数学Ⅱを勉強しているものの、内容の難しさに困惑している人もいるかもしれません。

しかし、どの分野も基本的な理屈を押さえることが先決です。

基礎がわかっていなければ、応用問題にも上手く対処できません。

ここでは、高校数学の後半で習う「微分の表し方」について解説します。

どのような現象を解き明かす分野なのかを理解しながら勉強しましょう。

微分の公式を作るうえでの計算方法や、学習する際におすすめな参考書および塾も紹介します。

 

極限とは

まずは、微分の解説へ進む前に「極限」の内容を取り上げます。

こちらは、数Ⅱだと表現がどうしても曖昧になってしまい、正確に理解することが難しいかもしれません。

ただし、微分の構造を知る際には重要なテーマです。

極限の詳細については後述でまとめますが、一般的には「xが限りなく何かの値に近づくときに関数が何の値に近づくか」と定義されます。

この一文だけだと意味がいまいち分からないため、実際に練習問題も交えながら説明しましょう。

極限の定義

極限の定義についてまとめます。

前述で触れたとおり、定義を一言で要約すると「xが限りなく何かの値に近づくときに関数が何の値に近づくか」です。

補足として、日常生活に活用される「具体例」を持ち出して極限を解説しましょう。

例えば、なるべく高い建物を建てる計画がありました。

しかし、日光を遮ると民家の日当たりが悪くなるため、10ｍ以上の設計は禁止するルールが課されたと仮定します。

この条件では10ｍの建物を建てたら違反してしまいますが、そこまで達しなかったら特に問題ありません。

9ｍで完成させるだけではなく、「9.99m」や「9.9999m」でも建設が可能です。

小数点以下の値をどんどん増やしていけば、ルールに違反する高さの10mに限りなく近づきます。

このような考え方が「極限」です。

あくまで「近づく」様子を示します。

非常に複雑な数値を求めなければならないように感じるものの、数Ⅱの範囲に限っては計算方法も大して難しくありません。

指数関数のグラフを使った計算

では、実際に数字を用いながら「極限」の計算を解説しましょう。

「Y=ax」で表せる関数は「指数関数」と呼ばれます。

ここで説明する内容は指数関数のグラフを用いた計算です。

すなわち、この指数関数の極限の値は「8」です。

上述しましたが、「x→1」は「1に限りなく近づく」値であり、イコールではないことに注意してください。

次に応用として「lim（x→2）x2-3x+2/x2+x-6」を求めましょう。

はじめは先程の問題と同じように「x→2」から式に2を代入します。

ただし、分子と分母をそれぞれ計算した場合、算出される値は「0」です。

このような場合はどう求めるべきなのでしょうか。

微分とは

極限の考え方を使い、関数の曲線における接線の傾きを求める計算方法が「微分」です。

問題文では「y=x3-3x2」などと記載されるため、はじめて見ると驚いてしまうかもしれません。

しかし、数Ⅱで習う微分はコツを押さえれば簡単に求めることができます。

テストで点数を稼ぐうえでは、公式を暗記するだけで問題ありません。

とはいえ、ここでは理解を深めるためにあえて理屈から学習します。

微分と導関数の定義

はじめに「微分」と「導関数」の定義について説明します。

微分は、元々の関数から「導関数」を求める計算式です。

導関数とは、「微分係数（接線の傾き）」を作る式のことを指します。

この計算方法は、接線の傾き（瞬間的な変化の割合）を算出する際に役立ちます。

例えば、波打つようなグラフから細かい上下動を分析する場合、接線の存在が非常に重要です。

直線を引くことにより、どの程度の割合で変化しているかが読み取りやすくなります。

実社会においても天気予報や楽器の製造、スマートフォンのバッテリー残量の表示などとあらゆる場面で使われている考え方です。

微分の公式の覚え方

微分の定義を一通り押さえたら、次は微分の公式について解説します。

要するに、「導関数」を求めるための表し方です。

下記に微分の計算に使われる公式を記載します。

「f’(x)=lim(h→0) f(x+h)-f(x)/h」

公式の覚え方（基本問題）

ここまで、微分の最も基本的な計算方法について紹介しました。

しかし、あまりにもプロセスが複雑です。

全ての問題に「f’(x)=lim(h→0) f(x+h)-f(x)/h」へ代入するのは面倒だと思う人もいるでしょう。

公式だけだとわかりづらいため、プロセスについても整理します。

例えば、「x4」であれば「4x3」と表せます。

では、この考え方を使って「y=x3+2x-1」の計算をしましょう。

公式の覚え方（応用問題）

次に「y=(2x+3)(x2-2x+1)」はどう求めるか解説します。

もちろん、一度展開して計算する方法もありますが、面倒に感じるのであればこのままの状態で微分することもできます。

接線の傾きの表し方

微分をして求める「導関数」は、接線の傾きを導き出す関数でした。

接線の式を作るときのポイント

接線の傾きを導き出せれば、「接線の式」も簡単に作れます。

接線の式の表し方で重要なポイントは以下の4点です。

では、上記のポイントを踏まえて以下の問題を解いてみましょう。

「曲線y=x3-3x2について、次の直線の方程式を求めよ。

曲線上の(1,-2)における接線と法線」

元々の関数の導関数を作る

ここまでの計算はトレーニングを何度も繰り返し、なるべくスムーズにできるよう心がけましょう。

接線の傾きを計算する

微分して導関数を作り出せたら、x座標の数値を代入して接線の傾きを計算します。

接線の傾きと平行な原点を通る直線を作る

ここまで求めたら、接線の傾きと平行な原点を通る直線を求めましょう。

とはいえ、計算自体は非常に簡単です。

原点から接点まで平行移動

最後に、原点から接点まで平行移動させます。

したがって、「y=-3x+1」が例題で求めたかった接線の式に該当します。

微分のおすすめ参考書・勉強法

微分を解くうえでおすすめな勉強法は、ひたすら問題を解くことです。

数Ⅱの範囲であれば複雑な応用問題にも対処しやすく、解き方をマスターするだけでもある程度はカバーできます。

加えて、余裕がある人はこの記事で紹介した「定義の理屈」について押さえることも重要です。

そもそも、微分が何かを分かっていないと理解も追いつかなくなるかもしれません。

はじめは問題を解くことに専念して基本を覚え、応用問題は「理屈」を意識しておくと対応しやすくなります。

問題集の勉強範囲

微分の問題が豊富に掲載されている問題集は以下の3点です。

最初は簡単なレベルの問題を解くだけでOKです。

基本的な内容をしっかりと押さえるためにも、徐々にレベルを上げていくことが大切です。

少しずつ理解できるようになったら、応用問題にも挑戦しましょう。

微分の後半部分で習う「増減表」を使った問題に対応できれば、微分の範囲はある程度押さえたと捉えて問題ありません。

複数の教材を一度に購入しても、中途半端になるだけで費用も無駄になってしまいます。

まずは、1冊のものを完璧にマスターできるよう意識しましょう。

微分を勉強するなら「オンライン数学克服塾MeTa」

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授業形式	マンツーマン形式
校舎	オンライン
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大問ごとに関連問題を設けているケースも多く、1問を間違えると芋づる式で大量失点に繋がるため危険な科目だといえます。

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そこで、「オンライン数学克服塾MeTa」は「ソクラテスメソッド」を活用して生徒1人1人に寄り添います。

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講師と生徒がマンツーマン指導で問題に取り組み、生徒側の考えに耳を傾けます。

この繰り返しで徐々に論理的思考力を鍛えさせたことで、国立大学合格率75％の実績に繋がったのかもしれません。

綿密な授業計画で生徒にアプローチ

「オンライン数学克服塾MeTa」は各生徒の苦手分野を克服させるべく、綿密な授業計画を作っています。

個人によってアプローチ方法も上手く変えていかなければなりません。

さまざまなケースに応じた的確なアドバイスを心がけている学習塾です。

また、講師陣は高校生なら陥ってしまうであろう「数学の悩み」を理解しており、その解決法を導きます。

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講師も長年の経験から生徒が悩むポイントを熟知しています。

もし、勉強を進めていくうえで不安なことがあったら、迷わず講師陣に相談しましょう。

さまざまな事情を考慮して毎月ごとのスケジュールを作ってもらえます。

まとめ

「数Ⅱ」の範囲で出題される「微分」の表し方について解説しました。

一見、複雑そうに感じるものの、覚える内容はそこまで多くありません。

練習問題を何度も繰り返しながら「解き方」をしっかりと身につけましょう。

もし、塾で指導を受けたい場合は、「オンライン数学克服塾MeTa」がおすすめです。

対話を重視したマンツーマンの指導で、徹底的に弱点を克服するためのコツを教えてもらえます。

受験を乗り越えるうえでも頼もしい存在です。