ベクトルとは？ベクトルの意味や足し算・引き算を問題とともに解説

今回学習するのはベクトルと呼ばれる単元です。

ベクトルは高校で初めて学習する分野です。

今まで学習してきた数とは全く違う概念ですが、理系の方はもちろん、文系でも数学Bを学習する方は必ず理解しなければならない単元です。

もちろん入試にも出題されますが、大学に入った後の勉強でもベクトルが理解できていなければ分からない分野も少なくありません。

そこで、ここではベクトルの基礎となる部分を学習します。

「ベクトルとは何か」からはじめ、ベクトルの足し算や引き算についても解説します。

また、ベクトルの練習問題を掲載しているほか、おすすめの参考書や勉強法、塾も紹介しているので、ぜひ参考にしてください。

ベクトルとは？

まずは、ベクトルの基本的な事項について解説します。

ベクトルの意味や表し方など、学習の基本となる内容なので、必ず理解しましょう。

ベクトルの意味

ここから派生して、ビジネスシーンにおいても、「社員のベクトルがバラバラだから一体感がない」のように、方向性や勢いを表す言葉としても使われます。

ベクトルの表し方

ベクトルは矢印を使って表します。

ベクトルの向きは矢印の向いている方向、ベクトルの大きさは矢印の長さで表します。

ベクトルの性質として、向きと大きさが同じベクトルは同じベクトルとしてみなします。

例えば、以下の2つのベクトルがあるとします。

2つのベクトルは、異なる場所で表されますが、向き（右）と大きさ（3）は同じなので、どちらかを移動させると、ピッタリ重なることがわかるでしょう。

このように、向きと大きさが同じベクトル、すなわち移動させるとピッタリ重なるベクトルは同じベクトルとして扱います。

ベクトルの足し算のやり方とは？

ここでは、ベクトルの足し算のやり方について解説します。

ベクトルの足し算の計算方法だけでなく、ベクトルの足し算の性質についても解説します。

ベクトルの足し算の計算方法

では、ベクトルの足し算の計算方法を解説します。

A、B、Cの3つの点をランダムに配置した図をもとに考えましょう。

ベクトルの足し算の性質

ベクトルの足し算には4つの性質があります。

1つ目の「aベクトル+bベクトル＝bベクトル+aベクトル」は、足し算の順番を入れ替えても計算結果は変わらないことを示しています。

2つ目の「(aベクトル+bベクトル)+cベクトル＝aベクトル+(bベクトル+cベクトル)」は、3つ以上のベクトルの足し算においても、順番は計算結果には影響しないことを示しています。

3つ目の「aベクトル+0ベクトル＝aベクトル」は、0ベクトルを足しても何も変わらないことを示しています。

4つ目の「aベクトル+(-aベクトル)＝0ベクトル」は、同じ大きさで逆向きのベクトル同士の足し算の答えは0ベクトルになることを示しています。

ベクトルの実数倍とは？

ベクトルの実数倍について例題を使いながら解説します。

実数倍とは、例えば2倍、3倍、3/4倍、5.9倍のように、ある数に実数をかけたものです。

例えば、「aベクトル」を2倍すると、矢印の向きはそのままで矢印の長さ（大きさ）が2倍になり、「2aベクトル」と表します。

同じように、「aベクトル」を3倍すると、矢印の向きはそのままで矢印の長さが3倍になり、「3aベクトル」と表します。

一方、マイナスの数の実数倍は向きが180度逆になります。

-1倍の場合は、元のベクトルの逆になり、「-aベクトル」と表され、-2倍の場合は、「-aベクトル」の2倍の長さになり、「-2aベクトル」と表されます。

ベクトルの引き算のやり方とは？

ここではベクトルの引き算のやり方について解説します。

ベクトルの引き算は、ベクトルの足し算とベクトルの実数倍を理解している必要があるため、ベクトルの足し算とベクトルの実数倍が理解できていない方は、学習し直してから引き算の学習をしましょう。

3つの点、O、A、Bを考えます。

なお、「aベクトル」と「bベクトル」は始点が同じではありますが、繋がってはいません。

この場合、「aベクトル」と「bベクトル」の足し算はどのように計算すれば良いのでしょうか？

ベクトルの練習問題

では、ベクトルの練習問題に挑戦しましょう。

2題あるので、それぞれ解いて理解度の確認を行いましょう。

練習問題①

問題）正六角形ABCDEFにおいて、「ABベクトル」を「aベクトル」、「AFベクトル」を「bベクトル」とするとき、Aから中心Oに向かう「AOベクトル」を「aベクトル」「bベクトル」を使って表せ。

できましたか？

それでは、解き方と答えを見ていきましょう。

練習問題②

問題）正六角形ABCDEFにおいて、「ABベクトル」を「aベクトル」、「AFベクトル」を「bベクトル」とする。

できましたか？

それでは、解き方と答えを見ていきましょう。

ベクトルのおすすめの参考書・勉強法

基礎知識がある程度理解できたら、問題演習に進めましょう。

まだ全てを理解できていないので、解き方が分からない問題もあるでしょう。

解き方が分からない問題は、解説を読み込み解き方を理解し、もう一度チャレンジしてみてください。

テキストを読み込むことも大切ですが、問題演習でアウトプットをすることで、より知識が定着します。

何度も繰り返すことで、問題の解き方が頭に入るようになり、テストでも実力を発揮できるようになるでしょう。

問題集の勉強範囲

ベクトルの学習におすすめの問題集の範囲は以下の通りです。

まずは、これらの基礎的な問題集をヒントを見ずに解答できるまで繰り返し学習しましょう。

数学を得意にするためには問題演習が欠かせません。

問題演習をする中で分からない問題も多数出てくるでしょう。

その場合も、分からないからと諦めるのではなく、解説を読み込んだりこの記事を読み返したりして、どのように解けば良いのかを理解することを心がけてください。

この地道な努力が数学力アップへの鍵となるでしょう。

ぜひ何度も繰り返し学習して、ベクトルを得意にしましょう。

ベクトルを勉強するなら「オンライン数学克服塾MeTa」

ベクトルを勉強するなら「オンライン数学克服塾MeTa」がおすすめです。

対象	高校生
授業形式	1対1のオンライン個別指導
校舎	オンライン
特徴	数学克服に特化したオンライン専門塾

なぜベクトルの勉強に「オンライン数学克服塾MeTa」がおすすめなのか、その理由を2つ紹介します。

論理的思考力を育成する

1つ目は、論理的思考力を育成することです。

数学と論理は密接に結びついているため、論理的思考力を育成することが数学の苦手の克服につながります。

「オンライン数学克服塾MeTa」では、古代の哲学者であるソクラテスが提唱した方法をアレンジした「ソクラテスメソッド」を使って論理的思考力を育成します。

論理的思考力を育成することで、解法を丸暗記するのではなく、理屈から理解できるようになり、飛躍的に数学の成績が向上します。

計画表により学習を習慣化

2つ目は、計画表により学習を習慣化することです。

「オンライン数学克服塾MeTa」では、毎月1回、個別面談により学習計画を作成しています。

押し付けるのではなく、生徒と相談をしながら作成するので、無理のない計画になっています。

計画を作成することで、授業時だけでなく自習時に何をやるのかが明確になります。

自習の際に「何をやれば良いのか分からない」という状況がなくなるため、効率良く学習できるようになるでしょう。

東京個別指導学院

東京個別指導学院の基本情報
対象学年	小学生〜高校生
展開地域	東京、神奈川、埼玉、千葉、愛知京都、大阪、兵庫、福岡
授業形態	個別指導
特徴	担当講師制度、AI教材やオンライン学習など

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　東京個別指導学院は、一般的な高校・大学受験対策のコースの他、推薦、内部進学、定期テスト対策から、英語の資格試験対策や小学校での学習定着サポートまで、私立国公立問わず学年や在籍する学校、志望校といった目的に応じたプランで受講が可能です。

　生徒1人1人に専用の授業計画が作られるオーダーメイドカリキュラム制度を取っており、学校や部活等の個々の状況も考慮した目標達成までの授業スケジュールや進め方を個別に作成します。

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　担当講師制度で同じ講師が一貫した指導を行うので、生徒の性格を理解し変化に気付きやすく、モチベーションを支えます。

　授業自体も、ほめる、認めることで意欲に繋げる指導法、単元や難易度を細かく分けて少しずつ定着させていく演習法で生徒のモチベーションが下がらない工夫がされています。

　保護者へのサポートについても、年5～6回程度教室長との面談が実施され、生徒の状況を保護者と共有したり、授業についても不安や相談、進路についてのアドバイスなどを定期的に行います。

東京・関西個別指導学院の料金・費用

東京・関西個別指導学院の料金・費用は以下の通りです。

東京・関西個別指導学院の料金・費用
入会金	無料
授業料	授業料シミュレーションで確認する⇒
教材費

東京・関西個別指導学院では、生徒ごとに最適なカリキュラムで指導を行っており、料金が一人ひとり異なります。

入会金や維持費などの追加費用は今後も一切かからないため、保護者様にも安心してご利用いただけます。

授業料シミュレーションにて、あなたに合わせた料金を簡単に知ることが出来ますので、料金の詳細が気になる方は以下の公式サイトよりお気軽にご確認ください。

東京・関西個別指導学院のコース

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東京・関西個別指導学院のコース

東京・関西個別指導学院のコースは以下の通りです。

学年	コース
高校生コースの詳細を確認する⇒	大学受験対策
	総合型選抜・推薦対策
	定期テスト・評定対策
中学生コースの詳細を確認する⇒	高校受験対策
	推薦入試対策
	定期テスト・内申点対策
小学生コースの詳細を確認する⇒	中学受験対策
	学習習慣定着サポート
	英語検定対策

東京・関西個別指導学院では、上記のコース以外にも様々なコースを用意しています。

学習状況や目標に合わせて、コースを選択することができますので、コースの詳細やカリキュラムについて詳しく知りたい方は以下の公式サイトよりお問い合わせください。

東京・関西個別指導学院の学習相談

東京・関西個別指導学院では、無料の学習相談を実施しています。

学習相談では、学習の悩みの原因を明確にし、適切な勉強方法を提案します。

また、ベネッセグループの豊富な情報と独自のネットワークを活用し、最新の受験・教育情報を提供します。

無料の学習相談会を通じて、お子さまに最適な指導を見極められますので、是非お気軽にご相談ください。

学習相談は、集団形式ではなく各家庭に個別で実施しているため、安心してご参加ください。

東京・関西個別指導学院の受験相談

東京・関西個別指導学院では、学習相談のほかに受験相談も実施しています。

東京・関西個別の受験相談では、お子さま一人ひとりに最適な受験戦略を提案します。

ベネッセグループの豊富な進学データと独自の情報網を活用し、最新の受験情報を基に志望校別の対策をアドバイスします。

過去の傾向を踏まえた学習プランや効果的な勉強法をご提案し、お子さまに合った受験対策を一緒にプランニングします。

さらに、無料相談を通じて最適な学習環境を見極め、納得のいく形で受験準備を進めることが可能です。

受験に関して不安を感じている方はぜひ一度受験相談を行ってみてください。

東京・関西個別指導学院の校舎見学

東京・関西個別指導学院では、校舎見学を実施しています。

校舎見学では、校舎の雰囲気や指導スタイルを実際にご覧いただきながら、学習の進め方や受験対策について個別に相談が可能となっています。

教室の設備や通学の利便性なども確認できるため、安心して塾選びをすることができます。

また、実際の授業の様子やカリキュラムについても詳しくご説明し、納得のいく形で学習をスタートできるようサポートします。

以下の公式サイトより簡単に校舎見学へお申し込みをすることができますので、お気軽にお問い合わせください。

東京・関西個別指導学院の体験授業

東京・関西個別指導学院では、体験授業も実施中です。

詳細は以下の通りです。

体験授業では、指導経験豊富な教室長によって学習カウンセリングが行われます。

また、授業ではテスト対策や受験対策などをカウンセリング内容に基づいて実際の授業のように行います。

そして、お子様だけでなく保護者の方の相談も受け付けておりますので、学習に関するお悩みを解消することが出来ます。

無料体験授業の流れとしては以下の通りです。

無料体験授業の流れ

1. 無料学習相談
2. 学習や授業内容の相談
3. 実際に授業を体験
4. 学習計画をご提案

体験授業は夕方～夜にかけて行われるため、習い事や部活で忙しい方もご安心ください。

また、校舎見学だけも可能なので、是非お気軽にお申し付けください。

東京個別指導学院の料金

　授業料・設備費のみのシンプルさが特徴です。

　入会金や維持費などはかからず、テスト対策の補講は受講科目以外も受けることができ、自習室も無料で使えるようになっています。

　教材費については実費となり、レベルや進度が合っていれば学校のプリントや集団塾のテキスト、市販の教材を持ち込むことも可能です。

　授業料は公表されておらず、入塾時に提案を受けた通塾期間・回数、受講科目によって提示されるものか、HPなどから問い合わせて目安を教えてもらうなどの方法で知ることができます。

　

まとめ

今回は、ベクトルの基礎について解説しました。

向きと大きさを持った量がベクトルであり、矢印で表します。

ベクトルの足し算や引き算は、スタート地点とゴール地点を把握することが大事です。

また、ベクトルは向きと大きささえ同じであれば、どこに書かれていても同じベクトルとして扱われることを覚えておきましょう。

ベクトルは今まで学習したものとは全く異なる概念なので、まだ全てを理解できていない方も少なくないでしょう。

そのため、問題演習をしながら、分からない箇所があれば、この記事を何度も読み返して理解を深めていきましょう。