今回は、連立方程式の解き方について紹介していきます。
連立方程式は数学の中でも基本でありながら計算の過程が多く、文字を利用したり代入で解を求めたりなど、複雑な問題が多いため、苦手意識をもつ中学生が多い分野です。
しかし、手順を追って一つずつ丁寧に理解していけば解ける問題です。
やるべきことをしっかり覚えて、苦手をなくしていきましょう。
また、おすすめの学習塾についても紹介しているため、数学が苦手で悩んでいる方は必見です。
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中学2年生で学ぶ、一次方程式を2つ以上組み合わせて解いていく方程式です。
連立方程式を利用して問題を解いたり、考えたりすることが求められる単元です。
身近な計算も、実は連立方程式を使って解けるものが多いです。
計算の過程が今までの方程式よりも多くなってくるため、中学生の苦手が生まれやすい単元でもあります。
一次方程式は一つの値が求められるのに対して、連立方程式は2つの値を求めることができます。
また、連立方程式は2つの値を求めることができるため、文章題も2つの構成になっていることが多いです。
2つの解を求めるためには、2つの計算式を解いていく必要があります。
連立方程式の計算は加減法と代入法の2つですが、分数や少数などこれまで学習した数学の内容がまんべんなく出てくる内容のため、もともと数学に苦手意識のある学生はより解きにくい問題に感じてしまいます。
実際の計算は2種類でも、様々な形で出てくる連立方程式では、「たくさん計算方法がある」と錯覚してしまいがちです。
そのため、多くの中学生が苦手意識を持ってしまうのです。
CHECK
問. 次の連立方程式を解きなさい。
連立方程式には、2つの解き方があります。
そのうちの一つが、加減法といわれる計算法です。
例題に当てはめて考えてみると、
①＋②を計算することで、ｙを消すことができます。
+） x+y=7
x-y=3 2x=10
ｙを消すことで、ｘの一次方程式にすることができます。
一次方程式を解いていくと、
２ｘ＝１０
ｘ＝５
となり、ｘは5であることが導き出せました。
①の式にｘ＝5の解を当てはめてみると、
5＋ｙ＝7
ｙ＝7ー5
ｙ＝2
となり、ｙの値は2であることが導き出せました。
よって、方程式の解はｘ＝5、ｙ＝2という答えになります。
連立方程式の解き方の2つめの方法は、代入法です。
先程の例題に当てはめて考えてみると、
①を変形して、
この式を②の式に代入します。
ｘの一次方程式を作ることができました。
これを計算すると、
2ｘ＝１０
ｘ＝５
となります。
ｘの値を①の式に代入すると、
５＋ｙ＝７
ｙ＝２
これで、ｘとｙの値を求めることができました。
連立方程式の文章題を解くには、はじめに求める数を文字に置き換えることが必要です。
どの値を文字で表すのかを決めたら、等しい関係にある数を見つけて連立方程式を作ります。
連立方程式の解を求めることができたら、その解が文章題の内容に適しているかも忘れずに確認しましょう。
問. Ａさんが3個のリンゴと2個のみを買うと、合計で400円であった。
Ｂさんが4個のリンゴと2個のミカンを買うと合計で500円であった。
1個のリンゴとミカンの値段をそれぞれ求めよ。
はじめに、求める数を文字で置き換えます。
この問題で求めるべき値は、リンゴとミカンの1個あたりの値段であるため、リンゴ1個の値段をｘ、ミカン1個の値段をｙとします。
Ａさんは3個のリンゴと2個のみを購入して合計金額が400円になったため、
という式が立てられます。
Ｂさんは4個のリンゴと2個のミカンを購入し、合計金額が500円になったため、
という式が立てられます。
この２つの式を連立させると、
という連立方程式で表すことができます。
これを加減法で解いていくと、
ー） ３ｘ＋２ｙ＝４００
４ｘ＋２ｙ＝５００ ｘ＝１００
ｘ＝100という解が導き出せました。
ｘ＝100を①に代入すると、
3×100＋2ｙ＝400
300＋2ｙ＝400
2ｙ＝400ー300
2ｙ＝100
ｙ＝50
よって、ｙ＝50という解が導き出せました。
ｘ＝100、ｙ＝50であるため、リンゴは100円、ミカンは50円であったことが求められました。
分数が出てくると、式を立てるのも計算するのも難しく感じてしまいますが、手順や方法は普通の連立方程式と全く変わりません。
文章題を正しく式に変換できれば、簡単に解くことができます。
問題 5％の食塩水と8％の食塩水を混ぜて、6％の食塩水を300ｇ作るとき、2種類の食塩水をそれぞれ何ｇずつ混ぜればよいかを求めよ。
まず、求めるべき値は食塩水の量であるため、5％の食塩水をｘｇ、8％の食塩水をｙｇと置きます。
合わせて300ｇの食塩水を作りたいため、1つ目の式は
ｘ＋ｙ＝300…①
となります。
次に、食塩水に含まれる食塩の量についての式を立てていきます。
食塩の濃度の％は、100ｇ中どれだけの食塩が含まれているかを表しているため、分数でその値を示すことができます。
よって、5％の食塩水は、 ５ １００x 、8％の食塩水は、 ８ １００ｙ 、6％の濃度で300ｇの食塩水は、 ３００×６ １００ で１８と表すことができます。
これを式で表すと、
５ １００ｘ ＋ ８ １００ｙ ＝１８…②
2つの式を連立すると、
となります。
まず、分数を含む②の式の両辺に100をかけて、分母を消していきます。
１００ ５ １００ｘ ＋ ８ １００ｙ ＝１８×１００
分母を約分していくと、
5ｘ＋8ｙ＝1800…③
というシンプルな式に変換することができます。
ｘ＋ｙ＝300…①5ｘ＋8ｙ＝1800…③
これを連立して解くと、解はｘ＝200、ｙ＝100となります。
よって、5％の食塩水を200ｇ、8％の食塩水は100ｇ混ぜれば6％の食塩水を300ｇ作れるということになります。
CHECK
連立方程式を解くには、とにかく基礎固めが重要です。
代入法や加減法などの計算方法をしっかり理解しておくことで、基本から応用まで対応できるようになります。
わからない部分が出てきたら、サイトを見て解き方の確認をするなど、こまめに基本を振り返りましょう。
基本ができていれば、分数や割合を使った少し難しい問題も解けるようになります。
連立方程式の解き方のポイントは以下の通りです。
連立方程式をマスターするためにも、たくさん問題演習することが大切です。
量をこなしていけば、おのずと自信がついてくるので、連立方程式が得意だと感じるようになるまで問題演習をくりかえしていきましょう。
はじめから難しい問題に取り組んでしまうと、解けないことから連立方程式への苦手意識が出てしまったり、自信をなくしてしまったりすることが多いです。
そのため、はじめは難易度の低いやさしい問題から解くことを心がけましょう。
確実に解ける問題を繰り返し解いて、徐々に難易度を上げていくことで、難しい問題にも無理なく取り組めるようになります。
文章題は、連立方程式のなかでも苦手意識が生まれやすい問題でもあります。
そのため、自分で式を立てて解を求める必要があるため、たくさんの問題に慣れておくことが重要になってきます。
パターン化されているものも多いため、解き慣れれば難しいと感じることも少なくなるでしょう。
連立方程式を解くときに注意したいのが、解きっぱなしにしないということです。
その時理解できていても、定期的に復習しなければ解き方を忘れてしまいます。
また、問題の答えを間違ってしまったときは特にそのままにせず、どこが分からなくて解答を間違ってしまったのかを見直すことが大切です。
苦手を作らないためにも、わからなかった部分は早めに解決していきましょう。
CHECK
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今回は、連立方程式の解き方とおすすめの学習塾について紹介していきました。
連立方程式は中学生の苦手意識が生まれやすい分野です。
しかし、連立方程式の解き方や文章題はパターン化されているため、確実に基礎を習得していくことで基礎的な問題から応用問題まで解くことができます。
わからない部分を早めに解消して、繰り返し問題演習をしていきましょう。
また、苦手をひとりで解消できないと感じた時には、学習塾などに頼ってみるのもおすすめです。
「連立方程式」に関してよくある質問を集めました。
ふたつ以上の方程式を、加減法と代入法を使って解くことで解を導き出す方程式のことです。単純な計算の問題や、自分で式を立てていく文章題などが出題されます。なかには割合や分数の要素が入った問題もあります。基本を理解しておくことで、だいたいの問題は解くことができます。連立方程式についてこの記事内で紹介しているため、ぜびご覧ください。詳しい解説はこちらです。
連立方程式の文章題を解くには、まず求めるべき値が何であるかを考えて、値を文字に置き換えます。その値を導き出すために、どのような要素が必要なのかを考えて、２つの式を立てていきます。式を立てることができたら、代入法や加減法を用いて計算します。最後に、解が文章題の内容にふさわしいかを確かめます。こちらを参考にしてください。