積分には「不定積分」と「定積分」の2種類があります。
今回学習する「定積分」は「不定積分」が基礎になって成り立っています。
そのため、「不定積分」が理解できていれば、覚えることは多くありません。
今回は「定積分」の計算方法や計算のコツを例題を使ってわかりやすく解説します。
また、不定積分の理解がまだ曖昧な方も、最初で不定積分のおさらいをしているので、ぜひ活用してみてください。
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最初に、不定積分のおさらいをしていきましょう。
今回は
なお、「∮」(インテグラル)と「dx」で式を挟むことにより、積分をすることを示しています。
では、計算方法です。
まず、(2x-3)(x+2)を展開すると2x²+x-6となります。
つまり、今回は微分すると「2x²+x-6」になるような関数を求める問題だとわかります
ここで、積分におけるポイントは、xの次数を1つずつ増やすことと増えた次数でそれぞれの項を割ることです。
まず、xの次数を増やすと「2x²+x-6」は「2x³+x²-6x」となります。
続いて増えた次数でそれぞれの項を割ると「2x³÷3+x²÷2-6x÷1」となります。
計算すると「2/3x³+1/2x²-6x」となるのです。
そして、最後に積分定数であるCをつければ計算終了になります。
すなわち、答えは「2/3x³+1/2x²-6x+C (Cは積分定数)」です。
不定積分の計算方法を思い出せましたか?
定積分はこの計算方法をもとに学習を進めていくので、必ず理解しておきましょう。
CHECK
不定積分について、思い出せましたでしょうか?
ここからは、定積分の計算方法について学習します。
不定積分の計算方法がわかっていれば、簡単に理解できる内容なので、気張らずに読んでみてください。
定積分は、∫の上部と下部に書かれた値を積分することです。
不定積分では範囲指定がありませんが、定積分では範囲指定があります。
f(x)の不定積分の1つをF(x)とするとき、
(aとbは実数)
正確には、f(x)=F(x)+Cとなりますが、定積分の場合は{F(b)+c}-{F(a)+C}=F(b)-F(a)とCが打ち消されるため、積分定数Cは不要になります。
では、早速定積分の計算方法を例題を用いながら理解していきましょう。
まず、この式を見てどんな印象を持ちますか?
この式は、前回学習した不定積分の式と似ていますよね。
唯一違う点は、∮の後ろに「[-1→3]」がついていることです。
この数字がついていれば定積分、ついていなければ不定積分となります。
では、定積分の計算方法を解説します。
途中までは不定積分と同じです。
まずは式の中身を展開します。
∮[-1→3](2x+1)(x-3)dx=∮[-1→3](2x²-5x-3)dx
続いて、不定積分を求める計算をします。
なお、定積分においては「+C」はつけない一方、式を「[ ]」で囲み、右端に∮の横に書いてある数字を書きます。
すなわち、[2/3x³-5/2x²-3x][-1→3]となります。
ここまでは、不定積分が理解できていれば、難なく理解ができるはずです。
そして、定積分ではもう1ステップあります。
最後に、[ ]の右側に書いてある数字をそれぞれ(2/3x³-5/2x²-3x)に代入し、xが大きい方(今回は3)から小さい方(今回は-1)を引き算すれば、それが答えになります。
すなわち、(2/3×3³-5/2×3²-3×3)-{2/3×(-1)³-5/2×(-1)²-3×(-1)}=-40/3という計算結果が出ます。
よって、答えは-40/3です。
不定積分では、積分定数Cが答えに含まれていた関数でしたが、定積分ではこのように具体的な数値が出てくる点が特徴です。
∮の横に書いてある数字に文字が含まれていれば、定積分の答えにも文字は含まれますが、基本的には今回のように具体的な数値が出てきます。
今まで面積を求める際は、それぞれの公式を用いていたはずです。
三角形、四角形、円の面積を求めるには、それぞれ公式があり、それを覚えたうえで解答していたでしょう。
それでは公式に当てはめられない図形の面積を求めることはできません。
しかし、定積分を使えば、今まで求めることができなかったような複雑な形の面積も求められるようになります。
例題を使って解説していきましょう。
y=-x²-3xは、四角形や三角形、円とは別なので、今までのように公式を用いて面積を求めることはできません。
しかし、定積分ではこのグラフの面積を求められます。
計算方法は、上側のグラフの式から下側のグラフの式を引いて定積分します。
例題において、上側のグラフの式とはy=-x²+3x、下側のグラフの式とはx軸、すなわちy=0となります。
上側のグラフの式から下側のグラフの式を引くので、-x²+3x-0=-x²+3x・・・①という式が出てきます。
ここで、①を定積分することで答えが求められます。
なお、定積分をする際には∮の横に数字を2つ書いていましたよね。
ここには求めたい図形の右端(x=3)と左端(x=0)の数値を、それぞれ上と下に記載します。
すなわち、「∮[0→3](-x²+3x)dx」を計算することになります。
あとは通常の定積分と同じ流れとなり、答えは9/2です。
ここまで2つの例題をもとに定積分の解説をしてきましたが、計算が面倒ですよね。
特に分数が入ってくると、いくつもの分数をそれぞれ足したり引いたりしなければならず、計算ミスが起こりやすい状況になってしまいます。
そこで、計算ミスをなるべく減らし楽に計算できる方法を紹介します。
先ほどの1つ目も例題を使って解説しましょう。
∮[-1→3](2x+1)(x-3)dxの計算をします。
まずは、通常通り積分を進めていきます。
「∮[-1→3](2x²-5x-3)dx」と展開したあとは、変形して[2/3x³-5/2x²-3x][-1→3]とします。
そして、x=-1,3をそれぞれ代入して計算すると、
(2/3×3³-5/2×3²-3×3)-{2/3×(-1)³-5/2×(-1)²-3×(-1)}となります。
この場面において、多くの場合では左のカタマリと右のカタマリをそれぞれ計算してから引き算をすることになるはずです。
しかし、それでは分母が大きくなってしまったり計算の手間が多くなったりするので、計算ミスが多くなってしまいます。
そこで、左のカタマリ、右のカタマリに分けて計算するのではなく、分母が同じ数字を先に計算することをおすすめします。
これにより、複雑な分数の計算がなくなるため、計算の手間を省き計算ミスを減らせるようになります。
このような工夫をすることで計算ミスを減らし、得点力アップにつなげていきましょう。
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CHECK
では、定積分の練習問題に挑戦してみましょう。
この回は2題用意したので、2題とも解けるように頑張ってください。
次の定積分を求めてください。
できましたか?
では、解き方と解答を見ていきましょう。
まずは式の中身を展開します。
∮[1→2](2x-1)³dx=∮[1→2](8x³-12x²+6x-1)dx
続いて、変形すると[2x⁴-4x³+3x²-x][1→2]となります。
最後に、[ ]の右側に書いてある数字をそれぞれ(2x⁴-4x³+3x²-x)に代入し、xが大きい方から小さい方を引き算します。
計算すると「10」となり、これが答えとなります。
できましたか?
では、解き方と解答を見ていきましょう。
今回は3つのグラフに囲まれた面積を求める問題です。
しかし、基本の考え方は同じです。
上側の式から下側の式を引けば良いのです。
すなわち、y=0からy=-x²+4x-4を引くことになるので、0-(-x²+4x-4)=x²-4x+4を積分します。
また、今回の範囲は0≦x≦2となるため、∮[0→2](x²-4x+4)dxと式が成り立ちます。
計算すると、答えは8/3となるため、面積は8/3となります。
CHECK
ここでは、定積分の応用問題を学習しましょう。
絶対値記号を含んだ定積分の計算方法を解説します。
では、早速例題を見ていきましょう。
定積分∮[1→3](|x²-3x+2|)dxを求めてください。
いつもであれば、xの式を展開して計算をすることになりますが、絶対値がついている場合はどうすれば良いのでしょうか?
まず、y=|x²-3x+2|と定義します。
このy=|x²-3x+2|は、y=x²-3x+2のグラフにおいてyが負の部分、すなわちx≦0の部分をx軸を対象に折り返したものであることがわかります。
また、y=x²-3x+2=(x-1)(x-2)となることから、y=|x²-3x+2|のグラフは1≦x≦2の部分ではx軸を対象に折り返されたグラフ、すなわちy=-(x²-3x+2)=-x²+3x-2になります。
すなわち、今回計算する1≦x≦3において、1≦x≦2ではy=-x²+3x-2とx軸の間の面積、2
ここまでわかったところで、ようやく計算を始めていきます。
まずは、2つの場合分けをします。
∮[1→3](|x²-3x+2|)dx=∮[1→2](|x²-3x+2|)dx+∮[2→3](|x²-3x+2|)dx
絶対値を外すと、∮[1→2](-x²+3x-2)dx+∮[2→3](x²-3x+2)dxとなります。
そして、あとは今まで学習した通り、1つずつ積分を計算して、最後に足し算をすればOKです。
計算すると、答えは「1」になります。
これが絶対値記号を含む定積分の計算方法です。
では、絶対値記号を含む定積分の練習問題に挑戦してみましょう。
定積分∮[-2→3](|x²-x|)dxを求めてください。
できましたか?
では、解き方を見ていきましょう。
まず、y=|x²-x|と定義します。
このy=|x²-x|は、y=x²-xのグラフにおいてyが負の部分、すなわちx≦0の部分をx軸を対象に折り返したものであることがわかります。
また、y=x²-x=x(x-1)となることから、y=|x²-x|のグラフは0≦x≦1の部分ではx軸を対象に折り返されたグラフ、すなわちy=-(x²-x)=-x²+xになります。
すなわち、今回計算する-2≦x≦3において、-2≦x<0ではy=x²-xとx軸の間の面積、0≦x≦1ではy=-x²+xとx軸の間の面積、1
すなわち、∮[-2→3](|x²-x|)dx=∮[-2→0](|x²-x|)dx+∮[0→1](|x²-x|)dx+∮[1→3[(x²-x)]dxとなり、絶対値を外すと、∮[-2→3](x²-x)dx=∮[-2→0](-x²+x)dx+∮[0→1](x²-x)dx+∮[1→3[(x²-x)]dxとなります。
これを計算すると答えは19/2です。
以上が絶対値記号を含む定積分の計算になります。
応用的な内容だったため、理解するまでに時間がかかるかもしれません。
まずは基礎的な内容を理解したうえで、もう一度トライしてみましょう。
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CHECK
定積分のおすすめの勉強法は、理屈を理解したうえで問題演習を繰り返すことです。
まずは定積分の計算方法をきちんと理解することが大切になります。
しかし、理解をしただけだと計算の仕方を忘れてしまう可能性があります。
そこで、理解を深め、計算方法を定着させるためにも、繰り返し問題演習をすることが大切なのです。
1回できたからといってすぐに学習を終わらせるのではなく、少し期間をあけたうえで再度学習してみてください。
期間をあけて学習することで、自分の理解が曖昧だった部分も明らかになるのでおすすめです。
定積分のおすすめの勉強法は、以下の問題集の範囲を繰り返し解くことです。
また、これらの問題のみならず、不定積分の問題も一緒に確認しておくと良いでしょう。
不定積分は入試ではあまり出題されないため、練習を繰り返す方は多くありません。
しかし、定積分の計算は不定積分での計算が基礎となっています。
そのため、不定積分の計算を理解しておくことが定積分の計算を得意にすることにつながるのです。
ぜひ、定積分のみならず不定積分の計算にも触れておきましょう。
CHECK
今回は定積分の計算方法について解説しました。
積分は数学Ⅱの中でも難しい部類に入るため、ここでつまずく方は少なくありません。
しかし、きちんと基本の解き方を理解していれば、確実に習得できるでしょう。
まだ理解が不十分だと感じた方は、問題演習をしながら何度もこのページを読み返すようにしましょう。
「定積分」に関してよくある質問を集めました。
定積分を使うと面積が求められます。グラフ上で上にある関数から下にある関数を引き算することで、簡単に面積を求めることが可能です。これまで学習してきた四角形や三角形、円とは異なる面積も求められるようになるので、きちんと理解しておくと良いでしょう。定積分での面積の求め方はこちらを参考にしてください。
定積分の計算には分数が出てくることが少なくありません。その際、何も考えず左から順番に計算するのではなく、同じ分母の分数を先にまとめて計算しておくと良いです。先にまとめて計算しておくことで、計算ミスを減らせるのでぜひ取り入れてみましょう。定期テストについてはこちらを参考にしてください。