数学Ⅱで取り扱う「図形と方程式」の単元について、

「新しい公式が多くて覚えられない！」

「そもそもなにを言われているのかわからない！」

そんな苦手意識を抱えている人は多いのではないでしょうか。

単元名の通り図形や方程式を含む多くの数学的知識を要するこの単元は、高校数学の鬼門とも言える単元です。

しかし覚えることが多そうに見えるこの単元は、実はこれまでに学習した数学の総まとめになっています。

本記事ではボリュームが多く混乱しやすい数学Ⅱ「図形と方程式」の内容について、これまでの数学学習の復習も絡めながら解説していきます。

この記事を参考に学習をすすめ、「図形と方程式」をマスターしましょう。

 

2点間の距離

「図形と方程式」で最初に覚えることになるのが2点間の距離を求める方法です。

2点間の距離とは、平面上に点Aと点Bが存在するとき、線分ABの長さのことを指します。

高校数学では平面上の点の位置をX軸とY軸を使った座標で表します。

見慣れない形式の羅列になるため混乱する人も多いことでしょう。

しかし実際に2点間の距離を求める方法はとても単純なのです。

ここでは点A（2、4）と点B（9、8）の2点間の距離を求めてみましょう。

1.直角三角形をイメージする

点Aと点Bを結んだ線分ABが斜辺になるような直角三角形をイメージしてください。

すると点Aと点Bからそれぞれもう一つの線が伸びていることがわかります。

この二つの線分が交わる点を点Cとした時、点Cの座標は以下のようになります。

ここまで求めることができれば、あとは三平方の定理を用いることで点AB間の距離を求めることができます。

2.三平方の定理で算出する

三平方の定理とは直角三角形の辺の長さに関する定理で、ピタゴラスの定理とも呼ばれます。

このように、2点間の距離は三平方の定理を用いて求めることができます。

3.軸に平行な場合は計算は不要

ここまで解説してきたのは、線分ABが軸に並行ではない場合の2点間の距離の求め方です。

2点を結んでできる線分が軸と並行な場合はより簡単に2点間の距離を求めることができます。

先ほどの例題を使って考えてみましょう。

線分ABを斜辺とする直角三角形ABCについて、軸と並行な線分はACとBCの2つです。

同様に点Bと点Cの2点間の距離も求めることができます。

このように線分が軸と並行である場合、三平方の定理を使わなくとも2点間の距離を求めることができます。

内分と外分

続いては「内分と外分」について解説していきます。

「内分と外分」は基本的には小学校6年生の算数で習った「比」を使って解いていきます。

しかし内分と外分がそれぞれどういったものを指すのかを理解していないと、途中でなにをしているのかわからなくなりやすい部分でもあります。

それぞれの定義をしっかり抑えておくことが理解に繋がります。

本記事では平面座標について解説していますが、ベクトルの内分点・外分点も同じ方法で求めることができます。

内分とは

最初に内分について解説します。

内分とは、線分ABを線分AB上に位置する点Pによってm：nに分けることです。

線分AB上に点Pを取った時、AP：BPがm：nになっている、と言い換えるとイメージしやすいかもしれません。

このイメージをきちんと固めておくことで、内分と外分の違いが明確に理解できるようになります。

「図形と方程式」では、この情報から内分点Pの座標を求めていきます。

内分点の座標の公式

内分点の座標は公式によって求めることができます。

ここでは点A(2、4)と点B(7、9)を2：3に内分する点P（x、y）、そして内分点の公式を求めてみましょう。

前述の通り、点Pは線分AB上に存在し、線分ABをm：nに分ける点です。

この条件をもとに点A(2、4)と点B(7、9)を2：3に内分する点P（x、y）について考えてみましょう。

同様に点Pのy座標も求めることができます。

したがって、点A(2、4)と点B(7、9)を2：3に内分する点P（x、y）の座標は（4、6）であることがわかります。

これらを公式に表すと以下のようになります。

点A(xa、ya)と点B(xb、yb)をm：nに内分する点P（x、y）を求める公式

P（nxa＋mxb／m＋n、nya＋myb／m＋n）

中点の座標

内分点のうち、線分を1：1に内分する点を特に中点と言います。

中点Mの座標を求めたい場合、前述の公式はよりシンプルなものになります。

わざわざ内分点の公式に当てはめて考えるよりも、中点の場合はこちらを公式として覚えてしまう方がよいでしょう。

ちなみにm：nが1：1になることは内分の時にしか起こりません。

【復習】相似とは？

内分点の座標を求めるときに相似図形の性質を使うことは前述の通りです。

ここでは図形の相似について復習をしておきましょう。

相似とは、二つの図形の一方を拡大または縮小したとき、他方の図形と合同になることをいいます。

もう少しわかりやすく条件を整理すると、

上記の三つを満たす場合に提示された図形は相似であると言えます。

内分点を求める時に用いた相似図形の性質は、各辺の比が一定であることを利用した性質です。

相似の三角形ABCとADEについて考えてみましょう。

（ABC＜ADEとする。）

内分点の公式は万が一忘れてしまっても落ち着いてこれまでの学習を用いれば導くことができます。

思い出すことができなくても焦らずに取り組んでみましょう。

外分とは

続いて外分について解説します。

これまで解説してきた内分は比較的イメージがしやすいのですが、外分は少々複雑です。

図形が苦手な人には特にイメージがつきづらい部分ですが、反対にイメージさえ抑えておけば混同しがちな内分と外分をきちんと切り離して考えることができます。

外分とは、線分ABの延長線上に位置する点QによってAQ：BQ＝m：nとなることです。

この点Qを外分点と言います。

つまり点Qは点 Aまたは点Bの外側に位置している点であるということが内分との大きな違いであるということを理解しておかねばなりません。

外分点の座標の公式

外分点の座標もまた、内分点と同じように公式によって求めることができます。

ここでは点A(3、4)と点B(5、8)を2：1に内分する点Q（x、y）、そして外分点の公式を求めてみましょう。

外分点を求める場合重要なのは、mとnの大小関係です。

外分点は点 Aまたは点Bの外側に存在します。

どちらの点の外側にあるかによってmとnの大小関係が変わってきますが、外分点を求める際は分母が負になるのを防ぐために小さい方をマイナスにして考えましょう。

それでは点A(3、4)と点B(5、8)を2：1に外分する点Q（x、y）について考えてみましょう。

同様に点Qのy座標も求めることができます。

これらを公式に表すと以下のようになります。

ちなみに外分点の公式は内分点の公式への代入でも求めることができます。

m＞nの場合はnに–nを、m＜nの場合はmに–mを代入することで外分点の公式を導くことができます。

直線を表す方程式

最後に、直線を表す方程式についての解説です。

直線を表す方程式と言われてすぐに思いつくのは、多くの人の場合y＝ ax＋bという一次方程式の形でしょう。

aが傾き、bが切片（y軸との交点）を指します。

ここまでが中学で習った直線を表す方程式の内容です。

数学Ⅱでは、この式をax＋by＋c＝0という形に変形して考えることになります。

これが「図形と方程式」の大きな核となる部分です。

y=ax+bの変形

中学で学習したy＝ax＋bの形式は、直線の方程式の中でも基本形と呼ばれる形です。

傾きと切片が式を見た瞬間にわかるので、グラフを書きたい時にはとても扱いやすい形になっています。

一方で、基本形ではy軸と並行になる可能性がある直線については式で表すことができないのです。

そこで全ての座標平面上の直線を式に表すために、基本形の式を変形していきましょう。

直線の方程式の基本形は以上のように変換することができます。

この式より整った形にするとax＋by＋c＝0という形になり、これを直線の方程式の一般形と呼びます。

ここで間違えやすいのは、yの係数として扱われているbは基本形の式で切片を表すbとは別物だということです。

直線の方程式の一般形では、bはyの係数を指し、切片はcとして表記されます。

ax+by+c=0で考えよう

前述の通り、ax＋yb＋c＝0の式では、平面座標上の全ての直線を式に表すことができます。

また、直線と点の距離を導くためにも直線の方程式の一般形が必要です。

直線と点の距離とは、平面座標上の任意の点P（x1、y1）からある直線に垂直に交わる直線を引いた時の点Pと直線との交点までの距離を指します。

直線と点の距離をdとした時、以下の公式で求めることができます。

d＝｜ax1＋by1＋c｜／√a^2＋b^2

ここで求めたいのはあくまで距離なので、答えが負の数になることはありません。

そのため分子にあたる直線の方程式には絶対値をつけて解きます。

例題

それでは実際に例題を使って直線と点の距離を求めてみましょう。

例題：点P（2、1）と直線y＝–2x＋6の距離を求めなさい。

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これまでの数学学習の総ざらいともいえる「図形と方程式」は、その大部分をこれまでに学習した内容の応用で解くことができます。

しかしイメージが掴みにくい部分が多いことや文字式の多さ、出てくる公式の多さゆえに混乱を招きやすい単元です。

また、総ざらいであるということはこれまでの学習のつまづきが大きく影響してくるということでもあります。

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まとめ

今回の記事では数学Ⅱで取り扱う「図形と方程式」について解説をしました。

図形と方程式、というこれまで数学で接点のなかった二つの単元が組み合わさった本単元は、高校数学の中でかなり混乱を招く単元です。

頭の中できちんと整理されていないと使うべき公式がわからなくなったり、一問解くのに多くの時間を費やすことになったりします。

これまで学んできた数学を一度復習するという意味でも、本単元の学習は数学の力の底上げになります。

本記事を参考に学習し、「図形と方程式」を得意分野に加えましょう。