不定積分のやり方や計算方法とは？練習問題を用いてわかりやすく解説
「積分」という単元をご存じですか？
「微分・積分」のように微分とセットで耳にしたことのある方もいるはずです。
微分とセットで語られることが多いことから分かるとおり、微分と非常に密接に関連した単元になります。
今回はそんな積分の基礎的な内容である「不定積分」について学習します。
例題を用いて計算方法をわかりやすく解説するだけでなく、計算する際の注意点も合わせて紹介します。
また、学習した内容を定着させるために、練習問題も用意しているのでぜひチャレンジしてみてください。
最後までお読みいただき、積分の基礎である「不定積分」をマスターしましょう！
■まとめ
微分の計算方法をおさらいしよう！
今回は積分について学習しますが、積分は微分がわかっていないと理解するのが難しい単元です。
そのため、ここでは微分の復習を簡単に行います。
微分の理解が曖昧な方はもちろん、微分は理解できていると思う方も復習も兼ねてみていきましょう。
微分とは、導関数を求める計算式のことです。
ある関数における導関数を求めると、その点における接線の傾きを求められます。
そのため、微分は接線の傾きを求める際に多く用いられます。
微分の計算方法の基本は、「指数の数が前に出て、指数が1つ減る」です。
例）3x²+3x-1・・・①
①を微分すると、指数の数が前に出て、指数が1つ減るため、
3x²+3x-1=3×2x+3×1=6x+3となります。
どうですか？思い出せましたか？
念の為、もう1問練習問題を解いてみましょう。
問題）「x⁴-5x³+2x²+7x-7」を微分してください。
できましたか？
では、解き方を見ていきましょう。
計算方法は「指数の数が前に出て、指数が1つ減る」ですね。
それに従うと、「4x³-15x²+4x+7」となります。
かなり思い出せてきたのではないでしょうか？
もしまだ不安が残っている方は、もう一度例題や練習問題を使って思い出してみてくださいね。
CHECK
- 微分とは、導関数を求める計算式
- 接線の傾きを求める場合に用いられる
- 微分の計算方法は「指数の数が前に出て、指数が1つ減る」
積分とは？｜不定積分と定積分
では、積分の学習を始めましょう。
積分には大きく分けて2種類あります。
1つが不定積分、もう1つが定積分です。
この2つについて、以下で簡単に解説します。
ただ、不定積分については以下で詳しく、定積分についても次回詳しく解説するので、「ふーん。そういうものがあるんだな」程度に読んでいただければ大丈夫です。
不定積分とは？簡単に解説
不定積分とは、簡単に言うと原始関数を求める演算のことです。
原始関数とは、形は同じですが切片が異なる関数の総称です。
例えば、次の3つの関数を見てください。
①y=x² ②y=x²+3 ③y=x²-5
この3つの関数は、切片がそれぞれ0, 3, -5と異なりますが、y=x²という形は変わりません。
この場合、「y=x²」が原始関数となるのです。
この原始関数を求める演算のことを不定積分といいます。
イマイチ理解ができていない方もあまり心配しないでください。
次のパートで詳しく解説しているので、そこできちんと学習してください。
定積分とは？簡単に解説
-
定積分とは、関数の範囲を限定して積分し、その値を求める演算のことです。
範囲を区切るため、不定積分とは異なり定数を求めることになります。
面積を求める際によく使用されるので、覚えておくと良いでしょう。
こちらの定積分も、今理解している必要はありません。
次回、詳しく解説するので、そこできちんと学習してください。
CHECK
- 積分には不定積分と定積分がある
- 不定積分は原始関数を求める演算
- 定積分は関数の範囲を限定して積分し、その値を求める演算
不定積分の計算方法と注意点を解説！
今回は積分の中でも、特に不定積分について学習していきます。
計算方法や注意点について、例題を使いながらわかりやすく解説します。
ぜひ一緒に理解していきましょう。
不定積分の計算方法とは？｜例題を用いて解説
では、不定積分について、実際に例題を使いながら理解していきましょう。
「x³+3x²-x・・・①」という式を微分すると「3x²+6x-1・・・②」になりますよね。
微分は①→②への変換でしたが、不定積分はその逆なので、②→①への変換です。
しかし、ここで1つ問題が発生します。
「x³+3x²-x」を微分すると確かに「3x²+6x-1」になるのですが、「x³+3x²-x+1」を微分しても「3x²+6x-1」になります。
それは、数字（今回でいえば-1）を微分すると、値は「0」になるので、微分の計算結果には影響を及ぼさないからです。
-1があっても10があっても微分したら同じ式になります。
数字の選択肢は無数に存在してしまうので、全てを答えに書くのは不可能です。
そこで、以下でその対処法について解説します。
不定積分には「C」をつけよう
不定積分を計算した際は、末尾に必ず「C」をつけてください。
例えば、先ほどの例題であれば「x³+3x²-x+C」と記載します。
先ほど、数字の選択肢は無数に存在することをお伝えしました。
「C」は積分定数といい、どんな数字でも良いことを示します。
-
しかし、問題には「C」が何であるか記載されていないため、自分で勝手に作り出した記号だと見なされてしまいます。
従って、答えの後ろには「（Cは積分定数である）」という文言を付け足しておくようにしましょう。
そのため、例題の正確な答えは「x³+3x²-x+C （Cは積分定数である）」となります。
これがないと、意味のわからない記号である「C」と判断されてしまい、減点される、もしくは誤答だと見なされてしまう可能性があるので注意しましょう。
これで不定積分の計算方法は以上になります。
わからない箇所があれば、もう一度戻って確認してみてください。
CHECK
- 不定積分は微分の逆の操作
- 不定積分には積分定数をつける必要がある
- 「Cは積分定数である」という文言をつけなければならない
不定積分の練習問題
ここまで不定積分の計算方法について学習してきましたが、微分を学習したばかりの方は少し混乱してしまうかもしれません。
そのため、不定積分の理解度を高めるために練習問題に挑戦してみましょう。
間違えても構わないので、今までに学習したことを思い出しつつ解いてみてください。
2題あるので、1題ずつ挑戦しましょう。
練習問題①
1つ目の練習問題は以下の通りです。
「∮(2x-3)(x+2)dx」の不定積分を求めてください。
ここで、「∮」という記号と「dx」というアルファベットが出てきました。
-
「∮」はインテグラルと読み、後ろの「dx」と合わせることで積分をすることを示しています。
今回は(2x-3)(x+2)が∮とdxに挟まれているので、(2x-3)(x+2)を積分してくださいという意味になります。
今後もたくさん出てくるので、覚えておきましょう。
それでは挑戦してみてください。
できましたか？
それでは解き方を1つずつ見ていきましょう。
まず、(2x-3)(x+2)を展開します。
2x²+x-6となりますね。
つまり、微分すると「2x²+x-6」になるような関数を求める問題、ということがわかります。
最初のポイントは、xの次数を1つずつ増やすことです。
微分をするときは、1つずつ次数を減らしますよね。
ゆえに、微分の逆である不定積分では次数を1つずつ増やしていきます。
すなわち、「2x²+x-6」は「2x³+x²-6x」となります。
しかし、ここで不定積分は終わらせてはいけません。
続いてのポイントは、増えた次数でそれぞれの項を割ります。
すなわち、「2x³÷3+x²÷2-6x÷1」となります。
計算すると「2/3x³+1/2x²-6x」となるのです。
ここで、今求めた式を一度微分してみてください。
「2x²+x-6」に戻りますか？
きちんと戻れば、計算が正しいことが証明されます。
しかし、不定積分はここで終わってはいけません。
最後に忘れてはならない「積分定数C」をつけましょう。
よって、「2/3x³+1/2x²-6x+C （Cは積分定数）」が答えになります。
練習問題②
練習問題①はできましたか？
少し難しく感じられた方もいるかもしれませんが、何事も練習が大切です。
では、続いてもう1問解いてみましょう。
「∮(2t+3)(t-1)dt」の不定積分を求めてください。
先ほど「x」だった部分が「t」に変わっていますが、やること変わりません。
同じように不定積分を求めてみてください。
できましたか？
では、解き方を解説しますね。
まずは、「(2t+3)(t-1)」を展開すると「2t²+t-3」となります。
すなわち「∮(2t²+t-3)dt」の不定積分を求める計算となります。
続いて、次数を1つずつ増やし、増やした次数でそれぞれの項を割ってください。
すると、「2/3t²+1/2t²-3t」となりますね。
そして、最後に積分定数「C」をつけて、「2/3t²+1/2t²-3t+C （Cは積分定数）」となれば正解です。
CHECK
- 1つ目のポイントはxの次数を増やす
- 2つ目のポイントは増やした次数でそれぞれの項を割る
- 積分定数「C」をつけるのを忘れない
不定積分のおすすめの参考書・勉強法
不定積分のおすすめの勉強法は、何度も繰り返し問題演習を行うことです。
積分の分野で初めに学習するのがこの不定積分になります。
ここでつまずいてしまうと、後々の勉強に大きな支障をきたす恐れがあります。
そのため、基礎的な問題を何度も反復して学習することが非常に大切なのです。
一度解いた問題を解き方が身につくまで何度も繰り返し練習してみてください。
そうすることで、違う問題に挑戦するときもスラスラと解答できるようになるでしょう。
問題集の勉強範囲
積分のおすすめの勉強法は、以下の問題集の範囲を繰り返し解くことです。
- 青チャート【第7章 積分法】39 不定積分 40 定積分 41 面積
- サクシード【第6章 微分法と積分法】39 微分係数,導関数 40 接線 41 関数の値の変化⑴⑵ 45 不定積 46 定積分
- 4STEP【第6章 微分法と積分法】第3節 積分法 7 不定積分 8 定積分 9 面積
- Legend【第5章 微分と積分】13 微分係数と導関数 14 導関数の応用 15 積分
これらに該当する問題、または学校や塾で使う問題集を解けるようになるまで繰り返し学習することが大切です。
不定積分は、積分を学習する上での基礎になるため確実に理解することが大切です。
わからない内容があれば、本記事を見返して少しずつ理解していきましょう。
CHECK
- 繰り返し学習することが大切
- 不定積分は積分を学習する上での基礎
- 不定積分でつまずくと積分の学習が大変になる
不定積分を勉強するなら「オンライン数学克服塾MeTa」
不定積分の勉強をするなら「オンライン数学克服塾MeTa」がおすすめです。
【基本情報】
| 対象 | 高校生 |
|---|---|
| 授業形式 | 1対1のオンライン個別指導 |
| 校舎 | オンライン |
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なぜ「オンライン数学克服塾MeTa」がおすすめなのか、その理由を2つ紹介します。
1対1で徹底的な個別指導
オンライン数学克服塾MeTaでは、オンラインによる1対1の個別指導が行われています。
従来の個別指導塾では、講師1人に対して生徒が2〜3名であることが多いため、手厚いサポートが受けられます。
原則、講師は固定され、授業中の対話を通じて、生徒がなぜ数学が苦手なのか、どのような考え方の癖があるのかなどを把握していきます。
このように、担当生徒と向き合い続けることにより、苦手な数学を克服できるようになるのです。
厳しい採用基準を突破した講師陣
また、オンライン数学克服塾MeTaでは、講師の採用基準を厳しく設定しています。
ただ数学が得意なだけではなく、苦手な部分に共感し、生徒と寄り添える講師のみを選抜しています。
6倍もの厳しい倍率を突破した、優秀な講師があなたの学習をマンツーマンで指導してくれます。
CHECK
- 1対1のオンライン個別指導
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- 6倍の倍率を勝ち抜いた優秀な講師が指導
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不定積分の学習には家庭教師のトライの利用がおすすめです。
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| 対象 | 小学生・中学生・高校生 |
|---|---|
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| 特徴 | オーダーメイドのカリキュラム |
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まとめ
今回は、積分の中でも基本となる「不定積分」について学習しました。
不定積分の計算方法は、微分の逆となるため、混同しないように注意してください。
また、「C」をつけ忘れるミスが多く見受けられるため、忘れないようにしましょう。
何度も繰り返し学習することで身につけてください。
【初心者でもわかる】この記事のまとめ
「積分」に関してよくある質問を集めました。
不定積分の計算方法は？
不定積分の計算方法は、微分の逆です。手順としては、xの次数を増やし、増やした次数でそれぞれの項を割ることで求められます。また、最後に積分定数「C」および「（Cは積分定数である）」をつけるのを忘れないように注意することが重要です。不定積分の計算方法についてはこちらを参考にしてください。
不定積分に出てくる「C」とは？
Cは積分定数と呼ばれます。ただ積分をするだけだと、どの数字を使っても良いことになってしまい、無数の答えが出てきてしまいます。全ての答えを記すことは不可能なので、それをまとめて「C」とすることで対処しています。Cについてはこちらを参考にしてください。
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