この数列には2つの表し方があります。

1つ目は漸化式を使った表し方です。

漸化式とは、2つ以上の項の関係を使って表す方法です。

もう一度、先ほどの例題を見てみましょう。

{a(n)}:2,5,8,11,14,・・・

これが漸化式を使った等差数列の表し方になります。

一般項を使った等差数列の表し方

数列の表し方の2つ目が一般項を使った表し方です。

一般項を使った表し方は、a(n)をnの式で表す方法です。

等差数列の練習問題

では、今までに学習したことを思い出しながら、以下の問題に挑戦してみましょう。

等差数列{a(n)}:2,5,8,11,14,・・・の一般項を求めてください。

できましたか？

では、解き方と解答を見ていきましょう。

ここまでが等差数列に関する計算方法と表し方です。

わからない部分がある方は、もう一度復習をしてきちんと理解しておきましょう。

等比数列とは？

続いて、等比数列について学習しましょう。

等比数列とは、1つ前の数字に決まった値を掛け算すると次の数字になる数列のことです。

以下で等比数列の計算方法とその表し方、また練習問題についても見ていきましょう。

等比数列の計算方法

例えば、等比数列を{a{n}}:a(1),a(2),a(3),a(4),a(5),・・・と表すと、

a(4)はa(3)に決まった数rをかけることで求められます。

これを漸化式で表すと、a(n+1)=ra(n)となります。

また、一般項で表す場合も考えてみましょう。

a(n)を作るためにはa(1)にrをn-1回かけることになります。

すなわち、a(n)=r^(n-1)a(1)と表されます。

なお、基本数列においては一般項よりも漸化式の方が意味が理解しやすいといえますが、どちらの形も作れるように練習しておきましょう。

等比数列の練習問題

では、ここで等比数列の練習問題に挑戦してみましょう。

第2項が6、第5項が48である等比数列の一般項を求めてください。

できましたか？

では、解き方と解答を見ていきましょう。

等差数列と等比数列の公式をおさらい

ここまで等差数列と等比数列の計算方法や表し方を学習してきました。

ここで、今回学習した内容を整理しておきましょう。

等差数列の公式

等差数列の一般項を求める問題は、与えられている条件を一般項の公式に当てはめて、計算することで答えが求められます。

また、漸化式で表す場合は初めの項の数字がわからない場合があるため、式の後ろに初めの項を表す「a(1)=？（問題に応じて記載する）」をつけておくようにしましょう。

等比数列の公式

等比数列とは、1つ前の数字に決まった値を掛け算すると次の数字になる数列のことです。

漸化式で表すとa(n+1)=ra(n)、一般項で表すとa(n)=r^(n-1)a(1)となります。

数列のおすすめの参考書・勉強法

数列のおすすめの勉強法は、問題集を繰り返し解くことです。

等差数列・等比数列においては、公式がわからないと問題が解けないため、公式を覚えることが大切になります。

しかし、公式だけを覚えるのは単調な作業なので、あまり現実的ではありません。

したがって、問題演習を進める中で公式を覚えていくことが理想です。

そのため、一度ではなく、何度も問題演習をすることで、解き方のみならず公式も覚えられるようにしていきましょう。

問題集の勉強範囲

数列のおすすめの勉強法は、以下の問題集の範囲を繰り返し解くことです。

今回学習した等差数列と等比数列は、名前や公式など似ている事項が多いため、混同してしまう可能性もあります。

そのため、それぞれの問題を繰り返し解くことで解き方を身につける必要があります。

何度も同じ問題を繰り返すことで、それぞれの解き方を理解し、混同しないようにしましょう。

数列を勉強するなら「オンライン数学克服塾MeTa」

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なぜ数列の勉強に「オンライン数学克服塾MeTa」がおすすめなのか、その理由を2つ紹介します。

演習授業により学習を習慣化

1つ目は演習授業により学習を習慣化することです。

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学習の習慣化を目的に行われているもので、疑問を解決する場として使ったり学校から出されている宿題に取り組んだりするなど、各自が課題の克服を目指しています。

学習計画表の作成により苦手を克服

2つ目は学習計画表の作成により苦手を克服することです。

面談したうえで学習計画表を策定することで、数学を後回しにせず学習できます。

数学の苦手を克服するには適切な方法で適切な量の学習をすることが大事です。

そのために、計画表で方針を定めることで、自分ひとりで進める時よりも確実に苦手が克服できるようになるでしょう。

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まとめ

今回は数列、特に等差数列と等比数列について解説しました。

冒頭にも書きましたが、数列は苦手とする方が少なくない単元です。

しかし、今回解説した内容を1つずつ理解していけば、必ず習得できる単元でもあります。

わからなければ何度も読んで理解することで、少しずつ理解していけるようになるでしょう。

ぜひ、今回の内容を参考にして、数列を得意にできるように頑張りましょう。