空間図形とは？公式と問題を解く際のポイントを図で解説！練習問題付き！

今回は空間図形について取り上げていきます。

空間図形の分野は、ひたすら計算をしたりする分野や今までの平面での図形に関する分野と違い、立体を扱うためややこしいと思う方もいらっしゃるかもしれません。

しかし工夫次第で理解のしやすさが格段に変わる分野です。

この記事では、空間図形の分野の基礎的部分の紹介のほか、簡単な例題もいくつか取り上げています。

また中学生におすすめの塾も紹介しています。

空間図形分野を理解することにこの記事が少しでも参考になればと思います。

空間図形の基本

ここでは空間図形の基本について紹介しています。

後に問題を紹介しているため、そのためにもしっかり学んでいきましょう。

項、記号を覚える

次項の公式説明でも使用しますが、ここではよく利用する項目について記号での表し方を学んでおきましょう。

項と記号の表は以下の通りとなります。

項	記号
円周率	π
半径	ｒ
直径	2ｒ
長さ	ｌ
高さ	ｈ
面積	ｓ
体積	ｖ

いかがでしょうか。

次項で紹介する公式を使いセットで覚えると理解しやすいと思います。

公式を覚える

いくつかの基本的な公式の文字を使った表し方を紹介します。

内容としては小学生の時に習ったものが主です。

思い出しながら読んでみてください。

円、球に関するもの

求めるもの	公式の求め方	文字を使った公式
円周	直径 × 3.14	2πr
円の面積	半径 × 半径 × 3.14	πr²
球の表面積	4 × 半径 × 半径 × 3.14	4πr²
球の体積	4/3 × 半径 × 半径 × 半径 × 3.14	4/3 πr³

この表は、円（平面図形）と球（立体図形）の基本的な大きさを求める公式をまとめたものです。

円周と円の面積は、円の大きさ（半径r）を 3.14（またはπ）を用いて計算する、もっとも基本的な公式です。

そして、球の公式は、円の公式を立体に拡張したものであり、球の表面積は4πr²、球の体積は4/3 πr³と、どちらも半径と円周率を使って求められます。

おうぎ形に関するもの

求めるもの	公式の求め方	文字を使った公式
弧の長さ (l)	(円周) × (中心角/360°)	l=2πr×中心角/360°​
面積 (S)	(円の面積) × (中心角/360°​)	S=πr2×中心角/360°​

この2つの公式は、おうぎ形をイメージして、円に関する公式を利用して求める考え方が主になります。

つまり円と半径が等しいおうぎ形の面積や弧の長さは、中心角に比例するため、それぞれの円の公式に中心角360°を掛ければ求めることができるとわかります。

錐体、柱体に関するもの

図形	求めるもの	公式
柱体	表面積	(底面積 ×2) + (側面積)
	体積	(底面積) × (高さ)
錐体	表面積	(底面積) + (側面積)
	体積	(底面積) × (高さ)×1/3

柱体、錐体は上記の様な公式で求められます。

三角錐、円錐などの面積で1/3をかけ忘れるケースが多いのでその点に注意してください。

空間図形を解くためのポイント

ここでは空間図形の問題を解く際のポイントについて紹介します。

ねじれの位置を理解する

空間図形の問題を解くときに大切になることがねじれの位置を理解することです。

ではねじれの位置とは何でしょうか。

ねじれの位置とは、空間内の2つの直線が、平行ではないのに、どこまで延長しても交わらない状態のことを指します。

この関係にある直線は、同じ平面上には存在しません。

例として、箱の隣り合う「面」にある辺のうち、平行でも交わってもいない辺同士が「ねじれの位置」にあります。

実際に考えてみましょう。

例題：下の図のような立方体があります。辺BCとねじれの位置にある辺をすべて答えなさい。

まず、辺BCと交わる辺を除きます。

→辺AB、辺BF、辺CD、辺CG

次に、辺BCと平行な辺 (同じ平面上で交わらず、方向が同じ辺) を除きます。

→辺AD、辺EH、辺FG

これらで取り除かれなかった辺がねじれの位置にある辺です。

よって答えは「辺AE、辺DＨ、辺EF、辺GH」となります。

平面図形に落とし込む

ねじれの位置も理解していただいたかと思いますが、前項のように平面における位置関係などを理解しておくだけでは問題を解くことはできません。

その理由を今から説明します。

以下の図をご覧ください。

図は四角柱と四角柱内に存在する四角形ABCDについての図になりますが、四角形ABCDについてイメージが湧くでしょうか。

慣れていない方はイメージが湧かないかと思います。

そんな時重要になるのが平面図形に落とし込んで考えるということです。

四角柱ではなく平面図で四角形ABCDについて考えてみましょう。

このようにいろいろな角度から平面図形に落とし込んで考えると、複雑な空間図形についてもイメージがしやすくなりました。

実際の問題でもより複雑になればなるほど、この手法を使って解くことがミスを防ぐことにつながります。

空間図形の断面法則

最後に空間図形の断面法則について覚えておきましょう。

空間図形を切断して断面図を考える時3つの法則を覚えておけば、簡単に切断面を作図することが可能です。

その法則というのは以下になります。

実際に例を挙げるので、この三つの法則を利用して断面図を作図してみましょう。

以下の図について、A、B、Cの三点を通る立方体の切断面を作図する問題が出されたとします。

法則①より同じ面にある二点は結ぶから、

法則②より向かい合った面は平行な切り口になるから、

これで立方体のA、B、Cの三点を通る切断面の作図ができました。

法則①から同じ面にある二点は結ぶから、

法則③から斜めに切断した時は三角錐を作るから、

これで立方体のA、Ｂ、Ⅽの三点を通る切断面の作図ができました。

空間図形を使った問題形式

空間図形の出題が多い項目

まずは空間図形の出題の多い項目について学んでおきましょう。

三角柱、三角錐について知ろう

まず三角柱、三角錐とは何かについて確認しておきましょう。

初めに三角柱についてですが、以下の図ように底面を二つ持つ柱状の立体であり、その底面が三角形であるもののことをいいます。

ちなみに底面が四角形であれば四角柱、円であれば円柱のように底面の形からとられています。

次に三角錐についてですが、以下の図のように底面を一つ持つ錐状の立体であり、その底面が三角形であるもののことをいいます。

ちなみに底面が四角形であれば四角錐、円であれば円錐のように底面の形からとられています。

展開図を理解しよう

空間図形ではしばしばそのまま立体の形で考えるには少し難解で、立体を展開して考えた方が考えやすい場合があります。

例えば展開図の最短距離についてです。

上記のような立体についてDから辺BC、辺BFを通って点Eまでの最短距離を考えるとします。

このままではややこしいと思います。

そこでこの立体を展開して考えてみましょう。

展開することができました。

条件に合う結び方の最短距離について考えてみましょう。

立体における最短距離とはつまり平面図で考えると、条件に合う結び方で結んだ直線が最短距離を意味します。

よって今回の条件に合う最短距離とは、

となることがわかります。

最短距離の問題は頻出ですので展開をして条件に合う直線を探すという手順で探すということを覚えておきましょう。

回転体を想像するコツ

空間図形では回転体を想像して描く問題もしばしば出題されます。

例えば上記のような図において、直線ℓを軸として図の長方形を回転させた時にできる立体について考える問題です。

この問題であれば回転させると以下のように

円柱ができることがわかると思います。

しかしこのように簡単なイメージがしやすい回転体であれば楽ではありますが、そのようにはいきません。

そのためここでは基となる図形が複雑な図形であっても、回転体のイメージがしやすいように、回転体の描き方を紹介します。

初めに直線ℓを軸として回転体の基となる図形の対称移動させた図形を描きましょう。

次に対応する点同士を含む円をそれぞれ描きましょう。

最後に不要な線を消し、見えない部分は点線であらわしましょう。

こうして回転体を完成させることができました。

紹介した回転体の描き方の順序をしっかり守って描けば、たとえ複雑な図形だとしても回転体を描くことができます。

例題を解いてみよう

これまで学んだ内容を活かして、空間図形に関する例題をいくつか解いてみましょう。

【基本問題】立体の体積と表面積

まずは基本問題の立体の体積と表面積についての問題を解いてみましょう。

次の長方形を、直線ℓを回転の軸として1回転させてできる立体の体積と表面積を求めましょう。

なおAB=DC=4㎝、AD=BC=7㎝とします。

【中１】単元末対策問題

次は立体の位置関係に関する問題を解きましょう。

(1)辺ABとねじれの位置にある辺をすべて答えましょう。

(2)辺ABと平行な面をすべて答えましょう。

(3)面BCGFと垂直な面を答えましょう。

【中１】切り取った体積の問題

次に立体の切断と体積に関する問題を解きましょう。

一辺が12㎝の立方体ABCD-EFGHについて、図のように面BEGで分割をしました。

この時立体ABCDーEGHの体積を求めましょう。

空間図形でつまづく要因

空間図形は、中学・高校数学の中で最も苦手意識を持つ生徒が多い単元の一つです。

計算力だけでなく「想像力」や「空間認識能力」が問われるため、一度つまづくと克服が難しいと感じてしまいます。

ここでは、多くの生徒が空間図形で苦戦してしまう主な3つの要因について解説します。

頭の中で立体をイメージできない

最大の壁は、教科書や黒板に描かれた「平面（2次元）」の図を見て、頭の中で「立体（3次元）」へと変換する作業の難しさにあります。

見えていない裏側の辺（点線）を想像したり、図形を回転させたり切断したりした時の形をイメージすることは、訓練なしでは非常に困難です。

この空間認識能力の不足が、問題の意味すら把握できないという状況を招いてしまいます。

どの公式をいつ使えばいいか分からない

空間図形には、柱体、錐体、球の体積や表面積など、多くの公式が登場します。

しかし、公式の意味や成り立ちを理解せず丸暗記していると、「円錐の体積で1/3を掛け忘れる」「表面積の計算で底面積を足し忘れる」といったミスが多発します。

さらに、複雑な複合図形になると、どの部分にどの公式を適用すればよいかの判断ができなくなってしまいます。

「分かったつもり」

空間図形の問題は、先生が黒板に「補助線」や「切断面」を描いてくれると、「なるほど、そう解くのか！」と簡単に理解できた気になりがちです。

しかし、実際には「解説を聞いて理解すること」と「自力でゼロからその補助線を引けること」の間には大きな壁があります。

この解説を見ただけでできるようになったと錯覚する「分かったつもり」が、テスト本番で手が止まってしまう最大の原因です。

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出典：StudySearch

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中学生 詳しいコース内容については こちら⇒	高校受験対策
	定期テスト対策
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小学生 詳しいコース内容については こちら⇒	中学受験対策
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無料体験授業の受講の流れ

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2. 無料学習相談や無料体験授業の予約
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上記の流れは無料で行えますので、まずは授業の雰囲気を見てみたい方は気軽に相談してみてください。

個別教室のトライの料金

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個別教室のトライの料金
入会金	11,000円(税込)
月謝	お見積りシュミレーション
教材費	要相談

個別教室のトライの入会金は11,000円(税込)になります。

授業料は、一人ひとりのオーダーメイドのカリキュラムを作成し授業を実施しているため、公式サイトでの詳細な金額は公開されていません。

授業料を確認したい方は、公式サイトより無料でできるお見積りシミュレーションを使うと確認することができます。

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個別教室のトライの口コミ・評判

学校の授業とは違って生徒個々にフォーカスしてくれるので「しっかり見てもらっている」という安心感、信頼感があります。

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賢く点数を稼ぐコツも教えてくれるので、受講1ヶ月ですぐにテストの点数が上がりました。

子供も「学校のテストが簡単に感じる」と言って楽しみながら勉強に取り組んでいるので頼もしいです。

出典：StudySearch

この口コミは、トライの強みである「個へのフォーカス」と「豊富なデータ活用」が、保護者の安心感と信頼に繋がっていることを示しています。

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「学校のテストが簡単に感じる」という言葉が出るほど、楽しみながら前向きに学習に取り組めている様子が頼もしく感じられます。

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個別教室のトライの授業開始までの流れ

個別教室のトライの授業開始までの主な流れをご説明します。

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2. 教室長兼教育プランナーとの学習相談
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5. お見積り作成
6. 契約
7. 担当講師の決定

まず公式サイトよりお問い合わせをしていただいた後、教室長兼教育プランナーである「トライさん」と進路相談や学習相談などを行い、トライのマンツーマン指導についてを知ってもらいます。

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ここまでは、完全無料で行っているサポートになります。

入会が決まれば担当講師を決定します。

まとめ

今回は、空間図形についてご紹介しました。

今回ご紹介した空間図形の基礎的な問題だけでも、ねじれ、平行、垂直など位置関係に関する問題、回転体に関する問題など多くの種類の問題が出てきました。

一度立体だけでなく平面として考えるなど工夫次第でより問題を解きやすくなったかと思います。

理解できた方も、この記事での説明では分からなかった方もいらっしゃると思います。

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基礎的な部分を多く紹介しましたが、この記事を通して空間図形について少しでも理解を深めることができていれば幸いです。