チェバの定理やメネラウスの定理を知っていますか？

これらは高校数学で学習する図形の性質の中で、頻出の定理となっています。

他にも中点連結定理や中線定理、方べきの定理などさまざまな定理を学習します。

今回は、高校数学の図形の性質で学習する定理を一気に7つご紹介します。

どれも重要な定理になっているので、きちんと内容を読んで理解するように心がけてください。

図形の性質①チェバの定理・メネラウスの定理とは？

最初にご紹介するのは、チェバの定理とメネラウスの定理です。

まずは、公式や図形の形など基本を着実に押さえましょう。

チェバの定理の公式は？

それでは、最初にチェバの定理について学習しましょう。

チェバの定理は三角形に関する定理です。

三角形の五心で学習した重心や垂心を書くときに作った図とは似ていますが、そこまで厳密に書く必要はありません。

ただしこの点は、三角形の内側になるようにしてください。

そして、この作った三角形のそれぞれの点に、AからFまで名前をつけていきます。

この点を使って表される線分に関して、次の式が成り立ちます。

この式は暗記することが大事なのですが、一見すると暗記するのがとても難しそうな式になっています。

ただ、覚え方は簡単です。

あまり難しく考えず、簡単に作りましょう。

メネラウスの定理の公式は？

続いて、メネラウスの定理についても解説します。

メネラウスの定理は、チェバの定理と似ていて、よくセットで解説される定理となっています。

これはチェバの定理よりも書くのが少し難しいのですが、ブーメランのような形になります。

チェバの定理もメネラウスの定理も、それ単体だけを表示しているので、もしかしたらそこまで難しさを感じないかもしれません。

しかし、実際の問題では複雑な図形の中にこれらが含まれていて、それを見抜いた上で解答しなければならなくなります。

なので、問題演習が欠かせません。

後ほど、おすすめの問題集と解くべき範囲をご紹介するので、何度も解いて練習してみてください。

図形の性質②中点連結定理・中線定理とは？

続いてご紹介するのは、中点連結定理と中線定理です。

この2つも似ている定理にはなっているのですが、そこまで難しくはないので、正確に理解しましょう。

中点連結定理の公式は？

それでは、中点連結定理について解説します。

これは中学校でも習ってすでに知っているという方がいるかもしれません。

三角形の2つの辺の中点を結んだ線は、残りの1辺と平行であるという定理です。

たったこれだけなので、非常に簡単ですが、確実に理解しておきましょう。

中線定理の公式は？

続いて、中点連結定理と名前の似ている中線定理について解説します。

中線定理とは、三角形を書き、頂点から対辺の中点に向かって線を引きます。

その際に、それぞれ辺の長さの間に次のような関係式が成り立つというものです。

「AB²+AC²=2(AM²+BM²)」

また、中線定理の公式の証明は非常に勉強になるのですが、今回は省略させていただきます。

後ほど紹介する問題集の範囲に証明の問題があるので、それを1つずつ解き、理解を深めてみてください。

図形の性質③方べきの定理・接弦定理・円周角の定理とは？

最後に、方べきの定理・接弦定理・円周角の定理について解説します。

この3つの定理は円にまつわる定理になっています。

1つずつ正確に理解するようにしましょう。

方べきの定理の公式は？

それでは、方べきの定理について解説します。

方べきの定理とは、円と直線に関する定理です。

方べきの定理には3パターンあります。

接弦定理の定理の公式は？

続いて、接弦定理について解説します。

これは図にある2箇所の角度がそれぞれ等しくなるという定理です。

たったこれだけですが、こちらも非常に大事な定理なので、きちんと暗記するようにしましょう。

円周角の定理の公式は？

最後に解説するのは円周角の定理です。

これも中学校で習ったという人はいると思いますが、円の中心角と円周角の関係を表した定理です。

中心角に対して、円周角は必ず半分角度の大きさになることを示しています。

また、円周角というのは孤の長さが等しければ、必ず同じ角度となります。

図形の性質のおすすめの参考書・勉強法

図形の性質のおすすめの勉強法は、それぞれの定理をきちんと記憶した上で問題演習に取り組むことです。

三角形の五心と同じなのですが、定理や性質を覚えることが非常に大切です。

定理を知らなければ解けない問題も数多く出題されることになるので、必ず覚えるようにしましょう。

そして、ある程度記憶できた段階で問題演習に取り組むことが大切です。

やはり、出題された際に答えられるようにするのが目標なので、実践の中で理解を深めていくことは非常に重要です。

また、暗記しているだけでは完璧に覚えられないはずなので、実践で使いながら段々と暗記していくことをおすすめします。

問題集の勉強範囲

図形の性質でおすすめの勉強法は、以下の問題集の範囲を繰り返し学習することです。

問題演習でたくさん使うことにより、より正確に記憶することができるようになります。

ただ暗記しているだけでは、どんな場面で使うのかがわからないし、100％記憶するのは難しいと言えます。

何度も繰り返し問題演習をすることで、より強固な記憶として身につけることができるようになります。

また、これらの問題の中には、それぞれの定理の証明問題が含まれている場合があります。

これらの証明は非常に勉強になるので、必ず取り組むようにしましょう。

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自宅学習も計画表で管理

家庭教師のアルファでは、指導日以外の自宅学習に関しても計画表を使うことで管理をしています。

特に、三角形の性質のように、継続的に学習し記憶することが求められる分野では、日頃の学習をきちんと行うことが成績アップへの1番の近道となります。

そのため、宿題の管理をするなどして、指導日以外の学習もきちんと行うように指導をしています。

また月間学習報告で、どのくらい勉強できたのか、どのくらい身についたのかなどを可視化することもできます。

自分基準で「頑張った」と思うのではなく、確実に成長したと言えるために、こうした客観視は非常に大切になります。

指導日、授業時間以外の学習もまとめてサポートしてくれるのが家庭教師のアルファの強みです。

定理の公式を確実に理解する

今回は、チェバの定理やメネラウスの定理、方べきの定理といった図形の性質に関する定理を7つご紹介しました。

今回ご紹介した定理は、混同しやすいものがいくつかあるので、正確に覚えることが必要です。

問題演習の中で覚えたり暗唱をしたりする中で、一つひとつを区別して覚えるようにしましょう。

また、証明問題は扱いませんでしたが、非常に勉強になるものばかりですので、ぜひ一度取り組んでみるようにしてください。