a(1)=5,a(n+1)=3a(n)-2を解くパターン

今回勉強するのは、基本的な数列が使われていないパターンです。

早速、例題を使いつつ漸化式の一般項を求めましょう。

ここで紹介する式は「a1=5,an+1=3an-2」です。

数学が苦手な人にとっては、非常に複雑な計算式のように思うかもしれません。

しかし、順序を付けながら計算すると、しっかりと解を求めることができます。

まずは、数列の特徴を押さえましょう。

出題されている数列は、等差数列でも等比数列でもありません。

a(n+1)=pa(n)+qの式を作る

ここで、漸化式についておさらいしましょう。

その中でも、今回のように等差数列や等比数列にもならず、なおかつ階差数列にもならない場合は「an+1=pan+q」の式に直すことが問題を解くカギです。

b(n)に置き換える

右辺の「3(an-1)」をそのまま用いて計算してしまうと、非常に複雑な解き方で一般項を求めなければなりません。

数学では、たびたびある文字への置き換えが使われます。

次に数列｛bn｝の初項と公比を算出します。

　そもそも、bnの値は「an-1」と同じでした。

つまり、初項「b1」を求める際には、「a1-1」の計算をするだけで問題ありません。

例題に目を通してみると、数列｛an｝の初項はすでに5と定められています。

これを「a1-1」に代入して計算しましょう。

あとは、それぞれ導き出した初項と公比を参考に数列｛bn｝の一般項を求めます。

これは、同様に数列｛an｝の一般項の解き方にも直結するので、計算ミスに注意してください。

解を出して終わりにするのではなく、確かめ算を徹底することで確実に点数を稼げます。

a1=4,an+1=3an+2^nを解くパターン

このように「an+1=pan+q」の形は、難しい漸化式の問題で頻繁に使われます。

解き方やパターンを押さえて、大学入試にも対応できるよう難問にチャレンジしましょう。

では、以下の難しい問題を解いてみましょう。

問題）a=4,an+1=3an+2n（n=1,2,3,…）で定められた数列｛an｝の一般項を求めよ。

「an+1」の式は、右辺にどちらも「n」が設けられています。

先程の問題は、「3an-2」と文字が付いていない項がありました。

しかし、ここでは「3an+2n」と指数にもnがあります。

こうした違いだけでも、算出方法は大きく異なるため注意が必要です。

問題の漸化式のパターンをpやqを使って表すと、「an+1=pan+qn」となります。

順番ごとに並べながら、解き方を解説しましょう。

a(n+1)=pa(n)+q^nは両辺をq^n+1で割る

「an+1=pan+qn」のパターンを解く際に必ず覚えておくべきポイントが、両辺を「qn+1」で割ることです。

先程の問題でも同様でしたが、等差数列や等比数列以外の漸化式が出てきたら「初手」を押さえましょう。

最初に何をやればいいかわからないと行き詰まってしまうため、解き方を進めていくうえでは初手をしっかりと覚えなければなりません。

なぜ、「qn+1」で割るのかも問題を解きながら紹介します。

ここで、右辺の「3an/2n+1+2n/2n+1」は工夫して式を作り直しましょう。

方法としては、文字数nの有無で2つに分けます。

次に、「2n/2n+1」の計算方法も見ていきます。

先程説明した指数の特徴を掴んでいれば、問題なく式をまとめられるでしょう。

分子にも分母にもnが指数となっており、分母が1つ分多い状態です。

つまり、分母は1回分多く2が掛けられるといえます。

この特徴から、「2n/2n+1」をまとめた答えは「1/2」です。

an+1の式全体を整理すると、「an+1=3/2・an/2n+1/2」となります。

bn=an/2nの式に置き換える

「an+1=3/2・an/2n+1/2」の式が完成したら、計算をより単純化させるため、唯一の文字式である「an/2n」をbnと置き換えます。

すると、「bn+1=3/2bn+1/2」とまとめられます。

こちらは1問目と同じく「an+1=pan+q」が成り立つ式です。

解き方も前問と同じで、「bn+1=3/2bn+1/2」の式の「bn」を「b」に置き換えて、1次方程式を求めます。

方程式の解を「bn」と「bn+1」に代入し、元の式から「bn」の式を引き算して定数項を消す方法です。

計算方法は先程の問題と変わりません。

まずは、自分なりに計算してみて、「b」の解を求めてみましょう。

無事に解を導き出せた場合は、以下を参考に答え合わせしてください。

ここから、初項と公比および一般項を算出しましょう。

ちなみに、Cnの値は「2」です。

後ほど使うので覚えておいてください。

よって、「3・(3/2)n-1」と作ることができますが、整理して「3n/2n-1」を解としましょう。

漸化式のおすすめの参考書・勉強法

漸化式のおすすめ勉強法は、実際に問題を解いてみることです。

アウトプットを意識したほうが、漸化式の問題に慣れやすいです。

ただし、一朝一夕で使いこなせるほど簡単な範囲ではありません。

もし、問題が難しいなと感じたら、迷わず答えを参考にすることをおすすめします。

5分以上考えて分からなかったら、部分的にでも解き方をチェックするべきです。

漸化式の問題が解けるようになれば、数列をある程度網羅できます。

難関大学を目指している人は、しっかりと対策して自分1人でも計算できるようにしましょう。

簡単な問題を中心に解いていき、漸化式の求め方や計算過程を押さえてください。

問題集の勉強範囲

漸化式の問題を解くうえで、おすすめの問題集は以下のとおりです。

漸化式の問題は複雑な計算を必要とするため、基本的なものも最初は簡単に解けないかもしれません。

まずは、その中でも基本問題を探して練習しましょう。

もし、自力で解き切ることができなくても、焦る必要はありません。

悩んで手が止まるくらいであれば、解答を見ながら解法を覚えるのもひとつの勉強法です。

勉強時間は効率的に使う必要があります。

また、漸化式の範囲は長い計算式を書かなければなりません。

そのため、必ずルーズリーフやノートを用意して計算過程を作ることが大切です。

何度も繰り返し練習しながら、最終的には自分1人で解けるよう意識しましょう。

漸化式を勉強するなら「オンライン数学克服塾MeTa」

漸化式を勉強するのであれば、「オンライン数学克服塾MeTa」がおすすめです。

対象	高校生・大学生・社会人
サービス内容	演習授業・1対1個別指導・LINEで指導
特徴	「論理的思考力」の向上で数学に対する苦手意識を克服させる

「オンライン数学克服塾MeTa」をおすすめする理由について紹介します。

「論理的思考力」を鍛えるソクラテスメソッドが強み

オンライン数学克服塾MeTaは、論理的思考力を鍛えるトレーニングに力を入れています。

こういった能力を鍛える方法は、ソクラテスメソッドといわれています。

生徒1人1人の特徴に合わせて、スケジュールで厳重に管理していることが特徴です。

高倍率の採用試験を突破した講師の指導を受けられる

オンライン数学克服塾MeTaでは、高倍率の採用試験を突破した講師による授業を受けられます。

ただ数学に詳しいだけではなく、生徒が抱える苦手意識に対して正面から向き合う点が特徴です。

優秀な講師たちの助言を頼りにしつつ、なぜ苦手意識を持っているのかといった原因を突き止めましょう。

国立大学合格率75％の実績を誇る

オンライン数学克服塾MeTaを利用した人の統計を見ると、国立大学合格率が75％に達しています。

大学受験において、数学はある程度の点数を取っておきたい重要な科目のひとつです。

オンライン数学克服塾MeTaのメソッドを参考にしつつ、計画的に勉強を進めましょう。

東京個別指導学院

東京個別指導学院の基本情報
対象学年	小学生〜高校生
展開地域	東京、神奈川、埼玉、千葉、愛知京都、大阪、兵庫、福岡
授業形態	個別指導
特徴	担当講師制度、AI教材やオンライン学習など

少人数制の個別指導が受けられる！

東大阪市で成績アップや定期テスト対策、受験対策などで個別指導の塾を探しているなら東京個別指導学院がおすすめです。

また、東京個別指導学院は、1対1または1対2の少人数制個別指導を行っているのが特徴です。

講師が生徒にしっかり向き合うため納得の個別指導が受けられるでしょう。

自習室やオンライン学習など勉強しやすい工夫も

東京個別指導学院は、自由度の高い学び方が選択できる個別指導塾でもあります。

教室には自習室も併設されているため、個別指導を受けるときはもちろん、自宅とは違う環境で集中して勉強したいときにも利用できます。

また、病気、家庭の事情や部活の試合などで学習日に通塾ができなくても、無料で振替が可能です。

ほかにも、AI学習教材やオンライン学習なども利用できるため、自宅での学習にもつなげられます。

学校の授業や部活、学外活動、通信教育、ほかの習い事など、忙しい子どもでもスケジューリングがしやすく、勉強を継続しやすい工夫も整っています。

東京・関西個別指導学院の料金・費用

東京・関西個別指導学院の料金・費用は以下の通りです。

東京・関西個別指導学院の料金・費用
入会金	無料
授業料	授業料シミュレーションで確認する⇒
教材費

東京・関西個別指導学院では、生徒ごとに最適なカリキュラムで指導を行っており、料金が一人ひとり異なります。

入会金や維持費などの追加費用は今後も一切かからないため、保護者様にも安心してご利用いただけます。

授業料シミュレーションにて、あなたに合わせた料金を簡単に知ることが出来ますので、料金の詳細が気になる方は以下の公式サイトよりお気軽にご確認ください。

東京・関西個別指導学院のコース

東京・関西個別指導学院のコースは以下の通りです。

学年	コース
高校生 コースの詳細を確認する⇒	大学受験対策
	総合型選抜・推薦対策
	定期テスト・評定対策
中学生 コースの詳細を確認する⇒	高校受験対策
	推薦入試対策
	定期テスト・内申点対策
小学生 コースの詳細を確認する⇒	中学受験対策
	学習習慣定着サポート
	英語検定対策

東京・関西個別指導学院では、上記のコース以外にも様々なコースを用意しています。

お子さまに合わせた専用のカリキュラムを作成いたします。

学習状況や目標に合わせて、コースを選択することができますので、コースの詳細やカリキュラムについて詳しく知りたい方は以下の公式サイトよりお問い合わせください。

東京・関西個別指導学院の校舎見学

東京・関西個別指導学院は、全国に約270教室あります。

東京・関西個別指導学院の校舎情報
校舎情報 (東京個別指導学院)	【関東】東京・神奈川・千葉・埼玉 【東海・九州】愛知・福岡 東京個別指導学院の教室情報を確認する⇒
校舎情報 (関西個別指導学院)	【関西エリア】京都・大阪・兵庫 関西個別指導学院の教室情報を確認する⇒

東京・関西個別指導学院では、校舎見学を実施しています。

校舎見学では、校舎の雰囲気や指導スタイルを実際にご覧いただきながら、学習の進め方や受験対策について個別に相談が可能となっています。

教室の設備や通学の利便性なども確認できるため、安心して塾選びをすることができます。

また、実際の授業の様子やカリキュラムについても詳しくご説明し、納得のいく形で学習をスタートできるようサポートします。

以下の公式サイトより簡単に校舎見学へお申し込みをすることができますので、お気軽にお問い合わせください。

東京・関西個別指導学院のキャンペーン

東京・関西個別指導学院の無料キャンペーン
学習相談 学習相談はこちらから⇒	勉強方法や学習の悩みを相談できる
受験相談 受験相談はこちらから⇒	受験情報収集に活用したり 受験対策を相談できる
体験授業 体験授業はこちらから⇒	希望科目を無料で受講できたり 担当の先生との相性など確認できる

東京・関西個別指導学院では、無料体験授業等のキャンペーンを実施してます。

全て無料で実施しており誰でも受けられるので、お得な今体験してみましょう。

東京・関西個別指導学院の学習相談

東京・関西個別指導学院では、無料の学習相談を実施しています。

学習相談では、学習の悩みの原因を明確にし、適切な勉強方法を提案します。

また、ベネッセグループの豊富な情報と独自のネットワークを活用し、最新の受験・教育情報を提供します。

無料の学習相談会を通じて、お子さまに最適な指導を見極められますので、是非お気軽にご相談ください。

学習相談は、集団形式ではなく各家庭に個別で実施しているため、安心してご参加ください。

東京・関西個別指導学院の受験相談

東京・関西個別指導学院では、学習相談のほかに受験相談も実施しています。

東京・関西個別の受験相談では、お子さま一人ひとりに最適な受験戦略を提案します。

ベネッセグループの豊富な進学データと独自の情報網を活用し、最新の受験情報を基に志望校別の対策をアドバイスします。

過去の傾向を踏まえた学習プランや効果的な勉強法をご提案し、お子さまに合った受験対策を一緒にプランニングします。

さらに、無料相談を通じて最適な学習環境を見極め、納得のいく形で受験準備を進めることが可能です。

受験に関して不安を感じている方はぜひ一度受験相談を行ってみてください。

東京・関西個別指導学院の体験授業

東京・関西個別指導学院では、体験授業も実施中です。

詳細は以下の通りです。

体験授業では、指導経験豊富な教室長によって学習カウンセリングが行われます。

また、授業ではテスト対策や受験対策などをカウンセリング内容に基づいて実際の授業のように行います。

そして、お子様だけでなく保護者の方の相談も受け付けておりますので、学習に関するお悩みを解消することが出来ます。

無料体験授業の流れとしては以下の通りです。

無料体験授業の流れ

1. 無料学習相談
2. 学習や授業内容の相談
3. 実際に授業を体験
4. 学習計画をご提案

体験授業は夕方～夜にかけて行われるため、習い事や部活で忙しい方もご安心ください。

また、校舎見学だけも可能なので、是非お気軽にお申し付けください。

まとめ

数列の難しい分野のひとつである「漸化式」について例題を使いながら解説しました。

最も重要なポイントは、式の形ごとのパターンを押さえることです。

今回は、「an+1=pan+q」の解き方を中心に説明しています。

等差数列や等比数列以外の数列が現れたら、この公式が当てはまるか疑ってみましょう。

漸化式の一般項を求める場合には、初手をどのようにとるか考えなければなりません。

やり方を正確に押さえないと、問題を見た瞬間に行き詰まってしまうためです。

漸化式を得意にできるか否かは、問題集をいかに解き進めるかがカギを握ります。

少しずつ勉強を積み重ね、受験前には自力で解けるようにしましょう。