【高校数学】不定方程式とは？定義・具体例・n進数との関係性まで徹底解説

方程式については中学校から繰り返し学習していますが、高校数学ではさらに発展させた内容として、不定方程式について学びます。

不定方程式の問題を解くには、ユークリッド互除法や因数分解などの整数問題に関する理解が欠かせません。

今回は、不定方程式の特徴やその性質、4つの頻出パターンとその解き方を解説します。

また、整数問題の分野の中で苦手とする人も多いn進法についても、10進法との変換方法などをあわせて解説しています。

不定方程式とは？

不定方程式とは、解が無数に存在する方程式です。

中学数学では、7x-2y=0のような方程式にもう一本方程式を立て、連立方程式とすることで解を導きました。

それは、x,yという2つの未知数に対して方程式が2つあれば、解を1つに定められるからです。

しかし、高校数学では連立方程式とせず、不定方程式の形で出題されるのが一般的です。

この記事では、不定方程式の性質や解き方について解説します。

一般解と特殊解がある！

不定方程式には解が無数に存在すると説明しましたが、それでは数学の問題としづらいことから、実際には「整数x，yの解」 などと限定して出題されることがほとんどです。

また、不定方程式では「一般解」または「特殊解」、あるいは両方を求めさせる問題が多くあります。

ここでいう一般解とは、文字を使った一般的な解のことです。

たとえば、7x-2y=0であれば、x=2k、y=7k（kは整数）が成り立ちます。

このように、kにどのような整数を代入しても不等式が成り立つ解を一般解といいます。

一方、特殊解とは不等式が成り立つ具体的な解です。

先ほどと同じように7x-2y=0の不等式を例にすると、x=2、y=7が特殊解になります。

不定方程式の具体例

前の項では、不定方程式の解が無数に存在するという特徴や、一般解と特殊解があることについて解説しました。

それでは、不定方程式の具体例として、ここでは3つの性質を見ていきます。

不定方程式には上記の3つの性質があり、これらの性質の理解は不定方程式の問題を解くうえで欠かせないポイントです。

次の項目にてひとつひとつ丁寧に解説しますので、しっかりと目を通し、理解を深めてください。

①互いに素

不定方程式ax+by=1では、aとbが互いに素であるとき、ax+by=1 が整数解を持つという定理が成り立ちます。

互いに素とは、aとbの両方を割り切れる正の整数が1しかない、つまりaとbの最大公約数が1であるという意味です。

不定方程式ax+by=cでは解が無数に存在します。

たとえば、2x+5y=1は2と5が互いに素のため、x=-2,y=1のように整数解を持ちます。

一方、2x+6y=1という不定方程式で考えてみると、2と6には2という公約数があります。

このとき、もしx,yが整数ならば2x+6yは偶数になるため、2x+6y=1になることはありません。

よって整数解は存在しないといえます。

②ユークリッド互除法

ユークリッド互除法は最大公約数を求める際に使われる方法ですが、不定方程式の解を求める際にも役立ちます。

ユークリッド互除法は、不定方程式ax+by=1でaとbが互いに素である場合に使えます。

ユークリッド互除法で見つけた解は特殊解です。

さらに、ここから元の方程式を使うことで、一般解(x,y)=(3+7m, -2-5m)が求められます。

③因数分解

不定方程式ax+by=1でaとbが互いに素でない場合や、ユークリッド互除法が使えない場合には、因数分解を使うことで解を求められます。

たとえば、ax+by+cxy+d=0のような不定方程式の整数解を求めるにはどうしたら良いでしょうか。

このとき、まずはxとyに着目して、因数分解を行います。

一見複雑な不定方程式でも、因数分解でax+by=cの形に変形させることで解けるようになります。

不定方程式は4パターンに分けられる

不定方程式には多くのバリエーションがありますが、大学入試において出題される不定方程式は、大きく以下の4パターンに分けられます。

不定方程式ではそれぞれのパターンごとに、定番の解き方があります。

次の項目から具体例とあわせてひとつひとつ見ていきましょう。

解法を覚えてしまえば、複雑に見える問題でも慌てる必要はありません。

二元一次不定方程式

二元一次不定方程式とは、3x+2y=1のような形の不定方程式です。

この不定方程式は、右辺の定数項が1であるax+by=1の形で、かつaとbが互いに素であれば、すでに説明したようにユークリッド互除法を用いて解くことができます。

また、a,bがそれほど大きな数字でなければ、直感で式を成り立たせるx,yの組み合わせ（特殊解）を導ける場合もあるでしょう。

特殊解が導ければ、一般解を求めるのは難しくありません。

その後、与えられた定数項と等しくなるように解を定数倍することで、本来の不定方程式の解を求められます。

因数分解可能な二元二次不定方程式

続いて、因数分解可能な二元二次不定方程式の解法を解説します。

二元二次不定方程式とは、3x2+5xy+2y2+x+y+7=0のような、xまたはyの2乗を含む不定方程式です。

やり方は、すでに説明した因数分解を使って不定方程式の解を求める方法とほとんど同じです。

ただし、xまたはyの2乗がある分、少し複雑になります。

因数分解不可能な二元二次不定方程式

二元二次不定方程式でも、3x2+6xy+2y2-y+5=0のように因数分解不可能なものもあります。

因数分解ができるかどうかは、定数項を除いた2次の項を見ると判断できます。

因数分解が不可能な場合は、xまたはyに関する2次方程式と見立てることで整数解x,yを導くことが可能です。

2次方程式には、判別式D/4≧0のときに実数解を持つという性質があるのを覚えているでしょうか。

この判別式を使うことで、二元二次不定方程式が持つ整数解を絞り込めるのです。

3文字以上の分数の不定方程式

最後に、3文字以上の分数の不定方程式の解き方を解説します。

以下の問題を見てみましょう。

n進法とは？

続いて、不定方程式と同じように高校数学の整数問題でつまづきやすいn進法について解説します。

n進法というと難しそうに聞こえるかもしれませんが、10進法や2進法については聞いたことがある人も多いのではないでしょうか。

実は、10進法は私たちが普段使っている数字の数え方です。

1から10までの数字を使って数を表す方法で、10を一つのかたまりとして、位が変わるので10進法と呼びます。

同じように、2進法は2を一つのかたまりとしており、数字を表すのに0, 1の2つしか使いません。

1は10進法でも2進法でも1ですが、10進法の2は2進法では位が一つ上がり、10になります。

同様に、10進法の3は2進法では11、4は2進法で100となります。

n進法はnをひとかたまりとする数の表し方と覚えましょう。

10進法での表し方

先ほどは10進法の数字を2進法で表す方法を解説しましたが、今度はn進法で表した数字を10進法にする方法を解説します。

ここでも、2進法を例にしましょう。

2進法で表した数字を10進法に変換するには、2つのステップを踏みます。

まず手順1では、2進法で表した数字に沿って、「2×（各ケタの数）」を書きます。

次に、手順2として、手順1で書いた数字の2に右から指数0, 1,2,3,…をふっていきます。

最後に、これらをすべて足し算しましょう。

n進法では、上記の例で2をnに入れ替えることで同じように10進法に変換できます。

たとえば、3進法の211はまず「3×2 　3×1 　3×1」と書き、「 32 ×2　 31 ×1　 30 ×1」のように指数を書き入れ、合計しましょう。

10進法では22になります。

n進法での表し方

次に、10進法の数字をn進法に変換する方法を解説します。

ポイントは、変換したい10進法の数字をnで割り算し、最後の商とそれぞれの割り算の余りに着目することです。

今回は10進法を2進法に変換する方法で解説しましたが、n進法へ変換する方法も同じです。

10進法の数字を3進法や4進法で表したい場合は、数字を3や4で割り算していきます。

n進法への変換に割り算する理由は、nで割っていくことで一の位・十の位・百の位…に相当するnxの数がわかるためです。

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東進の特別招待講習の料金・費用

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東進の特別招待講習がおすすめな人

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東進の特別招待講習の流れ

1. 公式サイトから申し込み
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3. 学力や目標に合わせた講座を選択
4. 東進の授業を受講
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東進の特別招待講習は、公式サイトから申し込みを行った後、校舎で日程や受講講座を相談する流れです。

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受講後には、今後の勉強方法や学習計画について相談できるため、受験勉強の進め方に不安がある方にもおすすめです。

東進の特別招待講習のお申し込みは、公式サイトから確認してみてください。

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湘南ゼミナール

ここでは、湘南ゼミナールの基本情報や特徴をご紹介していきます。

湘南ゼミナールの基本情報
対象	小学生～高校生
授業形式	集団指導、個別指導
対象地域	神奈川、千葉、埼玉、東京

湘南ゼミナールの夏期講習

湘南ゼミナールの夏期講習
対象学年	小学生 / 中学生 / 高校生
受付状況	夏期講習受付中
確認できること	授業の雰囲気・教え方・学習サポート体制
授業料	料金を確認する⇒
夏期講習の ポイント	夏期講習+1ヶ月無料で受講可能！
展開地域	神奈川県・千葉県・埼玉県・東京都 詳しい校舎情報はこちら⇒
お問い合わせ	夏期講習のお問い合わせはこちら⇒

※対象学年は新小学4年生～新高校3年生（現小3〜現高2）

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湘南ゼミナールの夏期講習の料金・費用

湘南ゼミナールの夏期講習の料金
体験授業料	無料
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湘南ゼミナールでは、新小学生～新高校生を対象にさまざまなコースを展開しています。

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湘南ゼミナールのコース
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	新高1準備講座（中学復習と高校先取り）
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	横浜翠嵐・難関国私立高 受験指導
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小学生 小学生コースの詳細を確認する⇒	基礎学力定着 / 中学進学準備
	公立中高一貫校受検対策
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上記はコースの一部を抜粋したものです。

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湘南ゼミナールの特徴は、授業だけでなく自習などもしっかり行えるよう教室内に自習室が設けられています。

自習室は授業がなくても利用することが可能なため、学校帰りに立ち寄ったり、テスト前にテスト勉強のために使うこともできます。

また、各教室の受付スペースでは講師と生徒の交流場所として、質問対応を受け付けています。

授業を受けてわからないことがあってもすぐに解消することができるのはメリットといえるでしょう。

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その後、ご相談いただいた内容をもとに、お子さまに合った学習プランや料金プランをご提案いたします。

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東京個別指導学院

　

東京個別指導学院の基本情報
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東京個別指導学院では、通常の授業に加えて無料テストで演習をすることができます。

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東京・関西個別指導学院の夏期講習について

東京・関西個別指導学院の夏期講習
対象学年	小学生 / 中学生 / 高校生
ポイント	入会金無料で1科目から受講可能！
相談内容	学習・進路相談にも対応
授業料	授業料シミュレーション
無料体験授業のポイント	先生との相性や教室の雰囲気を事前に確認できる
校舎情報 (東京個別指導学院)	【関東】東京・神奈川・千葉・埼玉 【東海・九州】愛知・福岡 東京個別指導学院の教室情報を確認する⇒
校舎情報 (関西個別指導学院)	【関西エリア】京都・大阪・兵庫 関西個別指導学院の教室情報を確認する⇒
お問い合わせ	無料体験授業のお問い合わせはこちら

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東京・関西個別指導学院の料金・費用

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東京・関西個別指導学院の料金・費用
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東京・関西個別指導学院の対応内容

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	苦手科目の克服・勉強法改善
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まとめ

今回は、不定方程式について概要や解き方を解説しました。

また、n進法についても10進法との変換方法などを紹介しました。

不定方程式は、複雑に見えるものもありますが、入試問題で扱われるのは4パターンに分類することができ、それぞれに解き方があります。

パターンを覚えてしまえば、案外取り組みやすい問題は少なくありません。

問題を繰り返し解くことで頻出パターンに慣れ、実力アップにつながります。

この記事で紹介した解法を習得できたら、受験レベルの問題にも挑戦してみましょう。