不意に球の体積を求める問題が出題され、つい公式を忘れてしまっており、得点を落とす方は非常に多いです。
球の体積を求める問題は、公式さえ覚えておけば確実に得点源にできるため、しっかりと覚えるべきでしょう。
本記事では、球の体積を求める公式について解説するとともに、覚えやすくなる語呂合わせや練習問題も併せて紹介しています。
球の体積を求める公式が覚えられず悩んでいる方は、ぜひ本記事を参考にしてください。
半径をr、円周率をπとしたとき、球の体積Vについて、下記の式が成り立ちます。
V=4/3πr3
上記のような式が成り立つのかを証明するためには、高校の数学で習う微分・積分や三角関数が必要であるため、公式の根本的な理解は非常に困難です。
そのため、球の体積の公式として、そのまま覚えてしまうことをおすすめします。
また、半径rの球の体積と、半径rの体積と全く同じ大きさの円柱の体積の比は、下記の通りになることも覚えておくと良いでしょう。
半径rの球の体積：半径rの球がぴったりと入る円柱の体積＝2：3
数学の応用問題で、円柱の中にぴったりと収まる球が入っている立体の、球を除いた部分の円柱の体積を求める問題が頻出します。
円柱全体の体積から球の体積を引くことで求められるものの、計算量が増えることでミスを招きます。
上記の法則を知っていることで、比例式を作って簡単に求められるので、余裕がある方は頭の片隅に入れておきましょう。
✔球の体積Vは、球の半径をr、円周率をπとしたとき、4/3πr3で求められる
✔球の体積Vを求める公式の証明は、中学数学の範囲では不可能
✔半径rの球の体積：半径rの球がぴったりと入る円柱の体積＝2：3
半径をr、円周率をπとしたとき、球の表面積Sは下記の式にて求められます。
S＝4πr2
球の表面積の求め方の証明にも、高校以降で学ぶ微分・積分が必要なので、中学生の段階では証明は非常に困難です。
そのため、球の体積と同様にそのまま覚えてしまうのが良いでしょう。
球の表面積を求める問題は、球の体積を求める問題と同時に出されることが多いです。
基礎問題から応用問題まで頻出なので、必ず公式を覚えましょう。
また、球の体積と同様に、半径rの球の表面積と半径rの球がぴったりと入る円柱の側面積の間に法則があります。
その法則は下記の通りです。
半径rの球の表面積 ＝ 半径rの球がぴったり入る円柱の側面積
この法則は、単独で出題されることはほとんどないものの、応用問題を解く上で、知っておくだけで正答率が上がる法則です。
余裕のある方は、上記の法則も球の表面積の求め方と同様に覚えておくと良いでしょう。
✔球の表面積Sは、球の半径をr、円周率をπとしたとき、4πr2で求められる
✔球の表面積Sを求める公式の証明は、中学数学の範囲では不可能
✔半径rの球の表面積＝半径rの球がぴったり入る円柱の側面積
ここまで、球の体積と側面積の求め方について解説しました。
球の面積や側面積を求める必要のある問題は、比較的出題されにくい傾向にある上、複雑であるため忘れる生徒も非常に多いです。
しかし、確実に覚えておかなければ、大きく点数を落とす可能性があるのも事実です。
ここからは、球の体積の公式について、下記の2つの覚え方をご紹介します。
それぞれ順番に解説します。
球の体積の公式を覚えるための語呂合わせは多く存在します。
その中でも下記の2つが有名で、多くの生徒に利用されている語呂合わせです。
どちらを活用したとしても、球の体積を覚えられることには変わりありません。
覚えやすい方を用いると良いでしょう。
先述した通り、球の体積を求める公式の証明には、微分・積分や三角関数が必要であり、非常に難解です。
そのため、円柱との体積の関係をもとに考えると良いでしょう。
半径rの球が綺麗に入る円柱は、底面の円の半径がrであり、高さが2rの円柱です。
そのため、その円柱の体積は、下記のように求められます。
πr2 × 2r ＝ 2πr3
さらに、「半径rの球の体積：その球が綺麗に入る円柱の体積＝3:2」であるため、比例式を解きます。
そうすることで半径rの球の体積は、4/3πr3であると求められます。
✔球の体積を求める公式は「身の上に心配があるので参上」で覚える
✔球の体積はそのまま覚えるべきである
✔球の体積と、球が綺麗に入る円柱の体積との関係からも、球の体積は導ける
ここまで、球の体積の求め方や公式の覚え方について解説しました。
ここからは実際に、球の体積を求める練習問題にチャレンジしてみましょう。
この問題における半径5cmの球の体積をS1とします。
半径が5cmの球であるため、上述した球の体積の求め方から、下記のような式が導き出されます。
S1 ＝ 4/3 × 5 × 5 × 5 × π
上記の式を解いて、答えは600/3π ㎤となります。
この問題における半径8cmの球の体積をS2とします。
半径が8cmの球であるため、上述した球の体積の求め方から、下記のような式が導き出されます。
S2 = 4/3 ×8 × 8 × 8 × π
上記の式を解いて、答えは、2048/3π ㎤となります。
この問題における直径20cmの球の体積をS3とします。
まずはこの球の半径を求めましょう。
この球の直径が20cmであるため、球の半径は下記の計算式で求められます。
20 ÷ 2 ＝ 10 cm
半径が分かったので、これまでの問題と同様に球の体積を求める公式に当てはめて計算しましょう。
S3 = 4/3 × 10 × 10 × 10 × π
上記の式を解いて、答えは4000/3π ㎤となります。
✔球の半径さえ分かれば、球の体積は求められる
✔計算が複雑になるケースが多いので、確認が大切
✔直径などが条件で提示された場合は、条件から球の半径をまず求めましょう
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|---|---|
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| 授業形式 | 個別指導 |
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球の体積を求めるためには、まずは球の体積の公式を確実に覚えましょう。
球の体積の公式を確実に覚えるために、上記の語呂合わせを活用しつつ、練習問題を多く解くことが大切です。
覚えたと思ったら1～2ヶ月後再度学習し直すことで、より公式が定着するでしょう。
✔球の体積を求めるために、確実に公式を覚えましょう
✔球の体積を求める公式を覚えるためには、語呂合わせを活用しつつ、練習問題を多く解こう
✔時間を空けて再度学び直すことで、より深い定着が狙えます
本記事では、球の体積を求める公式について解説しました。
球の体積は語呂合わせで覚えつつ、何度も問題を解くことで脳に定着させることが大切です。
少し覚えるのが難しいものの、覚えてしまえば球の体積を求める問題は確実に得点源にできます。
忘れる前に必ず学習し直し、同時に練習問題にも取り組むことを推奨します。
「球の体積」に関してよくある質問を集めました。
球の体積は公式によって求めることが出来ます。球の体積(V)の公式は、半径をr、円周率をπとすると「V=4/3πr2」で求められます。
球の体積を求める公式は語呂合わせで覚えると簡単に覚えることが出来ます。語呂合わせは2通りあり、「身（3）の上に心（4）配（π）がある（r）ので参上（3乗）」あるいは「三四郎（4/3）、パイ（π）を持ってある（r）日参上（3乗）」です。もちろん証明を用いて理解することも可能ですが、それには三角関数や微分積分の知識が必要になってくるため、苦手な方は語呂合わせを使うといいでしょう。