合同条件についてどのくらい知っていますか。
三角形の5つの合同条件がすぐに出てこない方はぜひ読んでみてください。
今回は合同条件について説明していきます。
三角形の合同条件から証明の書き方まで網羅しています。
証明問題の解き方を忘れてしまった方もこれを読んで復習してくださいね。
２つの図形の形や大きさが同じとき、その2つの図形は合同であるといえます。
合同とは位置や向きを変えると完全に一致する2つ以上の図形のことです。
合同になるときの条件を学ぶことで、合同かどうか判断できるようになります。
そのため合同になるための条件である合同条件を学んでいきましょう。
まずは三角形の合同条件について解説していきます。
三角形の合同条件は3つあるので、一つずつ見ていきましょう。
三角形の合同条件の1つ目は三角形の3組の辺がそれぞれ等しいことです。
3つの辺の長さが決まると、三角形は1通りに決定します。
そのためこの条件を満たすと2つの三角形は合同だといえます。
三角形の合同条件の2つ目は三角形の2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいことです。
2つの辺の長さとその間の1つの角の大きさが決まると、三角形は１通りに決まります。
そのためこの条件を満たすと2つの三角形は合同だと分かります。
しかしながら、2組の辺の間ではない角が等しかった場合は三角形が1組に決まることはないので、合同条件とはならないことに注意しましょう。
三角形の合同条件の3つ目は三角形の1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいことです。
1つの辺の長さとその両端の角の大きさが決まると、作られる三角形は1通りになります。
そのためこの条件を満たすことでも、2つの三角形は合同であると分かります。
つぎに直角二等辺三角形の合同条件について説明していきます。
二等辺三角形とは2つの底角が等しい、あるいは、2辺が等しい三角形のことをいいます。
また3つの角のうちの2つの角がそれぞれ45°であるのが二等辺三角形が直角三角形です。
2つの合同条件があるので、順番に確認していきましょう。
直角二等辺三角形の合同条件の1つ目は斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいことです。
直角二等辺直角三角形では１つの鋭角が決まると、もう1つの鋭角の大きさも決まります。
そのため斜辺と１つの鋭角が等しいのであれば、斜辺とその両端の角がそれぞれ等しいことになり、三角形の合同条件を満たします。
よって、この条件を満たす2つの直角二等辺三角形は合同になります。
直角二等辺三角形の合同条件の2つ目は斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいことです。
斜辺と他の一辺がそれぞれ等しいとき、2つのうちの1つの三角形を裏返して二等辺三角形を作ることができます。
このとき底角は等しくなるため、二等辺三角形の頂角部にある二つの角も等しくなります。
二等辺三角形の頂角部にある二つの角は斜辺と他の一辺の2辺の間にある角なので、2辺とその間の角がそれぞれ等しいという三角形の合同条件が当てはまります。
よってこの条件を満たすと2つの直角二等辺三角形は合同になります。
さいごに、直角三角形の合同条件について確認していきましょう。
直角三角形の合同条件は2つあるので、説明していきます。
直角三角形の合同条件の1つ目は斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいことです。
条件で出てくる鋭角とは90°よりも小さい角のことを言います。
直角三角形では１つの鋭角が決まると、もう1つの鋭角の大きさが決定します。
そのため斜辺と1つの鋭角が決まると、斜辺とその両端の角が決まることと同じになります。
1つの辺の長さとその両端の角の大きさが決まると、三角形は1通りに決定します。
よって、この条件を満たすと2つの直角三角形は合同となります。
直角三角形の合同条件の2つ目は1組の辺と角がそれぞれ等しいことです。
直角三角形は1つの角が90°なので、1つの鋭角が決まるともう1つの鋭角の大きさが決定します。
そのため直角三角形において1組の辺と角が等しいとき、1つの辺のとその両端の角が等しいことになります。
1つの辺の長さとその両端の角の大きさが決まると、作られる三角形は1通りになります。
そのためこの条件を満たすことでも、2つの直角三角形は合同であると分かります。
✔三角形の合同条件は3つ
✔二等辺三角形の合同条件は2つ
✔直角三角形の合同条件は2つ
ここでは証明問題の解き方について解説していきます。
証明にあたっての考え方を押さえてスムーズに解けるようにしましょう。
合同の証明問題の解き方のポイントについて説明します。
それは、まず結論を見てから仮説を見ます。
そして、三角形の合同条件の3つのうち2つに絞ります。
さいごに、2つに絞った条件のどちらかに合うような辺や角を探します。
この方法で考えることができたら、仮定、仮定に根拠を示す、三角形の合同条件にあてはめる、結論、の順番でまとめ直します。
合同の証明をするときはこの方法で考えるようにすると解きやすくなります。
証明の書き方について説明していきます。
書き方の型を覚えると解きやすくなります。
例題を解きながら学習していきましょう。
「下の図で、AB=CB、AC=CDならば、△BAD≡△BCDとなることを証明しなさい。」という例題を解いていきます。
まずは２つの三角形を見つけることが大事です。
例題からは△BADと△BCDの三角形を見つけることができました。
そのため「△BADと△BCDにおいて」と書きます。
三角形を見つけることができたら、仮定を書き出していきます。
見つけた2つの三角形から似ている辺や角度を仮定として書き出します。
例題では仮定としてAB=CB、AC=CDであることが分かります。
そのため下記のように書きます。
△BADと△BCDにおいて
仮定より
AB=CB・・・①
AC=CD・・・②
仮定から分かることであることを表すために「仮定から」と書きましょう。
また情報を整理するために①・②と番号を振っておきます。
見つけ出した似ている辺や角度に理由付けをします。
理由をつけるさいには分かりやすい理由をつけましょう。
問題文には書いてないものの、例題から共通な辺はBD＝BDであることが分かるので、証明の中に書いておきます。
△BADと△BCDにおいて
仮定より
AB=CB・・・①
AC=CD・・・②
共通な辺だから
BD＝BD・・・③
直角三角形や二等辺三角形を含む三角形の合同条件と照らし合わせて、どのように合同であるかを書きます。
今回の場合は、三角形の合同条件の中の1つである3つの辺がそれぞれ等しいことを書きます。
完成は下記のようになります。
△BADと△BCDにおいて
仮定より
AB=CB・・・①
AC=CD・・・②
共通な辺だから
BD＝BD・・・③
①②③より
3組の辺がそれぞれ等しいので
△BAD≡△BCD
✔解き方にはポイントがある
✔書き方の型を覚えると解きやすくなる
✔合同条件を頭に入れておこう
ここでは、平行四辺形になるための条件について学習していきます。
平行四辺形になるための5つの条件のうち、どれか1つでも条件を満たせば平行四辺形だと証明することができます。
定期テストでの出題率が高いので把握しておきましょう。
平行四辺形になるための条件の1つ目は2組の対辺がそれぞれ平行なことです。
平行四辺形とは2組の向かいあう辺がそれぞれ平行な四角形のことなので、2組の向かい合う辺がそれぞれ平行な四辺形は平行四辺形になります。
たとえば、四辺形ABCDがあるとします。
この四角形がAB//CD、AC//BDであったとき2組の向かいあう辺が平行なので、平行四辺形であるといえます。
平行四辺形になるための条件の2つ目は2組の対辺がそれぞれ等しいことです。
2組の対辺がそれぞれ等しいとき、四角形に対角線を1本引いて三角形を2つ作ることができます。
対角線を引いて作った三角形は2組の辺がそれぞれ等しい、残りの1組の辺は四角形の対角線であり長さは等しいため、3組の辺がそれぞれ等しいという三角形の合同条件を満たします。
三角形の合同条件を満たすため、対角線を引いて作った２つの三角形は合同になります。
合同な三角形のため錯角が等しくなり、対辺が平行であることが分かります。
2組の錯角が等しいため2組の対辺が平行であることが分かり、平行四辺形になる条件を満たします。
よって2組の対辺がそれぞれ等しいとき、平行四辺形になります。
平行四辺形になるための条件の3つ目は2組の対角がそれぞれ等しいことです。
たとえば四角形ABCDがあり、2組の対角がそれぞれ等しいとき、∠A＝∠C、∠B＝∠Dとなります。
四角形の内角の合計は360°であることから、2組の対角の合計は360°になります。
そのため∠A＋∠B＝180°となります。
その後、ABを延長したところに点Eをとると∠CBEができます。
∠CBE＋∠B＝180°となり、∠A＋∠B＝180°であることから∠A＝∠CBEとなります。
∠A＝∠CBEは同位角になり、ADとBCは平行になります。
同様に∠Cは∠CBEと錯角になりABとDCは平行になります。
すると2組の対辺が平行になり平行四辺形になる条件を満たします。
よって2組の対角がそれぞれ等しいとき平行四辺形になります。
平行四辺形になるための条件の4つ目は対角線がそれぞれの中点で交わることです。
2本の対角線を引くと、それぞれの対角線の中点までの長さの三角形が4つできます。
その三角形は向かいの三角形と対頂角が等しくなるので、2辺とその間の角がそれぞれ等しいことになり、2本の対角線からできた２つの三角形は合同になります。
そのため2組の対辺の長さがそれぞれ等しい四辺形は平行四辺形になります。
平行四辺形になるための条件の5つ目は1組の対辺が平行でその長さが等しいことです。
証明には四角形の平行だと分かっている対辺に対角線を1本引いて、2つの三角形を作ります。
できた二つの三角形の1辺はその長さが等しいことが仮定としてある、対角線が共通の辺となっているので等しい、平行なため錯角が等しく間の角が等しいので、2辺とその角が等しくなり合同の三角形の条件を満たします。
そのため対角線を引くことで作られた2つの三角形は合同となり、もう1組の対辺の長さも等しいことが分かります。
2組の対辺がそれぞれ等しいので、平行四辺形になります。
✔平行四辺形になるための条件は5つ
✔定期テストでの出題率が高い
✔辺や角の等しい関係を探そう
ここでは、合同条件の例題を解いていきます。
まずは自分で解いてみましょう。
以下の三角形を合同な三角形の組に分けましょう。
またそのときに使った合同の条件を答えましょう。
三角形Ａの3辺は2cm、3cm、4cmです。
三角形Bの3辺は4cm、6cm、8cmです。
三角形Cの3辺は2cm、3cm、4cmです。
三角形Dの3辺は4cm、6cm、8cmです。
まずは三角形の合同条件で当てはまるものがあるか確かめます。
三角形Aと三角形Cは3辺の長さがそれぞれ等しいことが分かります。
同様に、三角形Bと三角形Dも3辺の長さがそれぞれ等しいことが分かります。
そのため答えは三角形Aと三角形C、三角形Bと三角形Dの2組が合同の三角形となります。
そして、使った三角形の合同条件は3組の辺がそれぞれ等しいことになります。
図で辺AO＝辺DO、辺BO＝辺COのとき△AOB≡△CODと言えますか。
まずは問題文で与えられた仮定を整理してみます。
すると辺AOと辺DO、辺BOと辺COの長さはそれぞれ等しいことが分かります。
そして、これだけでは合同条件に足りないので、等しい角や辺を探します。
探したところ∠AOB＝∠CODは対頂角となり等しくなることが分かります。
よって、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△AOB≡△CODといえます。
✔問題文で与えらえた仮定を整理しよう
✔三角形の合同条件から足りない要素を考えよう
✔多くの問題を解いて基礎力をつけよう
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ここでは、湘南ゼミナールの基本情報や特徴をご紹介していきます。
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|---|---|
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今回は、三角形の合同条件について説明しました。
三角形の条件では三角形・直角三角形・二等辺三角形の合同条件を学習しました。
他にも発展として平行四辺形になるための条件についても解説しました。
証明するのに使うので解説した条件を覚えておきましょう。
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「三角形の合同条件」に関してよくある質問を集めました。
三角形の合同条件は、2つ以上の三角形の形や大きさが同じか判断するために使われます。三角形の合同条件は「３組の辺がそれぞれ等しい」「２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」「１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」の3つがあります。三角形の合同条件について詳しくはこちらを参考にしてください。
二等辺三角形の合同条件とは、2つ以上の二等辺三角形が同じである証明をするために使われます。二等辺三角形の合同条件は「斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい」「斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい」の2つがあります。二等辺三角形の合同条件について詳細はこちらをご覧ください。