a(1)=5,a(n+1)=3a(n)-2を解くパターン

今回勉強するのは、基本的な数列が使われていないパターンです。

早速、例題を使いつつ漸化式の一般項を求めましょう。

ここで紹介する式は「a1=5,an+1=3an-2」です。

数学が苦手な人にとっては、非常に複雑な計算式のように思うかもしれません。

しかし、順序を付けながら計算すると、しっかりと解を求めることができます。

まずは、数列の特徴を押さえましょう。

出題されている数列は、等差数列でも等比数列でもありません。

a(n+1)=pa(n)+qの式を作る

ここで、漸化式についておさらいしましょう。

その中でも、今回のように等差数列や等比数列にもならず、なおかつ階差数列にもならない場合は「an+1=pan+q」の式に直すことが問題を解くカギです。

b(n)に置き換える

右辺の「3(an-1)」をそのまま用いて計算してしまうと、非常に複雑な解き方で一般項を求めなければなりません。

数学では、たびたびある文字への置き換えが使われます。

次に数列｛bn｝の初項と公比を算出します。

　そもそも、bnの値は「an-1」と同じでした。

つまり、初項「b1」を求める際には、「a1-1」の計算をするだけで問題ありません。

例題に目を通してみると、数列｛an｝の初項はすでに5と定められています。

これを「a1-1」に代入して計算しましょう。

あとは、それぞれ導き出した初項と公比を参考に数列｛bn｝の一般項を求めます。

これは、同様に数列｛an｝の一般項の解き方にも直結するので、計算ミスに注意してください。

解を出して終わりにするのではなく、確かめ算を徹底することで確実に点数を稼げます。

a1=4,an+1=3an+2^nを解くパターン

このように「an+1=pan+q」の形は、難しい漸化式の問題で頻繁に使われます。

解き方やパターンを押さえて、大学入試にも対応できるよう難問にチャレンジしましょう。

では、以下の難しい問題を解いてみましょう。

問題）a=4,an+1=3an+2n（n=1,2,3,…）で定められた数列｛an｝の一般項を求めよ。

「an+1」の式は、右辺にどちらも「n」が設けられています。

先程の問題は、「3an-2」と文字が付いていない項がありました。

しかし、ここでは「3an+2n」と指数にもnがあります。

こうした違いだけでも、算出方法は大きく異なるため注意が必要です。

問題の漸化式のパターンをpやqを使って表すと、「an+1=pan+qn」となります。

順番ごとに並べながら、解き方を解説しましょう。

a(n+1)=pa(n)+q^nは両辺をq^n+1で割る

「an+1=pan+qn」のパターンを解く際に必ず覚えておくべきポイントが、両辺を「qn+1」で割ることです。

先程の問題でも同様でしたが、等差数列や等比数列以外の漸化式が出てきたら「初手」を押さえましょう。

最初に何をやればいいかわからないと行き詰まってしまうため、解き方を進めていくうえでは初手をしっかりと覚えなければなりません。

なぜ、「qn+1」で割るのかも問題を解きながら紹介します。

ここで、右辺の「3an/2n+1+2n/2n+1」は工夫して式を作り直しましょう。

方法としては、文字数nの有無で2つに分けます。

次に、「2n/2n+1」の計算方法も見ていきます。

先程説明した指数の特徴を掴んでいれば、問題なく式をまとめられるでしょう。

分子にも分母にもnが指数となっており、分母が1つ分多い状態です。

つまり、分母は1回分多く2が掛けられるといえます。

この特徴から、「2n/2n+1」をまとめた答えは「1/2」です。

an+1の式全体を整理すると、「an+1=3/2・an/2n+1/2」となります。

bn=an/2nの式に置き換える

「an+1=3/2・an/2n+1/2」の式が完成したら、計算をより単純化させるため、唯一の文字式である「an/2n」をbnと置き換えます。

すると、「bn+1=3/2bn+1/2」とまとめられます。

こちらは1問目と同じく「an+1=pan+q」が成り立つ式です。

解き方も前問と同じで、「bn+1=3/2bn+1/2」の式の「bn」を「b」に置き換えて、1次方程式を求めます。

方程式の解を「bn」と「bn+1」に代入し、元の式から「bn」の式を引き算して定数項を消す方法です。

計算方法は先程の問題と変わりません。

まずは、自分なりに計算してみて、「b」の解を求めてみましょう。

無事に解を導き出せた場合は、以下を参考に答え合わせしてください。

ここから、初項と公比および一般項を算出しましょう。

ちなみに、Cnの値は「2」です。

後ほど使うので覚えておいてください。

よって、「3・(3/2)n-1」と作ることができますが、整理して「3n/2n-1」を解としましょう。

漸化式のおすすめの参考書・勉強法

漸化式のおすすめ勉強法は、実際に問題を解いてみることです。

アウトプットを意識したほうが、漸化式の問題に慣れやすいです。

ただし、一朝一夕で使いこなせるほど簡単な範囲ではありません。

もし、問題が難しいなと感じたら、迷わず答えを参考にすることをおすすめします。

5分以上考えて分からなかったら、部分的にでも解き方をチェックするべきです。

漸化式の問題が解けるようになれば、数列をある程度網羅できます。

難関大学を目指している人は、しっかりと対策して自分1人でも計算できるようにしましょう。

簡単な問題を中心に解いていき、漸化式の求め方や計算過程を押さえてください。

問題集の勉強範囲

漸化式の問題を解くうえで、おすすめの問題集は以下のとおりです。

漸化式の問題は複雑な計算を必要とするため、基本的なものも最初は簡単に解けないかもしれません。

まずは、その中でも基本問題を探して練習しましょう。

もし、自力で解き切ることができなくても、焦る必要はありません。

悩んで手が止まるくらいであれば、解答を見ながら解法を覚えるのもひとつの勉強法です。

勉強時間は効率的に使う必要があります。

また、漸化式の範囲は長い計算式を書かなければなりません。

そのため、必ずルーズリーフやノートを用意して計算過程を作ることが大切です。

何度も繰り返し練習しながら、最終的には自分1人で解けるよう意識しましょう。

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まとめ

数列の難しい分野のひとつである「漸化式」について例題を使いながら解説しました。

最も重要なポイントは、式の形ごとのパターンを押さえることです。

今回は、「an+1=pan+q」の解き方を中心に説明しています。

等差数列や等比数列以外の数列が現れたら、この公式が当てはまるか疑ってみましょう。

漸化式の一般項を求める場合には、初手をどのようにとるか考えなければなりません。

やり方を正確に押さえないと、問題を見た瞬間に行き詰まってしまうためです。

漸化式を得意にできるか否かは、問題集をいかに解き進めるかがカギを握ります。

少しずつ勉強を積み重ね、受験前には自力で解けるようにしましょう。