積分には「不定積分」と「定積分」の2種類があります。

今回学習する「定積分」は「不定積分」が基礎になって成り立っています。

そのため、「不定積分」が理解できていれば、覚えることは多くありません。

今回は「定積分」の計算方法や計算のコツを例題を使ってわかりやすく解説します。

また、不定積分の理解がまだ曖昧な方も、最初で不定積分のおさらいをしているので、ぜひ活用してみてください。

 

不定積分の計算方法をおさらいしよう

最初に、不定積分のおさらいをしていきましょう。

今回は「∮(2x-3)(x+2)dx」という式を例に解説していきます。

なお、「∮」（インテグラル）と「dx」で式を挟むことにより、積分をすることを示しています。

では、計算方法です。

不定積分の計算方法を思い出せましたか？

定積分はこの計算方法をもとに学習を進めていくので、必ず理解しておきましょう。

定積分とは？

不定積分について、思い出せましたでしょうか？

ここからは、定積分の計算方法について学習します。

不定積分の計算方法がわかっていれば、簡単に理解できる内容なので、気張らずに読んでみてください。

定積分の定義・公式

定積分は、∫の上部と下部に書かれた値を積分することです。

不定積分では範囲指定がありませんが、定積分では範囲指定があります。

正確には、f(x)=F(x)+Cとなりますが、定積分の場合は｛F(b)+c｝-｛F(a)+C｝=F(b)-F(a)とCが打ち消されるため、積分定数Cは不要になります。

定積分の計算方法をマスターしよう！

では、早速定積分の計算方法を例題を用いながら理解していきましょう。

例）∮[-1→3](2x+1)(x-3)dx

まず、この式を見てどんな印象を持ちますか？

この式は、前回学習した不定積分の式と似ていますよね。

では、定積分の計算方法を解説します。

途中までは不定積分と同じです。

ここまでは、不定積分が理解できていれば、難なく理解ができるはずです。

そして、定積分ではもう1ステップあります。

∮の横に書いてある数字に文字が含まれていれば、定積分の答えにも文字は含まれますが、基本的には今回のように具体的な数値が出てきます。

定積分を使うと面積が求められる

今まで面積を求める際は、それぞれの公式を用いていたはずです。

三角形、四角形、円の面積を求めるには、それぞれ公式があり、それを覚えたうえで解答していたでしょう。

それでは公式に当てはめられない図形の面積を求めることはできません。

しかし、定積分を使えば、今まで求めることができなかったような複雑な形の面積も求められるようになります。

例題を使って解説していきましょう。

例）y=-x²-3xとx軸で囲まれた部分の面積Sを求めてください。

y=-x²-3xは、四角形や三角形、円とは別なので、今までのように公式を用いて面積を求めることはできません。

しかし、定積分ではこのグラフの面積を求められます。

定積分の計算のコツ｜分母に着目

ここまで2つの例題をもとに定積分の解説をしてきましたが、計算が面倒ですよね。

特に分数が入ってくると、いくつもの分数をそれぞれ足したり引いたりしなければならず、計算ミスが起こりやすい状況になってしまいます。

そこで、計算ミスをなるべく減らし楽に計算できる方法を紹介します。

先ほどの1つ目も例題を使って解説しましょう。

この場面において、多くの場合では左のカタマリと右のカタマリをそれぞれ計算してから引き算をすることになるはずです。

しかし、それでは分母が大きくなってしまったり計算の手間が多くなったりするので、計算ミスが多くなってしまいます。

このような工夫をすることで計算ミスを減らし、得点力アップにつなげていきましょう。

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定積分の練習問題

では、定積分の練習問題に挑戦してみましょう。

この回は2題用意したので、2題とも解けるように頑張ってください。

練習問題①

次の定積分を求めてください。

「∮[1→2](2x-1)³dx」

できましたか？

では、解き方と解答を見ていきましょう。

練習問題②

y=-x²+4x-4とx軸とy軸で囲まれた面積Sを求めてください。

できましたか？

では、解き方と解答を見ていきましょう。

定積分の応用｜絶対値記号を含む定積分

ここでは、定積分の応用問題を学習しましょう。

絶対値記号を含んだ定積分の計算方法を解説します。

では、早速例題を見ていきましょう。

定積分∮[1→3](|x²-3x+2|)dxを求めてください。

いつもであれば、xの式を展開して計算をすることになりますが、絶対値がついている場合はどうすれば良いのでしょうか？

ここまでわかったところで、ようやく計算を始めていきます。

これが絶対値記号を含む定積分の計算方法です。

絶対値記号を含む定積分の練習問題

では、絶対値記号を含む定積分の練習問題に挑戦してみましょう。

定積分∮[-2→3](|x²-x|)dxを求めてください。

できましたか？

では、解き方を見ていきましょう。

以上が絶対値記号を含む定積分の計算になります。

応用的な内容だったため、理解するまでに時間がかかるかもしれません。

まずは基礎的な内容を理解したうえで、もう一度トライしてみましょう。

定積分を勉強するなら

定積分を勉強するなら、オンライン数学克服塾MeTa・東京個別指導学院をおすすめします。

オンライン数学克服塾MeTa

対象	高校生
授業形式	1対1のオンライン個別指導
校舎	オンライン
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なぜ定積分の勉強に「オンライン数学克服塾MeTa」がおすすめなのか、その理由を2つ紹介します。

苦手を克服するためのオーダーメイドカリキュラム

1つ目は、オーダーメイドカリキュラムを採用していることです。

ほとんどの塾では、既定のカリキュラムがあり、そのカリキュラムに沿って学習を進めます。

しかし、オーダーメイドカリキュラムであれば、生徒にあった問題集を使って学習できたり、自分の苦手な部分を重点的に学習できたりします。

それにより、苦手な部分に多く時間をかけられるため、苦手の克服のスピードが上がるのです。

LINEでの質問対応可能

2つ目は、LINEでの質問対応が可能なことです。

公式LINEアカウントがあり、問題を写真に撮って、わからない場所を伝えることで、いつでも質問できます。

従来では日々の学習で疑問点が出ても、近くに先生がいなければ解決できずモヤモヤしてしまうことが多くありました。

しかし、LINEを有効活用することで、ストレスをあまり感じずに自宅学習が進められるでしょう。

東京個別指導学院

ここでは東京個別指導学院の基本情報についてご紹介します。

なお、東京個別指導学院のオンライン指導は、教室での指導を受けている方のみが利用できるサービスなので、ご注意ください。

東京個別指導学院の基本情報
対象学年	小学生〜高校生
展開地域	東京、神奈川、埼玉、千葉、愛知、京都、大阪、兵庫、福岡
授業形態	個別指導
特徴	担当講師制度、AI教材やオンライン学習など

自発的な学習姿勢を鍛える

東京個別指導学院のオンライン指導は、リアルタイムの双方向型授業になっています。

教室での指導と同じように、講師と生徒が会話をしながら授業を進めていきます。

また、授業の内容としては、問題演習と解説を交互に繰り返すスタイルです。

そのため、分からないことがあればすぐに質問することができるほか、授業を聴くだけでは得られない思考力や判断力を身につけることができるでしょう。

通塾しやすい環境づくり

東京個別指導学院では、都合に合わせて対面授業とオンライン授業を切り替えることが可能となっています。

部活で忙しい平日は自宅でオンライン授業を受け、比較的時間に余裕がある長期休みや土日は対面授業を受ける、というふうに自分の生活に合った受講スタイルを作ることができます。

このようなハイブリッド受講をうまく活用することで、塾にも通いやすく、効率よく学習を進めることができるといえます。

定積分のおすすめの参考書・勉強法

定積分のおすすめの勉強法は、理屈を理解したうえで問題演習を繰り返すことです。

まずは定積分の計算方法をきちんと理解することが大切になります。

しかし、理解をしただけだと計算の仕方を忘れてしまう可能性があります。

そこで、理解を深め、計算方法を定着させるためにも、繰り返し問題演習をすることが大切なのです。

1回できたからといってすぐに学習を終わらせるのではなく、少し期間をあけたうえで再度学習してみてください。

期間をあけて学習することで、自分の理解が曖昧だった部分も明らかになるのでおすすめです。

問題集の勉強範囲

定積分のおすすめの勉強法は、以下の問題集の範囲を繰り返し解くことです。

また、これらの問題のみならず、不定積分の問題も一緒に確認しておくと良いでしょう。

不定積分は入試ではあまり出題されないため、練習を繰り返す方は多くありません。

しかし、定積分の計算は不定積分での計算が基礎となっています。

そのため、不定積分の計算を理解しておくことが定積分の計算を得意にすることにつながるのです。

ぜひ、定積分のみならず不定積分の計算にも触れておきましょう。

まとめ

今回は定積分の計算方法について解説しました。

積分は数学Ⅱの中でも難しい部類に入るため、ここでつまずく方は少なくありません。

しかし、きちんと基本の解き方を理解していれば、確実に習得できるでしょう。

まだ理解が不十分だと感じた方は、問題演習をしながら何度もこのページを読み返すようにしましょう。