本記事では高次方程式についてご紹介します。
高次方程式は高校数学で習います。
複雑だと思われる高次方程式ですが、一度解き方を知れば、後はスムーズに解くことが可能です。
因数分解について基本的な知識があれば誰でも解けるため、まずは挑戦してみましょう。
因数分解がわからない方は、そこから理解を深めていって下さい。
高次方程式が解けないと悩んでいる方は、この記事で一緒に理解を深めていきましょう。
高次方程式(こうじほうていしき)とは、次のようなものです。
x3-2x2-5x+6=0
xが3乗や4乗になっているような、今までの解き方では解けなかった方程式のことです。
基本的に方程式というのは、掛け算の形=0の形に変形できれば、どれか一つは必ずゼロになり解きやすくなります。
これを高次方程式でも同じ考え方で行います。
高次方程式を因数分解する際は、因数定理を使用します。
高次方程式は難しいイメージがありますが、因数分解を理解し、因数定理ができれば解くことが可能です。
CHECK
高次方程式は、いわば三次式を含む方程式のことです。
今まで習ってこなかった方程式であるため、ややこしいと感じるかもしれません。
しかし、方程式を解く際の意味がわかっていれば、応用して高次方程式も解くことができます。
ここでは例題を混ぜながら高次方程式の解き方を見ていきましょう。
高次方程式は複雑というイメージがあるかもしれませんが、実際解くときは、2次方程式のときと同じ考え方です。
方程式というのは「掛け算の形=0」というふうに変形できれば、どれか1つは必ず0になるため解きやすくなるという法則があります。
これは高次方程式の際にも使用します。
ただし、今までは因数分解の方法が分かりませんでした。
そこで使用されるのが因数定理です。
因数定理は、3次以上の式の際に使用されます。
因数定理は高次方程式を解くとき、必ず必要となるものであるためしっかりと抑えておきましょう。
ここでは、具体例を交えてみていきましょう。
x3-2x2-5x+6=0
答えは次のとおりです。
xに2を代入すると左辺は0になるため、左辺はx-2を因数に持ちます。
左辺をx-2で割ります。
このように因数定理を利用して=0になりました。
因数定理を使用すれば、難しいことなく解くことができます。
ここまで習ったことを基に、次の練習問題を解いてみましょう。
この問題も因数定理を使用して、因数分解をします。
3x3-4x2-5x+2=0
因数分解をする際は、xの中に入れて0になる数を探さなければなりません。
もしも探すのが難しいときは次で探すことができます。
求める因数=定数項の約数最高次の項の係数の約数
3の約数→3,1
2の約数→2,1
求める因数候補は1or23or1
絞り込んで探していくと見つけやすくなりおすすめです。
これを例題でxの中に入れて0になる数を見つけ、因数分解をしたら次のようになります。
(x-2)(3x2+2x-1)=0
x-2→x-2
3x2+2x-1=0→x=−2土4+126=-1,13
因数分解をしてみると片方の式は二次方程式になっています。
二次方程式は、これ以上因数分解が出来ない形です。
こちらが0になるということは解の公式を使用し、答えを出すことができます。
次数が4になっている場合の問題の解き方についても見ていきましょう。
例題はこちらです。
x4-x3-7x2-x+6=0
因数定理を使用して因数分解をしてみると次の形になります。
x4-x3-7x2-x+6=(x-1)(x3+2x2-5x-6)
商の部分がまだ三次になっているため、未だ解くことができません。
三次方程式の左辺について、因数定理を使用してさらに因数分解をします。
そうすると次のとおりです。
x3+2x2-5x-6=(x-1)(x2+x-6)
さらにもう一度因数分解をします。
x4+x3-7x2-x+6=(x+1)(x-1)(x-2)(x+3)
ここまできて、ようやく答えを出すことができます。
x=1,-1,2,-3
CHECK
高次方程式の解き方の次は、解と係数の関係について見てみましょう。
解と係数の関係は二次方程式と三次方程式で証明の仕方が多少変わります。
後ほど詳しく解説しますが、二次方程式の場合は解の公式と因数定理+係数比較を使用しての求め方ができるものの、三次方程式の場合は因数定理+係数比較で証明をします。
解と係数の関係は使いこなせるとさまざまな数学で役立つため、身に付けておきましょう。
二次方程式の場合の解と係数の関係について考えましょう。
例えば次の二次方程式の場合で考えてみます。
ax4+bx+c=0の実数解をa+βだとします。
方程式の3つの係数,a,b,cを使うと、次になります。
a+β=-βa
aβ=-ca
簡単に表すことが可能です。
どんな二次方程式でも成り立つもので、問題を解く上で非常に役立ちます。
先程行ったことを基に、実際に例題を解いてみましょう。
次の二次方程式について、解と係数の関係をそれぞれ計算してみて下さい。
a+β=--42=2
aβ=32
なお、実数解はa+βだとします。
この2つを足すときは、xの係数x2の係数に-1を掛けたものです。
2つの解の積は定数項x2の係数でした。
これらを使用して実際に解いてみて下さい。
では次は、この解と係数の関係をつかった練習問題をしてみましょう。
ここでは次の練習問題を解いてみます。
3x2+4x-2=0の異なる2つの実数解をa,βとするとき、次の式の値を求めよ。
(1)a+β
(2)aβ
(3)a2+β2
ただし、普通にa+βを解の公式を使って無理やり求めるのはやめましょう。
計算コストが非常にかかってしまうため、解と係数の関係をうまく応用してください。
それぞれ解くと、次になります。
(1)a+β=−-43=43
(2)aβ=23
(3)a2+β2=(a+β)2−2aβ
=423−2×23=169−43=49
こちらの解と係数で出てくるa+βやa×βは、基本対称式と呼ばれる形になっています。
aとβを使用した対称式の形ですと、全てa+βやa×βで表すことができます。
この項目で挙げた式も全て対象式となっており、a+βやa×βの式に変換可能です。
(1)の式はa+βを変形することができ、変形できれば後はa+βのところに解と係数の関係で求めた数字を入れれば求められます。
残りの(2)も(3)も同様です。
この式変形は問題でよく出てくるため、暗記しましょう。
CHECK
因数定理を利用する際、xの中に入れて0になる数を見つけなければならないものの、そんなに簡単なことではありません。
すべての数を代入しても、時間がかかってしまい、テストの際は他の問題を解くことができなくなってしまいます。
しかし、効率的な因数の見つけ方を知ることで問題をスムーズに解くことができます。
高次方程式の例題を解く際にさらっと紹介したのですが、ここでもう一度詳しく触れてみましょう。
まずは有理数解を見つける必要があります。
効率的に因数を見つける方法は次のとおりです。
求める因数=定数項の約数最高次の項の係数の約数
例えばx3+x2-5x+3の場合、3の約数→3,1、2の約数→2,1となります。
求める因数候補は1or23or1です。
このように、ルールを使用することで予想できる組み合わせはかなり絞られます。
因数定理を利用する際は、効率的な方法で因数を見つけましょう。
因数定理を利用する際は、効率的な方法で因数を見つけましょう。
なお、この後は展開をしていけば証明ができます。
実際、問題を解くときは最高次の項の係数は1になることが多く、その際は定数項の約定から探し出さなければなりません。
求める因数=定数項の約数最高次の項の係数の約数はかなり役立つため、ぜひ暗記して抑えておきましょう。
通常の割り算のように、整式の割り算を行うことができます。
基本的には通常のわり算と同じですが、少し異なる部分もあります。
次の三次方程式で例えてみましょう。
x3+x2-10x+8=(x-1)(x2+2x-8)
この場合は、最も大きい次数の値が合うように商を書いて、整式の割り算をしましょう。
その後は因数分解も併用して、三次方程式の解を求めることができます。
先ほど紹介した求める因数=定数項の約数最高次の項の係数の約数でも求められますが、整式の割り算を筆算で行うことも覚えておくと便利です。
CHECK
高次方程式は、解き方を知らなければ解けないものです。
また、一度に苦手意識が生まれると、一人で長時間取り組んでも解くのが難しくなります。
その場合、数学が得意な方である塾講師に教えてもらうのがおすすめです。
塾によって、勉強が苦手な方に向けてさまざまな工夫がされています。
今回は3つの塾をご紹介します。
個別教室のトライの基本情報 | |
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対象 | 幼児・小学生・中学生・高校生 |
指導形態 | 1対1のマンツーマン指導 |
対象地域 | 全国 |
個別教室のトライの特徴を見ていきましょう。
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CHECK
東京個別指導学院の基本情報 | |
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指導方法 | 最大1対2までの個別指導 |
自習室情報 | あり(教室により要確認) |
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高校数学克服塾MeTaの基本情報 | |
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この記事では高次方程式について解説しました。
高次方程式は、因数定理が理解できれば解けるものです。
1度解き方が分かればその後はスラスラと解けるため、まずは答えを見ながらでも解いてみましょう。
また、それでもわからない方は塾へ通ってみることをおすすめします。
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「高次方程式」に関してよくある質問を集めました。
高次方程式とは、x3-2x2-5x+6=0のような3次以上の方程式のことです。特に、3次方程式、4次方程式を扱う問題が多く見られます。これまでは1次か2次の方程式が主でしたが、因数定理を使うことで、今までの解き方では解けなかった高次方程式を解くことができます。高次方程式の詳細はこちらを参考にしてください。
高次方程式は、因数定理を用いて因数分解し、(掛け算の形)=0とすることで解くことが可能です。因数定理を用いて、xに代入したときに式の値が0になるようなxの値を求めます。因数定理は高次方程式を解くとき、必ず必要となるものであるためしっかりと抑えておきましょう。高次方程式の解き方についてはこちらを参考にしてください。