高次方程式とは？パターンごとの回答方法・効率的な因数の見つけ方を紹介

本記事では高次方程式についてご紹介します。

高次方程式は高校数学で習います。

複雑だと思われる高次方程式ですが、一度解き方を知れば、後はスムーズに解くことが可能です。

因数分解について基本的な知識があれば誰でも解けるため、まずは挑戦してみましょう。

因数分解がわからない方は、そこから理解を深めていって下さい。

高次方程式が解けないと悩んでいる方は、この記事で一緒に理解を深めていきましょう。

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高次方程式とは？

高次方程式（こうじほうていしき）とは、次のようなものです。

xが3乗や4乗になっているような、今までの解き方では解けなかった方程式のことです。

基本的に方程式というのは、掛け算の形=0の形に変形できれば、どれか一つは必ずゼロになり解きやすくなります。

これを高次方程式でも同じ考え方で行います。

高次方程式は難しいイメージがありますが、因数分解を理解し、因数定理ができれば解くことが可能です。

高次方程式の解き方

高次方程式は、いわば三次式を含む方程式のことです。

今まで習ってこなかった方程式であるため、ややこしいと感じるかもしれません。

しかし、方程式を解く際の意味がわかっていれば、応用して高次方程式も解くことができます。

ここでは例題を混ぜながら高次方程式の解き方を見ていきましょう。

因数定理を使用する

高次方程式は複雑というイメージがあるかもしれませんが、実際解くときは、2次方程式のときと同じ考え方です。

方程式というのは「掛け算の形=0」というふうに変形できれば、どれか1つは必ず0になるため解きやすくなるという法則があります。

これは高次方程式の際にも使用します。

ただし、今までは因数分解の方法が分かりませんでした。

そこで使用されるのが因数定理です。

因数定理は高次方程式を解くとき、必ず必要となるものであるためしっかりと抑えておきましょう。

具体例①

ここでは、具体例を交えてみていきましょう。

x3-2x2-5x+6=０

答えは次のとおりです。

xに2を代入すると左辺は0になるため、左辺はx-2を因数に持ちます。

左辺をx-2で割ります。

このように因数定理を利用して=0になりました。

因数定理を使用すれば、難しいことなく解くことができます。

具体例②

ここまで習ったことを基に、次の練習問題を解いてみましょう。

この問題も因数定理を使用して、因数分解をします。

3x3-4x2-5x+2=0

因数分解をする際は、xの中に入れて0になる数を探さなければなりません。

もしも探すのが難しいときは次で探すことができます。

絞り込んで探していくと見つけやすくなりおすすめです。

これを例題でxの中に入れて0になる数を見つけ、因数分解をしたら次のようになります。

因数分解をしてみると片方の式は二次方程式になっています。

二次方程式は、これ以上因数分解が出来ない形です。

こちらが0になるということは解の公式を使用し、答えを出すことができます。

具体例③

次数が4になっている場合の問題の解き方についても見ていきましょう。

例題はこちらです。

解と係数の関係

高次方程式の解き方の次は、解と係数の関係について見てみましょう。

解と係数の関係は二次方程式と三次方程式で証明の仕方が多少変わります。

後ほど詳しく解説しますが、二次方程式の場合は解の公式と因数定理+係数比較を使用しての求め方ができるものの、三次方程式の場合は因数定理+係数比較で証明をします。

解と係数の関係は使いこなせるとさまざまな数学で役立つため、身に付けておきましょう。

二次方程式の場合

二次方程式の場合の解と係数の関係について考えましょう。

例えば次の二次方程式の場合で考えてみます。

簡単に表すことが可能です。

どんな二次方程式でも成り立つもので、問題を解く上で非常に役立ちます。

具体例①

先程行ったことを基に、実際に例題を解いてみましょう。

次の二次方程式について、解と係数の関係をそれぞれ計算してみて下さい。

なお、実数解はa+βだとします。

この2つを足すときは、xの係数x2の係数に-1を掛けたものです。

2つの解の積は定数項x2の係数でした。

これらを使用して実際に解いてみて下さい。

では次は、この解と係数の関係をつかった練習問題をしてみましょう。

具体例②

ここでは次の練習問題を解いてみます。

それぞれ解くと、次になります。

こちらの解と係数で出てくるa+βやa×βは、基本対称式と呼ばれる形になっています。

aとβを使用した対称式の形ですと、全てa+βやa×βで表すことができます。

この項目で挙げた式も全て対象式となっており、a+βやa×βの式に変換可能です。

(1)の式はa+βを変形することができ、変形できれば後はa+βのところに解と係数の関係で求めた数字を入れれば求められます。

残りの(2)も(3)も同様です。

この式変形は問題でよく出てくるため、暗記しましょう。

効率的な因数の見つけ方

因数定理を利用する際、xの中に入れて0になる数を見つけなければならないものの、そんなに簡単なことではありません。

すべての数を代入しても、時間がかかってしまい、テストの際は他の問題を解くことができなくなってしまいます。

しかし、効率的な因数の見つけ方を知ることで問題をスムーズに解くことができます。

高次方程式の例題を解く際にさらっと紹介したのですが、ここでもう一度詳しく触れてみましょう。

まずは有理数解を見つけよう

まずは有理数解を見つける必要があります。

効率的に因数を見つける方法は次のとおりです。

求める因数=定数項の約数最高次の項の係数の約数

例えばx3+x2-5x+3の場合、3の約数→3,1、2の約数→2,1となります。

求める因数候補は1or23or1です。

このように、ルールを使用することで予想できる組み合わせはかなり絞られます。

因数定理を利用する際は、効率的な方法で因数を見つけましょう。

なお、この後は展開をしていけば証明ができます。

実際、問題を解くときは最高次の項の係数は1になることが多く、その際は定数項の約定から探し出さなければなりません。

求める因数=定数項の約数最高次の項の係数の約数はかなり役立つため、ぜひ暗記して抑えておきましょう。

整式の割り算を筆算で行う方法も

通常の割り算のように、整式の割り算を行うことができます。

基本的には通常のわり算と同じですが、少し異なる部分もあります。

次の三次方程式で例えてみましょう。

x3+x2-10x+8=(x-1)(x2+2x-8)

この場合は、最も大きい次数の値が合うように商を書いて、整式の割り算をしましょう。

その後は因数分解も併用して、三次方程式の解を求めることができます。

先ほど紹介した求める因数=定数項の約数最高次の項の係数の約数でも求められますが、整式の割り算を筆算で行うことも覚えておくと便利です。

高次方程式をマスターできるおすすめの塾

高次方程式は、解き方を知らなければ解けないものです。

また、一度に苦手意識が生まれると、一人で長時間取り組んでも解くのが難しくなります。

その場合、数学が得意な方である塾講師に教えてもらうのがおすすめです。

塾によって、勉強が苦手な方に向けてさまざまな工夫がされています。

今回は３つの塾をご紹介します。

個別教室のトライ

個別教室のトライの基本情報
対象	幼児・小学生・中学生・高校生
指導形態	1対1のマンツーマン指導
対象地域	全国

個別教室のトライの特徴を見ていきましょう。

得点力向上のための学習システム

個別教室のトライでは、トライ式学習法を導入しています。

トライ独自の独自法で、120万人の指導実績から生まれたものです。

一人ひとりの個性や課題に応じて、様々な学習法を提案してくれます。

例えば次のようなものです。

勉強が苦手な子でも、やる気が出ない子でも、個別教室のトライならば勉強に取り組むことができます。

志望校合格はもちろんのこと、目標達成に導きます。

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個別教室のトライでは、目標達成に向けてオーダーメイドカリキュラムを作成しています。

AIを活用した科学的な学習診断と、地元や受験情報に精通した教育プランナーが目標達成のために、勉強の目標をより具体的にしたものです。

一人ひとりに合わせたオーダメイドカリキュラムを作成してくれるため、無理なく勉強ができます。

主要科目に対応しているため、項目が少ないと悩むこともありません。

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個別教室のトライでは、夏期講習を受付中です。

詳細は、以下の通りです。

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一人ひとりの学習状況や目標に合わせて進めてもらえるため、自分に合った指導かどうかを事前に確かめやすいのが特長です。

塾選びで迷っている方や、まずは授業の進め方を見てみたい方にもぴったりです。

夏期講習では、現在の学習状況や苦手分野に合わせた授業を受けることができます。

講師との相性や授業の進み方も事前に確認できるため、入会後のイメージをつかみやすいです。

さらに、学習相談や進路に関するアドバイスも受けられるので、今後の勉強方針を考えるきっかけにもなります。

まずは夏期講習を通して、自分に合った学び方ができるかを気軽に確認してみましょう。

個別教室のトライの料金・費用

個別教室のトライの料金・費用についてご紹介します。

個別教室のトライ　料金・費用
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個別教室のトライでは、体験授業を受けたうえで、料金や学習プランを相談できます。

実際に授業を体験してから検討できるため、塾選びを慎重に進めたい方にも向いています。

個別教室のトライは、一人ひとりの学力や目標に合わせた専用のカリキュラムを作成します。

そのため、料金の詳細はお見積りシミュレーションから確認してみてください。

料金のシステムは、以下の通りです。

公式サイトから、簡単30秒でお問い合わせやお見積りができるので、気になる方はぜひ確認してみましょう。

個別教室のトライのコース

個別教室のトライが対応している学年別のコースをご紹介します。

小学生・中学生・高校生までを対象に、一人ひとりの目的に合わせた指導を行っています。

夏期講習でも、それぞれの学年や目標に応じた指導内容を相談できます。

学年	主な対応内容例
高校生 詳しいコース内容については こちら⇒	大学受験対策
	定期テスト対策
	苦手科目克服
	内部進学対策
中学生 詳しいコース内容については こちら⇒	高校受験対策
	定期テスト対策
	苦手単元の復習
	検定対策
小学生 詳しいコース内容については こちら⇒	中学受験対策
	学習習慣の定着
	苦手克服・基礎固め

個別教室のトライは、目標や理解度に合わせて学習内容を調整できるため、今の課題に合わせた授業を受けやすいのが魅力です。

夏期講習の前後で相談もできるため、どのような学習を進めるべきか迷っている方も安心です。

体験授業の相談については、下記の公式サイトより簡単にお問い合わせができます。

夏期講習の受講の流れ

個別教室のトライの夏期講習の受講の流れは、以下の通りです。

1. 公式サイトのフォームからお問い合わせ
2. 無料学習相談や夏期講習の予約
3. 学習状況に合わせたプランの提案
4. 内容に納得したうえで受講開始

まず、公式サイトのフォームから学習・料金相談や資料請求を行います。

すると、スマホでも読める電子パンフレットがすぐに届きます。

無料学習相談では、一人ひとりの学習のお悩みや料金について詳しく相談ができ、無料で体験授業を受けることも可能です。

その後、ご相談いただいた内容をもとに、お子さまに合った学習プランや料金プランをご提案いたします。

上記の流れは無料で行えますので、まずは授業の雰囲気を見てみたい方は気軽に相談してみてください。

東京個別指導学院

東京個別指導学院の基本情報
対象生徒	小学生・中学生・高校生・高卒生
対象地域	首都圏を中心に全250の直営教室を展開
指導方法	最大1対2までの個別指導
自習室情報	あり（教室により要確認）
特徴	「成績向上・結果」「講師」で顧客満足度の高い指導

対話型のコーチング指導

東京個別指導学院では、制との考えに寄り添った対話型のコーチング指導を実施しています。

生徒の主体性を尊重しており、生徒の苦手教科の学習に特化するような学習も可能となっています。

個別指導ならではの、手厚い指導を行ってくれます。

どこよりも勉強に集中できる学習環境作り

東京個別指導学院では、どこよりも勉強に集中できる学習環境作りを目標として、環境にこだわった自習室を教室に設けています。

授業がない日でも勉強に集中できる環境でしっかりと勉強を行うことができます。

また、分からない点がある際には講師に質問することもできるため、家よりも充実した環境で学習に取り組むことが出来ます。

東京・関西個別指導学院の夏期講習について

東京・関西個別指導学院の夏期講習
対象学年	小学生 / 中学生 / 高校生
ポイント	入会金無料で1科目から受講可能！
相談内容	学習・進路相談にも対応
授業料	授業料シミュレーション
無料体験授業のポイント	先生との相性や教室の雰囲気を事前に確認できる
校舎情報 (東京個別指導学院)	【関東】東京・神奈川・千葉・埼玉 【東海・九州】愛知・福岡 東京個別指導学院の教室情報を確認する⇒
校舎情報 (関西個別指導学院)	【関西エリア】京都・大阪・兵庫 関西個別指導学院の教室情報を確認する⇒
お問い合わせ	無料体験授業のお問い合わせはこちら

東京・関西個別指導学院では、夏期講習実施中です。

実際の授業を無料で体験できるため、授業の進め方や教室の雰囲気、先生との相性を事前に確認しやすいのが特長です。

小学生から高校生まで対応しているため、塾選びで迷っている方や、まずは一度授業を試してみたい方にもおすすめです。

東京・関西個別指導学院の夏期講習のポイント

東京・関西個別指導学院の夏期講習では、授業のわかりやすさだけでなく、学習環境やサポート体制も確認できます。

1. 希望科目の授業を無料で体験できる
2. プロに学習・進路相談ができる
3. 先生との相性や教室の雰囲気を確認できる

無料体験授業では、実際の授業を受けながら自分に合った学習法を体感できます。

受験対策や苦手科目の克服、勉強方法の見直しなどについても相談できるため、今の課題を整理しやすいです。

さらに、体験授業を受けたからといって必ず入塾しなければならないわけではないため、まずは気軽に試しやすいでしょう。

東京・関西個別指導学院の料金・費用

東京・関西個別指導学院の料金・費用は、下記の通りです。

東京・関西個別指導学院の料金・費用
体験授業	無料
授業料	授業料シミュレーションで確認する
教材費

東京・関西個別指導学院では、無料体験授業を受けたうえで料金や学習プランを検討できます。

授業料・教材費に関しては1人ひとり異なるため、授業料シミュレーションから確認してみてください。

まずは無料体験授業で雰囲気を確認してから、費用面も含めてじっくり検討したい方に向いています。

東京・関西個別指導学院の対応内容

東京・関西個別指導学院では、学年ごとの課題や目標に合わせた個別指導を行っています。

学年	主な対応内容
高校生 詳しい内容はこちら	大学入試・志望校別対策
	総合型選抜・推薦・共通テスト対策
	定期テスト・内申点対策
	苦手科目の克服・勉強法改善
中学生 詳しい内容はこちら	高校受験・志望校対策
	定期テスト・内申点対策
	苦手科目の克服・勉強法改善
	学校別学習フォロー
小学生 詳しい内容はこちら	中学受験対策
	学習の復習・基礎固め
	学習習慣定着サポート
	苦手科目の克服サポート

無料体験授業では、こうした学習内容の中からお子さまに合った学習テーマで授業を体験できます。

受験対策はもちろん、定期テスト対策や苦手克服など、目的に合わせて個別に相談できるのが魅力です。

気になる方は、公式サイトより詳細を確認してみてください。

東京・関西個別指導学院の無料体験授業までの流れ

東京・関西個別指導学院の無料体験授業までの流れをご紹介します。

1. 公式サイトのお問い合わせフォームから申し込む
2. 無料の学習相談で目標やお悩みをヒアリング
3. 希望科目の無料体験授業を受ける
4. 学習プランや料金について案内を受ける

お問い合わせフォームより申し込んだ後、無料の学習相談で目標や志望校、現在の学習状況などを確認します。

そのうえで、希望科目の無料体験授業を受けられるため、授業の雰囲気や教え方を実際に確かめることができます。

体験後は、学習プランや料金について説明を受けながら、入塾するかどうかを検討できます。

気になる方は、下記の公式サイトよりお申し込みを行ってみてください。

高校数学克服塾MeTa

高次方程式をマスターするなら「高校数学克服塾MeTa」がおすすめです。

高校数学克服塾MeTaの基本情報
対象	高校生、浪人生、高校数学を教わっている中学三年生
授業形式	１対１のオンライン個別指導
校舎	オンラインのみ
特徴	高校数学克服のための数学専門オンライン塾

「高校数学克服塾MeTa」の特徴は大きく分けて３つあります。

それぞれの特徴について紹介していきます。

数学苦手を無くす論理的思考力

数学は苦手意識を持つ学生がとても多いです。

理由は、学校の数学は先生が問題の解き方を教えるだけの「暗記」だからです。

どのようにその解き方になったのかという「解き方の思考回路」は教えてくれません。

「なぜ？」という疑問を無くすために、高校数学克服塾MeTaは論理的思考力を伸ばすことを重視しています。

講師は、生徒との対話を第一に考え考え方や癖を観察して十分理解した上で数学の指導を始めます。

そうすることで、生徒は分からないところの暗記ではなくわかるところからゆっくり理解をしていくことができ、数学の克服や成績もアップすることができます。

個別指導とは違った演習授業

毎月１回は、指導以外に学習計画表を作成する個人面談があります。

それに基づいて、数学の問題演習を進めて分からないところがあればすぐに個別で質問できる形式になっています。

個別指導とは、また違った自分で取り組む習慣を身に着けるための授業を高校数学克服塾MeTaは取り組んでいるので、意欲的に数学の勉強ができます。

★学習計画表の詳細についてはこちらから

いつでも質問ができる環境

授業中は、個別ですぐ相談ができますが高校数学克服塾MeTaは授業以外でも質問対応をしています。

勉強中、わからないところがあると飛ばしてしまったり、辞めてしまうことがないように公式LINEを使って質問をすることが可能です。

疑問を解決しストレスを無くすことで、数学克服を目指します。

公式LINEでの質問がどのような感じなのか公式サイトに載っているので気になった方はチェックしてみてください。

まとめ

この記事では高次方程式について解説しました。

高次方程式は、因数定理が理解できれば解けるものです。

1度解き方が分かればその後はスラスラと解けるため、まずは答えを見ながらでも解いてみましょう。

また、それでもわからない方は塾へ通ってみることをおすすめします。

高次方程式がわからない、勉強が苦手、と悩んでいる方はご紹介した３つの中の塾を利用してみて下さい。

ご紹介した塾ならば、一人ひとりに合わせた勉強方法で効率よく指導します。

自分に合った学習方法で苦手な勉強を克服しましょう。