不定積分のやり方や計算方法とは？練習問題を用いてわかりやすく解説
「積分」という単元をご存じですか？
「微分・積分」のように微分とセットで耳にしたことのある方もいるはずです。
微分とセットで語られることが多いことから分かるとおり、微分と非常に密接に関連した単元になります。
今回はそんな積分の基礎的な内容である「不定積分」について学習します。
例題を用いて計算方法をわかりやすく解説するだけでなく、計算する際の注意点も合わせて紹介します。
また、学習した内容を定着させるために、練習問題も用意しているのでぜひチャレンジしてみてください。
最後までお読みいただき、積分の基礎である「不定積分」をマスターしましょう！
■まとめ
微分の計算方法をおさらいしよう！
今回は積分について学習しますが、積分は微分がわかっていないと理解するのが難しい単元です。
そのため、ここでは微分の復習を簡単に行います。
微分の理解が曖昧な方はもちろん、微分は理解できていると思う方も復習も兼ねてみていきましょう。
微分とは、導関数を求める計算式のことです。
ある関数における導関数を求めると、その点における接線の傾きを求められます。
そのため、微分は接線の傾きを求める際に多く用いられます。
微分の計算方法の基本は、「指数の数が前に出て、指数が1つ減る」です。
例）3x²+3x-1・・・①
①を微分すると、指数の数が前に出て、指数が1つ減るため、
3x²+3x-1=3×2x+3×1=6x+3となります。
どうですか？思い出せましたか？
念の為、もう1問練習問題を解いてみましょう。
問題）「x⁴-5x³+2x²+7x-7」を微分してください。
できましたか？
では、解き方を見ていきましょう。
計算方法は「指数の数が前に出て、指数が1つ減る」ですね。
それに従うと、「4x³-15x²+4x+7」となります。
かなり思い出せてきたのではないでしょうか？
もしまだ不安が残っている方は、もう一度例題や練習問題を使って思い出してみてくださいね。
CHECK
- 微分とは、導関数を求める計算式
- 接線の傾きを求める場合に用いられる
- 微分の計算方法は「指数の数が前に出て、指数が1つ減る」
積分とは？｜不定積分と定積分
では、積分の学習を始めましょう。
積分には大きく分けて2種類あります。
1つが不定積分、もう1つが定積分です。
この2つについて、以下で簡単に解説します。
ただ、不定積分については以下で詳しく、定積分についても次回詳しく解説するので、「ふーん。そういうものがあるんだな」程度に読んでいただければ大丈夫です。
不定積分とは？簡単に解説
不定積分とは、簡単に言うと原始関数を求める演算のことです。
原始関数とは、形は同じですが切片が異なる関数の総称です。
例えば、次の3つの関数を見てください。
①y=x² ②y=x²+3 ③y=x²-5
この3つの関数は、切片がそれぞれ0, 3, -5と異なりますが、y=x²という形は変わりません。
この場合、「y=x²」が原始関数となるのです。
この原始関数を求める演算のことを不定積分といいます。
イマイチ理解ができていない方もあまり心配しないでください。
次のパートで詳しく解説しているので、そこできちんと学習してください。
定積分とは？簡単に解説
-
定積分とは、関数の範囲を限定して積分し、その値を求める演算のことです。
範囲を区切るため、不定積分とは異なり定数を求めることになります。
面積を求める際によく使用されるので、覚えておくと良いでしょう。
こちらの定積分も、今理解している必要はありません。
次回、詳しく解説するので、そこできちんと学習してください。
CHECK
- 積分には不定積分と定積分がある
- 不定積分は原始関数を求める演算
- 定積分は関数の範囲を限定して積分し、その値を求める演算
不定積分の計算方法と注意点を解説！
今回は積分の中でも、特に不定積分について学習していきます。
計算方法や注意点について、例題を使いながらわかりやすく解説します。
ぜひ一緒に理解していきましょう。
不定積分の計算方法とは？｜例題を用いて解説
では、不定積分について、実際に例題を使いながら理解していきましょう。
「x³+3x²-x・・・①」という式を微分すると「3x²+6x-1・・・②」になりますよね。
微分は①→②への変換でしたが、不定積分はその逆なので、②→①への変換です。
しかし、ここで1つ問題が発生します。
「x³+3x²-x」を微分すると確かに「3x²+6x-1」になるのですが、「x³+3x²-x+1」を微分しても「3x²+6x-1」になります。
それは、数字（今回でいえば-1）を微分すると、値は「0」になるので、微分の計算結果には影響を及ぼさないからです。
-1があっても10があっても微分したら同じ式になります。
数字の選択肢は無数に存在してしまうので、全てを答えに書くのは不可能です。
そこで、以下でその対処法について解説します。
不定積分には「C」をつけよう
不定積分を計算した際は、末尾に必ず「C」をつけてください。
例えば、先ほどの例題であれば「x³+3x²-x+C」と記載します。
先ほど、数字の選択肢は無数に存在することをお伝えしました。
「C」は積分定数といい、どんな数字でも良いことを示します。
-
しかし、問題には「C」が何であるか記載されていないため、自分で勝手に作り出した記号だと見なされてしまいます。
従って、答えの後ろには「（Cは積分定数である）」という文言を付け足しておくようにしましょう。
そのため、例題の正確な答えは「x³+3x²-x+C （Cは積分定数である）」となります。
これがないと、意味のわからない記号である「C」と判断されてしまい、減点される、もしくは誤答だと見なされてしまう可能性があるので注意しましょう。
これで不定積分の計算方法は以上になります。
わからない箇所があれば、もう一度戻って確認してみてください。
CHECK
- 不定積分は微分の逆の操作
- 不定積分には積分定数をつける必要がある
- 「Cは積分定数である」という文言をつけなければならない
不定積分の練習問題
ここまで不定積分の計算方法について学習してきましたが、微分を学習したばかりの方は少し混乱してしまうかもしれません。
そのため、不定積分の理解度を高めるために練習問題に挑戦してみましょう。
間違えても構わないので、今までに学習したことを思い出しつつ解いてみてください。
2題あるので、1題ずつ挑戦しましょう。
練習問題①
1つ目の練習問題は以下の通りです。
「∮(2x-3)(x+2)dx」の不定積分を求めてください。
ここで、「∮」という記号と「dx」というアルファベットが出てきました。
-
「∮」はインテグラルと読み、後ろの「dx」と合わせることで積分をすることを示しています。
今回は(2x-3)(x+2)が∮とdxに挟まれているので、(2x-3)(x+2)を積分してくださいという意味になります。
今後もたくさん出てくるので、覚えておきましょう。
それでは挑戦してみてください。
できましたか？
それでは解き方を1つずつ見ていきましょう。
まず、(2x-3)(x+2)を展開します。
2x²+x-6となりますね。
つまり、微分すると「2x²+x-6」になるような関数を求める問題、ということがわかります。
最初のポイントは、xの次数を1つずつ増やすことです。
微分をするときは、1つずつ次数を減らしますよね。
ゆえに、微分の逆である不定積分では次数を1つずつ増やしていきます。
すなわち、「2x²+x-6」は「2x³+x²-6x」となります。
しかし、ここで不定積分は終わらせてはいけません。
続いてのポイントは、増えた次数でそれぞれの項を割ります。
すなわち、「2x³÷3+x²÷2-6x÷1」となります。
計算すると「2/3x³+1/2x²-6x」となるのです。
ここで、今求めた式を一度微分してみてください。
「2x²+x-6」に戻りますか？
きちんと戻れば、計算が正しいことが証明されます。
しかし、不定積分はここで終わってはいけません。
最後に忘れてはならない「積分定数C」をつけましょう。
よって、「2/3x³+1/2x²-6x+C （Cは積分定数）」が答えになります。
練習問題②
練習問題①はできましたか？
少し難しく感じられた方もいるかもしれませんが、何事も練習が大切です。
では、続いてもう1問解いてみましょう。
「∮(2t+3)(t-1)dt」の不定積分を求めてください。
先ほど「x」だった部分が「t」に変わっていますが、やること変わりません。
同じように不定積分を求めてみてください。
できましたか？
では、解き方を解説しますね。
まずは、「(2t+3)(t-1)」を展開すると「2t²+t-3」となります。
すなわち「∮(2t²+t-3)dt」の不定積分を求める計算となります。
続いて、次数を1つずつ増やし、増やした次数でそれぞれの項を割ってください。
すると、「2/3t²+1/2t²-3t」となりますね。
そして、最後に積分定数「C」をつけて、「2/3t²+1/2t²-3t+C （Cは積分定数）」となれば正解です。
CHECK
- 1つ目のポイントはxの次数を増やす
- 2つ目のポイントは増やした次数でそれぞれの項を割る
- 積分定数「C」をつけるのを忘れない
不定積分のおすすめの参考書・勉強法
不定積分のおすすめの勉強法は、何度も繰り返し問題演習を行うことです。
積分の分野で初めに学習するのがこの不定積分になります。
ここでつまずいてしまうと、後々の勉強に大きな支障をきたす恐れがあります。
そのため、基礎的な問題を何度も反復して学習することが非常に大切なのです。
一度解いた問題を解き方が身につくまで何度も繰り返し練習してみてください。
そうすることで、違う問題に挑戦するときもスラスラと解答できるようになるでしょう。
問題集の勉強範囲
積分のおすすめの勉強法は、以下の問題集の範囲を繰り返し解くことです。
- 青チャート【第7章 積分法】39 不定積分 40 定積分 41 面積
- サクシード【第6章 微分法と積分法】39 微分係数,導関数 40 接線 41 関数の値の変化⑴⑵ 45 不定積 46 定積分
- 4STEP【第6章 微分法と積分法】第3節 積分法 7 不定積分 8 定積分 9 面積
- Legend【第5章 微分と積分】13 微分係数と導関数 14 導関数の応用 15 積分
これらに該当する問題、または学校や塾で使う問題集を解けるようになるまで繰り返し学習することが大切です。
不定積分は、積分を学習する上での基礎になるため確実に理解することが大切です。
わからない内容があれば、本記事を見返して少しずつ理解していきましょう。
CHECK
- 繰り返し学習することが大切
- 不定積分は積分を学習する上での基礎
- 不定積分でつまずくと積分の学習が大変になる
不定積分を勉強するなら「オンライン数学克服塾MeTa」
不定積分の勉強をするなら「オンライン数学克服塾MeTa」がおすすめです。
【基本情報】
| 対象 | 高校生 |
|---|---|
| 授業形式 | 1対1のオンライン個別指導 |
| 校舎 | オンライン |
| 特徴 | 数学克服に特化したオンライン専門塾 |
なぜ「オンライン数学克服塾MeTa」がおすすめなのか、その理由を2つ紹介します。
1対1で徹底的な個別指導
オンライン数学克服塾MeTaでは、オンラインによる1対1の個別指導が行われています。
従来の個別指導塾では、講師1人に対して生徒が2〜3名であることが多いため、手厚いサポートが受けられます。
原則、講師は固定され、授業中の対話を通じて、生徒がなぜ数学が苦手なのか、どのような考え方の癖があるのかなどを把握していきます。
このように、担当生徒と向き合い続けることにより、苦手な数学を克服できるようになるのです。
厳しい採用基準を突破した講師陣
また、オンライン数学克服塾MeTaでは、講師の採用基準を厳しく設定しています。
ただ数学が得意なだけではなく、苦手な部分に共感し、生徒と寄り添える講師のみを選抜しています。
6倍もの厳しい倍率を突破した、優秀な講師があなたの学習をマンツーマンで指導してくれます。
CHECK
- 1対1のオンライン個別指導
- 対話を通じて苦手の原因を把握
- 6倍の倍率を勝ち抜いた優秀な講師が指導
不定積分の学習には家庭教師のトライ
不定積分の学習には家庭教師のトライの利用がおすすめです。
生徒の目標やニーズに合わせた学習指導を行っているため、不定積分に特化した授業の受講が可能です。
| 対象 | 小学生・中学生・高校生 |
|---|---|
| 授業形式 | 完全個別指導 |
| 校舎 | 全国47都道府県 |
| 特徴 | オーダーメイドのカリキュラム |
オーダーメイドのカリキュラム
トライでは生徒一人ひとりに合わせたオーダーメイドのカリキュラムで指導を行っています。
生徒の目標や特徴に合わせて指導内容を変えているため、あらゆるニーズに柔軟に対応できます。
そのため、不定積分の学習を集中的に行いたい生徒には、不定積分の力を伸ばせる授業を展開してくれるでしょう。
学習効率を上げるトライ式学習法
トライの指導は独自のメソッドであるトライ式学習法がベースとなっています。
120万人の指導実績から培われた学習法で、効率的な学力アップを可能とする方法です。
そして、特に着目したいのが授業時の学習サイクルです。
トライでは授業の前半で指導を行い、後半で講師と振り返りを行ってから個別演習を行います。
授業の中で習得→習熟→演習のサイクルを回すことで、学習した内容の早期定着を図っているのです。
厳選された講師陣
トライでは、厳しい採用試験を乗り越えたハイレベルな人材が教鞭をとっています。
そのため、定期テスト対策に強い講師や数学に強い講師など、さまざまな強みを持った講師が在籍しています。
もし、不定積分に特化した指導を受けたいという要望を伝えれば、教育プランナーが不定積分を得意としている講師を紹介してくれるでしょう。
家庭教師のトライの料金・授業料
家庭教師のトライの料金は、以下の通りです。
| 家庭教師のトライの授業料 | |
|---|---|
| 入会金 | 11,000円（税込） |
| 授業料 | お見積りシミュレーション |
家庭教師のトライは、1人1人学習プランを作成するため料金が異なってきます。
料金については、公式サイトから無料相談をすることで料金の確認をすることが可能です。
料金プランの作成の流れは、以下の通りです。
- お子さまのお悩みや要望のヒアリング
- ご自宅で学習プランナーによる無料学習相談
- 目的達成に向けた料金プランを作成
上記のような流れになっているので、気になる方はぜひ一度無料相談を受けてみてください。
家庭教師のトライの公式サイトから簡単にお申込みができます。
家庭教師のトライのコース
家庭教師のトライのコースをご紹介します。
家庭教師のトライの高校生向けのコースは、以下の通りです。
- 大学受験対策
- 定期テスト・内申点対策
- 総合型・学校推薦型選抜対策
- 英語資格検定対策
- 内部進学対策
家庭教師のトライは、様々なコースプランをご用意しています。
他にも部活と勉強が両立できるようにサポートをしてくれたり、難関大学受験対策や苦手な科目を集中的に対策するプランなど、一人ひとりに合わせた学習プランで結果を出します。
いろんな目的やニーズに合わせたコースがあるので、自分に合ったコースを選びましょう。
自分に合わせた学習プランを提案できるので、気になる方はぜひ公式サイトからご相談してみてはいかがでしょうか
また、家庭教師のトライの2024年入試の合格実績は、以下の通りです。
| 2024年度入試 合格実績 | |||
|---|---|---|---|
| 東京大 | 京都大 | 北海道大 | 東北大 |
| 名古屋大 | 大阪大 | 九州大 | 一橋大 |
| 東京工大 | 神戸大 | 金沢大 | 広島大 |
| 早稲田大 | 慶応大 | 上智大 | 東京理科大 |
| 国際基督教大 | 明治大 | 青山学院大 | 立教大 |
| 中央大 | 法政大 | 学習院大 | 関西大 |
| 関西学院大 | 同志社大 | 立命館大 | 他多数 |
※家庭教師のトライ・個別教室のトライ・トライプラス・トライ式高等学院・トライのオンライン個別指導塾の利用者のうち、2024年度大学入試合格者の合計。
国公立から私立の大学まで多くの合格者がいます。
2024年度の合格者数は、16,851名ととても多くの人数が合格しています。
中学生向けのコースプランは、以下の通りです。
- 公立・私立高校受験対策
- 定期テスト・内申点対策
- 中高一貫校サポート
- 苦手科目克服
家庭教師のトライでは、様々なプランが用意されています。
お子さまの学習進歩に合わせて、徹底的なサポートを行います。
お子さまに合わせた学習プランを提案できるので、気になる方はぜひ公式サイトからご相談してみてはいかがでしょうか
2024年度の入試の合格実績は、以下の通りです。
| 2024年度入試 合格実績 | |||
|---|---|---|---|
| 灘高 | 開成高 | 渋谷幕張高 | 洛南高 |
| 愛光高 | 土浦一高 | 宇都宮高 | 宇都宮女子高 |
| 天王寺高 | 三国丘高 | 西京高 | 神戸高 |
| 慶応義塾高 | 慶應志木高 | 早大学院高 | 早稲田実業高 |
※家庭教師のトライ・個別教室のトライ・トライプラス・トライ式高等学院・トライのオンライン個別指導塾の利用者のうち、2024年度大学入試合格者の合計。
2024年度の高校入試の合格実績は、上記の通りです。
2024年の合格者数は、19,752名ととても多くの合格実績があります。
小学生向けのコースは、以下の通りです。
- 私立中学受験対策
- 学習の基礎固め・学習習慣の定着
- 算数・英語対策
- 中学学習の先取
家庭教師のトライでは、小学生の時から中学受験に向けた対策をすることが可能です。
また、他にも学習の基礎を固めたり算数や英語の対策、中学学習の先取りまで可能になります。
お子さまに合わせた学習プランを提案できるので、気になる方はぜひ公式サイトからご相談してみてはいかがでしょうか
2024年度の入試合格実績は、以下の通りです。
| 2024年度入試 合格実績 | |||
|---|---|---|---|
| 開成中 | 桜蔭中 | 広尾学園中 | 慶應義塾中等部 |
| 早稲田実業中 | 大阪星光学院中 | 神戸女学院中 | 西大和学園中 |
| 洛南高校附属中 | 同志社中 | 東海中 | 北嶺中 |
※家庭教師のトライ・個別教室のトライ・トライプラス・トライ式高等学院・トライのオンライン個別指導塾の利用者のうち、2024年度大学入試合格者の合計。
2024年の合格者数は、2,444名ととても多くの合格実績があります。
上記以外にも多くの中学校の合格実績があります。
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家庭教師のトライの体験レッスン
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- 公式サイトよりお申込み
- 教育プランナーと面談
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東京個別指導学院
| 東京個別指導学院の基本情報 | |
|---|---|
| 対象学年 | 小学生/中学生/高校生 |
| 展開地域 | 東京都、神奈川県、埼玉県、千葉県、愛知県、京都府、大阪府、兵庫県、福岡県 |
| 授業形態 | 個別指導 |
| 特徴 | 定期テストから受験合格まで一人ひとりに合わせた指導 |
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【2025年】東京・関西個別指導学院の冬期講習について
| 【2025年】東京・関西個別指導学院の冬期講習 | |
|---|---|
| 対象学年 | 小学生 / 中学生 / 高校生 |
| 申込期間 | ～2026年1月31日まで |
| 講習期間 | 2025年12月11日～2026年1月31日まで |
| 授業料 | 授業料シミュレーション |
| 冬期講習のポイント | 入会金不要＆1科目からでも受講可能 |
| 校舎情報 (東京個別指導学院) |
【関東】東京・神奈川・千葉・埼玉 【東海・九州】愛知・福岡 東京個別指導学院の教室情報を確認する⇒ |
| 校舎情報 (関西個別指導学院) |
【関西エリア】京都・大阪・兵庫 関西個別指導学院の教室情報を確認する⇒ |
| お問い合わせ | 冬期講習のお問い合わせはこちら |
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小学生～高校生まで受講可能ですので、気になる方は1科目からでも受講をしてみてはいかがでしょうか。
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東京・関西個別指導学院の冬期講習の料金・費用
東京・関西個別指導学院の冬期講習の料金・費用は、下記の通りです。
| 東京・関西個別指導学院の冬期講習の料金・費用 | |
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| 授業料 | 授業料シミュレーションで確認する |
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高校受験・志望校対策 |
| 定期テスト・内申点対策 | |
| 苦手科目の克服・勉強法改善 | |
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| 小学生 詳しいコース内容はこちら |
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まとめ
今回は、積分の中でも基本となる「不定積分」について学習しました。
不定積分の計算方法は、微分の逆となるため、混同しないように注意してください。
また、「C」をつけ忘れるミスが多く見受けられるため、忘れないようにしましょう。
何度も繰り返し学習することで身につけてください。
【初心者でもわかる】この記事のまとめ
「積分」に関してよくある質問を集めました。
不定積分の計算方法は？
不定積分の計算方法は、微分の逆です。手順としては、xの次数を増やし、増やした次数でそれぞれの項を割ることで求められます。また、最後に積分定数「C」および「（Cは積分定数である）」をつけるのを忘れないように注意することが重要です。不定積分の計算方法についてはこちらを参考にしてください。
不定積分に出てくる「C」とは？
Cは積分定数と呼ばれます。ただ積分をするだけだと、どの数字を使っても良いことになってしまい、無数の答えが出てきてしまいます。全ての答えを記すことは不可能なので、それをまとめて「C」とすることで対処しています。Cについてはこちらを参考にしてください。
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