【図形が苦手な学生必見】扇形の面積・弧の長さの求め方を分かりやすく解説

扇形をまず知る

扇形とは

まず初めに扇形という形とはどのようなものを指すのか教えて行きます。

扇形とは簡単に説明すると円の中心から円周に伸びていった直線と交わった交点とその間にある円の弧の部分で作られた形の事を扇形と呼びます。

こうして出来た形に注目して見ると扇のように見えますね。

扇形を作る上で円の弧の長さが円の半周よりも長くなってしまったら一見扇形のように見えないようにも思われますが、これも扇形と呼ぶことができます。

この考え方を用いると半円という形も扇形の種類の一つとして捉える事が出来ます。

扇形の中心角

では次に扇形の中心角について教えて行きます。

扇形の中心角ですが、中心角とは扇形を作る上で円の中心から円の弧の部分に向かう２つの直線の間の角度の事を中心角と呼びます。

こちらも先ほど同様に180度を超えたら扇形の中心角として呼ぶ事が出来ないのでは？とも思われますが、こちらも一見扇形として見る事が出来なくても扇形の中心角として呼ぶ事が出来ます。

扇形と度数法

度数法から面積を求める

ではまず初めに円の面積の求め方を復習して行きます。

円の面積の求め方は以下の通りの公式で求める事が出来ます。

復習として確認してみます。

半径×半径×π=円の面積

以上の式で求める事が出来ます。

想像しやすいように円の4分の1の扇形の面積を求めて見ます。

求めたい扇形の面積は円の状態と比較して4分の1の状態ですので、円の公式に4分の1を掛け算してあげれば、円の4分の1の扇形の面積を求める事が出来ます。

次は扇形の中心角が決まっているケースの扇形の面積を求めて見ます。

先ほどの扇形の求め方をもう一度思い出してみましょう。

先ほどは円の状態から比較して4分の1の状態であるため、円の面積に4分の1をかけてあげる事で面積を求めました。

つまり、これを言い換えると360度分の90度をかけた事と同じ事をしたと言い換える事が出来ます。

これを踏まえると、円の公式に扇形の中心角の角度をかけてあげる事で、どんな複雑な扇形の面積を求める事が出来ます。

度数法から弧の長さを求める

次は扇形の面積の求め方の応用として度数法から弧の長さを求めます。

先ほどと同様に円の円周の求め方を復習すると、円周は半径×2π=円周の長さで求める事が出来ます。

これを先ほどと同様に全体の円の4分の1の円の弧の長さで考えて見ます。

すると、求めたい弧の長さは円周の全体の4分の1の長さとなりますので、円周を求める公式に4分の1を掛け算してあげれば円の4分の1の長さの弧の長さを求める事が出来ます。

そこで次は扇形の中心角が決まっているケースから扇形の弧の長さを求めて行きます。

では先ほどの円の弧の求め方を思い出してください。

先ほどのケースでも、円の4分の1の長さの弧を求めた時は円周を求めてそこから4分の1をかけてあげる事で円の弧の長さを求める事が出来ました。

つまりこれも言い換えると、最後に360度分の90度をかけた事と同じ事をしたと言い換える事が出来ます。

これを考慮する事で、円周を求める公式に扇形の中心角の角度をかけてあげる事で、どんな長さの円の弧の長さを求める事が出来ます。

度数法から中心角を求める

では次は度数法での扇形の中心角を求める場合について考えます。

度数法で扇形の中心角を求める場合には必要な条件があります。

その条件とは、扇形の面積が判明している場合、もしくは円の弧の長さが判明している場合。

いずれかの条件を満たしている場合に扇形の中心角を求める事が出来ます。

ではまず初めに面積が判明している場合について考えて行きます。

まず面積をSと置いて、求めたい中心角の部分をaと置いて考えると、次のように考える事が出来ます。

S=半径×半径×π×360度分のaと考える事が出来ます。

この考え方にSに扇形の面積の数値を代入する事でaの中心角の大きさを求める事が出来ます。

次の条件である円の弧の長さがわかっている場合について考えていきます。

では円の弧の部分の長さをlと置いて、求めたい中心角をbと置くと次のように考える事が出来ます。

l=半径×2×π×360度分のbと考える事が出来ます。

この考え方に特定できている円の弧の長さであるlの部分に数値を代入する事でbの中心角の大きさについて求める事が出来ます。

度数法から半径を考える

では次に度数法の考え方から扇形の半径を求める場合について考えていきます。

扇形の中心角をcとして、先ほどの扇形の面積が判明している場合を想定する時の半径を求めていきます。

そうすると、先ほど同様にS=半径×半径×π×360度分のcと考える事が出来ます。

ここで注意して欲しいのが、半径が2回かけられている事です。

答えを導く際に2乗になっている点に注意が必要となります。

扇形と弧度法

弧度法から面積を求める

ではまず初めに弧度法での面積の求め方を考えていきます。

円の面積は半径×半径×πで答えを導き出す事が出来ました。

この場合と一緒である角度を2×πであると考えます。

これに比率を用いて公式を導き出していきたいと思います。

円の面積をSとし、 扇形の中心角をaとしていくと以下のような公式に変形する事が出来ます。

半径×半径×π：2×π=a:Sといった比率と捉える事が出来ます。

これももっと簡略化していくと、さらに以下の通りにさらに変形する事が出来ます。

S=2分の1×半径×半径×aと置き換える事が出来ます。

弧度法から弧の長さを求める

では次は弧度法から弧の長さがどれくらいあるのか求めていきます。

先ほど面積の公式を作り上げた方法と同じように考えていきます。

今までの事を再確認すると、円の弧の部分は2×半径×πで導き出せました。

その時に弧度法を利用する事で、円を2×πと置き換える事が可能です。

これも先ほど同様に比率を用いて公式を導いていきます。

円の弧の部分をlと置いて、角度の部分をbと置くと以下のような比率式を作る事が可能です。

2×半径:2×半径×π=b:lと置き換える事が出来ます。

ここからさらに簡略化すると以下のように変形する事が出来ます。

l= 半径×bといった公式になります。

弧度法から中心角を求める

では次に弧度法を利用して扇形の中心角について求めていきます。

先ほど作り上げた公式から中心角を求める公式を作り変えていくと以下の通りになります。

先ほど作り直した公式から考えると面積がわかっている場合と弧の長さがわかっている場合に弧度法で中心角を導き出す事が出来ます。

最初に面積が判明している場合から考えていきます。

先ほどの面積を求める場合の公式はS=2分の1×半径×半径×aですので、これを変形するとa=(2×S)÷(半径×半径)とさらに変形する事が出来ます。

では円の弧の長さがわかっている場合について求めていきたいと思います。

先ほどの公式を引き出してみると弧の長さは l= 半径×bで求める事が出来ました。

これを中心角を求める場合に変形するとb=l÷半径と変形し直す事が出来ます。

弧度法から半径を求める

では次に弧度法を用いて扇形の半径を求めていきたいと思います。

これもまた面積と円の弧の長さが特定されている二つの条件の時扇形の半径を求める事が出来ます。

こちらもまた面積の数値が判明している場合についてから考えていきます。

先ほどの面積を求める公式はS=2分の1×半径×半径×aですので、これを半径を求める公式に変形し直すと次のようになります。

半径= +√(2×S)÷aと変形する事が出来ます。

では次に円の弧の長さがわかっている場合について考えていきたいと思います。

こちらも先ほどの式を変形して考えていきます円の弧の長さを導き出す公式は l= 半径×bですので、これも今まで同様に半径を導く公式に変形すると半径=l÷bと変換する事が出来ます。

例題

基本問題

扇形の面積を求めよう

では実際に問題を解いてみましょう。

今回解いてみる問題はこちらです。

半径12cmで中心角80°のおうぎ形の面積を求めよ

こちらの問題を解いてみます。

この問題で要求されているのは扇形の面積ですので、扇形の面積を求める公式を利用していきたいと思います。

その公式とは、S=半径×半径×π×360度分のaですので、わかっている数値を代入していきましょう。

そうすると次のようになります。

S=12×12×π×360度分の80となります。

これを解いていくと32π㎠となります。

扇形の弧の長さを求めよう

では次の問題を解いていきます。

その問題とはこちらです。

半径5cmで中心角30°のおうぎ形の弧の長さを求めよ。

こちらが解いていただく問題となります。

この問題では扇形の弧の長さを求めているので、弧の長さを求める公式を利用していこうと思います。

その公式とはl=半径×2×π×360度分のbとなります。

こちらにわかっている数値を代入していくと次のようになります。

l=5×2×π×360度分の30となります。

これを解いていくと答えは5/6πcmとなります。

応用問題

分数が入る計算

では次は扇形の応用問題について考えていきます。

そこで次の問題文はこちらになります。

半径10cmで中心角20°のおうぎ形の面積を求めよ。

ではこちらの問題を解いていきたいと思います。

この問題では扇形の面積を要求しているので、扇形の面積を求める公式を利用していきます。

その公式とはS=半径×半径×π×360度分のaでしたね。

これにわかっている数値を代入していくと次のようになります。

10×10×π×360度分の20こちらが代入した後の式になります。

これをさらに綺麗にしていくと答えは50/9分π㎠となります。

小数点が入る計算

では最後に解いていただきたい問題とはこちらになります。

半径8cm, 中心角40.5°のおうぎ形の弧の長さを求めよ。

こちらが今回解いていただく問題となります。

この問題では扇形の弧の長さを求めているので、弧を求める公式を利用して答えを導き出していきます。

扇形の弧の長さを求める公式はl=半径×2×π×360度分のbでしたね。

ここに現在わかっている数値を代入していくと次のようになります。

8×2×π×360度分の40.5となります。

これを解いていくと最後には9/5πcmとなります。

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家庭教師のトライが実施している学年別のコースをご紹介します。

新小学1年生～既卒生までを対象に、2026年度の春期講習を実施しています。

それぞれの学年の目的に合わせたカリキュラムを作成し、指導を行います。

学年	2026年 春の重点コース例
高校生・既卒生 詳しいコース内容については こちら⇒	新高3 大学入試早期対策コース
	共通テスト・難関大対策コース
	新学年 苦手科目克服コース
	定期テスト・内部進学対策コース
中学生 詳しいコース内容については こちら⇒	新中3 高校受験 スタートダッシュコース
	受験基礎力完成・総復習コース
	新学年 定期テスト先取りコース
	英検対策・検定対策コース
小学生 詳しいコース内容については こちら⇒	中学受験対策コース
	新中1 中学校内容先取りコース
	思考力養成・算数強化コース

家庭教師のトライは、専用の教材を購入する必要がないため、授業料に追加で高額な費用が掛かることはありません。

2026年度の新学期に向けた準備から受験対策まで、お子さまの目的に合った授業が受けられるか一度相談をしてみましょう。

春期講習の相談については、下記の公式サイトより簡単にお問い合わせができます。

春期講習の受講の流れ

家庭教師のトライの春期講習の受講の流れは、以下の通りです。

1. 公式サイトのフォームからお問い合わせ
2. 学習状況のヒアリング（電話／オンライン可）
3. 無料学習相談や無料体験授業の受講
4. 専用カリキュラムと料金プランの提案
5. 講師のマッチング・日程調整をして受講開始

まず、公式サイトのフォームから学習・料金相談や資料請求を行います。

すると、スマホでも読める電子パンフレットがすぐに届きます。

無料学習相談では、一人ひとりの学習のお悩みや料金について詳しく相談ができ、無料で体験授業を受けることも可能です。

その後、ご相談いただいた内容を基に専用のカリキュラムを作成し、お子さまに合った料金プランをご提案いたします。

上記の流れは、全て無料で行えますので、新学年の学習に不安がある方は気軽にご相談をしてみてください。

中学生コースについて

では中学生のコースはどんなコースなのか説明していきます。

中学生コースは生徒が部活と両立して勉強を進めたいのか。

あるいは高校受験を見据えたカリキュラムを組んで欲しいなどといった様々な生徒さんの要望に応じたカリキュラムを立てています。

集団塾ではないので、生徒個人の要望に親身になってくれるのはこの家庭教師のトライならではの取り組みです。

料金について

では最後に家庭教師のトライの料金を説明していきます。

気になる料金ですが、家庭教師のトライは家庭それぞれの要望にそった料金プランを提供してくれます。

特に対策したい教科をはじめ、何科目指導して欲しいのかなど様々な項目で料金プランを提案してくれる塾となっております。

教育プランナーによる無料相談も行なっているので気軽に相談できる環境が整っているのが他の塾と比較しても良い点です。

中学生におすすめの通信教材

スマイルゼミ中学生コース

スマイルゼミ中学生コースの基本情報
対象学年	中学準備（小6.12月から）～中学3年生
指導形態	通信教材
料金	料金の詳細を確認する⇒
公式サイト	https://smile-zemi.jp/

AIを活用した個別最適化学習で効率的に学べる

スマイルゼミの中学生コースでは、AIが学習履歴を分析し、「今やるべき内容」を自動で提示してくれるので、迷わず勉強を進められます。

つまずいた単元は復習、得意分野は先取りと、理解度に合わせて学習内容が最適化されるのが強みです。

タブレット1台で学習が完結するため、スキマ時間でも効率よく積み上げられます。

定期テスト対策〜高校入試まで幅広い対応

スマイルゼミ中学生コースでは、定期テストでは範囲に合わせた対策ができ、日々の学習がそのまま点数アップにつながりやすい設計です。

模試・演習を通じて弱点を可視化し、志望校やレベルに合わせて入試対策まで段階的に進められます。

主要教科だけでなく実技教科まで含めた対策ができるので、内申点も見据えた学習が可能です。

スマイルゼミの春期講習

スマイルゼミの春期講習
対象学年	新中学1年生 / 新中学2年生 / 新中学3年生
指導形態	タブレット学習
展開地域	全国対応
料金	3月29日までの入会で3月の受講料0円 詳細はこちら⇒
公式サイト	https://smile-zemi.jp/chugaku/

模擬テストで現状をしっかり分析

スマイルゼミの春期講習は、まず模擬テストで現在の実力を診断します。

単元ごとに得意・不得意を細かく分析し、苦手の傾向を可視化します。

合格可能性の判定もできるため、受験を意識した学習の第一歩としても活用できます。

弱点補強講座で徹底復習

模擬テストの結果をもとに、一人ひとりに最適な弱点補強講座を配信します。

数学・英語・国語・理科・社会の主要5教科を総復習し、理解不足を取り残しません。

タブレット1台で効率よく学習できるため、新学年の学習を自信を持ってスタートできます。

AIによるリアルタイム添削

入試で差がつきやすい自由記述問題には、AIによるリアルタイム添削指導を実施しています。

解答を送信するとその場でフィードバックが返るため、自宅にいながら記述対策が可能です。

対話形式で考え方を整理できるため、記述力と得点力を同時に高めることができます。

スマイルゼミの料金・費用

スマイルゼミの春期講習料金
入会金	不要
授業料	3月29日までの入会で3月の受講料0円 詳細はこちら⇒

スマイルゼミの中学生コースは、春期講習でも入会金が不要のため、初期費用を抑えて始められます。

また、3月29日までに入会すると3月の受講料が0円となり、春休み期間の学習をお得にスタートできます。

是非、このお得な機会に、お申し込みください。

スマイルゼミの春期講習の申し込みの流れ

1. 公式サイトへアクセス
2. 学年・コースを選択して申し込み
3. タブレット到着後、春期講習を開始

まずは公式サイトにアクセスし、申し込みページから手続きを進めます。

学年・コースを選択したうえで必要事項を入力し、申し込みを完了させます。

手続き完了後はタブレットの到着を待ち、届き次第すぐに学習を始められます。

春期講習は模擬テストから取り組むことで、復習すべき単元が明確になります。

スマイルゼミ中学生コースの料金・費用

スマイルゼミ中学生コースの料金（税込）
-	標準	発展
1年生	8,580円/月～	15,180円/月～
2年生	9,460円/月～	16,060円/月～
3年生	10,340円/月～	16,940円/月～

スマイルゼミ中学生コースの料金は学年ごとに設定されており、学習内容のレベルや負荷に応じて段階的に変わります。

標準クラスは学校の授業理解や定期テスト対策を中心にした内容で、日常学習を無理なく続けたい方に向いています。

より難易度の高い問題に取り組みたい場合は発展クラスを選択でき、志望校や学力に合わせた学習が可能です。

スマイルゼミ中学生コースの口コミ・評判

今、自分がやらなきゃいけない勉強とか、理解が不十分な分野とかを示してくれて、わかりやすく解説してくれるのが本当に楽でした。

学習が足りていないところを自分で調べたり、「どう解けばいいんだろう」とあれこれ悩んだりする必要がないから、すんなり勉強に入り込めたと思います。

出典：スマイルゼミ公式サイト

中学生コースで勉強するようになってからも、スマイルゼミの見やすい画面や、端的な説明文などがとても自分に合っていましたね。

シンプルだけど必要な情報が十分揃っていて、頭に入ってきやすい感じが「いいな」って。

スマイルゼミの解説は的確なので、「本当に素敵だな」と思いながら読んでいました。

出典：スマイルゼミ公式サイト

スマイルゼミが「何を・どう勉強すればいいか」を迷わせない設計になっている点が評価されていることがわかります。

AIによる学習提示で弱点探しや解き方の悩みを減らしつつ、画面の見やすさや端的な解説で理解までスムーズにつなげている印象です。

結果として、学習のハードルが下がり、勉強に入り込みやすく継続もしやすい教材だと言えます。

まとめ

では最後にこの扇形のまとめをします。

扇形の面積と円の弧の部分をはじめ、度数法や弧度法などそれぞれ公式が違うので今一度最後に振り返って確認してみましょう。

こちらが今回の扇形の単元で重要となった公式となります。

この公式をしっかりと覚えて扇形の単元がテストに出題されたら確実に点数が取れるようにしましょう。