絶対値記号を含んだ方程式は、方程式の中でも複雑な内容を含んだ分野です。

ただ、やり方を1つずつ理解していけば必ず問題は解けるようになります。

今回は、絶対値の定義や仕組みを復習した後に、絶対値を含んだ方程式や不等式の解き方について解説します。

 

絶対値とは

まずは、中学校で習った「絶対値」の内容を振り返りましょう。

今回の内容では必須の部分なので、言葉の定義から丁寧に復習します。

絶対値の定義

例えば、「|3|」について考えてみましょう。

続いて、「|-3|」についても考えてみましょう。

「-3」は、0からどのくらい離れていますか？

これも「3」です。

ただ、言葉だけではあまりよくわからないと思うので、ここからは数直線を用いた解き方を解説します。

絶対値の基本的な解き方

絶対値の解き方は、さまざまなパターンがあるのですが、慣れないうちは1つのパターンに統一した方が良いです。

そこで、1番おすすめである数直線を用いた解き方を解説します。

絶対値記号の中身が、数直線上の位置を表していて、この絶対値の値そのものは、原点0からの距離を表しています。

この二つだけを使えば問題は必ず解けるようになります。

例えば、|3|の値は何でしょう。

続いて、|-3|の値について考えましょう。

このことから、絶対値の中身である「-3」に「-1」をかけた値が答えになっていることがわかります。

次に、|x|の値について考えましょう。

Xは未知数なので、場合分けをします。

「|x|」は場合分けが必要であることを覚えておきましょう。

絶対値記号を含む方程式・不等式の解き方

絶対値の基本的な解き方を思い出せましたか？ここからは絶対値記号を含む方程式と不等式の解き方を解説します。

練習問題も載せているので、ぜひ活用して内容を定着させましょう。

絶対値記号を含む方程式の解き方

まずは、絶対値記号を含む方程式の解き方を解説します。

早速、例題を使って絶対値記号を含む方程式の解き方を見ていきましょう。

|x|=3について考えてみましょう。

x>0の場合、中身が「+」なので、「x=3」となります。

x＜0の場合、中身が「-」なので、「-x=3」すなわち「x=-3」となります。

よって、方程式の答えは「x=±3」となります。

基本の解き方は理解できましたか？

練習問題に挑戦

では、絶対値記号を含んだ方程式の練習問題を解いてみましょう。

「|2x-3|=11」の方程式を解いてください。

答えられましたか？では、解き方と解答を見てみましょう。

絶対値記号を含む方程式の応用問題

次に、絶対値記号を含んだ方程式の応用問題に挑戦します。

それぞれについて説明します。

絶対値の中と外に未知数がある問題

早速、例題を見ていきましょう。

「|x+3|=2x」について考えます。

問題が複雑になっていますが、基本の考え方は同じです。

ここまでは、今までと同じです。

この観点から見ると、「+」の場合、x=3はx≧-3の範囲に含まれますが、「-」の場合、x=-1はx＜-3の範囲に含まれません。

このように、絶対値の中と外に未知数がある問題では、答えを求めた後に範囲に含まれているかどうかの確認をしましょう。

絶対値記号を含む式が2つ以上ある問題

早速、例題を見ていきましょう。

「|x-1|+|x-3|=4」について考えます。

この問題は、まず場合分けにコツがあります。

まず、「x＜1」について考えます。

この場合、x-1もx-3もマイナスになります。

よって、「-(x-1)-(x-3)=4⇨x=0」となります。

続いて、「 1≦x≦3」について考えます。

この場合、x-1はプラスで、x-3はマイナスになります。

よって、「x-1-(x-3)=4⇨2=4」となり、答えが成り立たないことがわかります。

最後に、「3＜x」について考えます。

この場合、x-1もx-3もプラスになります。

よって、「x-1+x-3=4⇨x=4」となります。

最後に、「絶対値の中と外に未知数がある問題」と同じく、答えのチェックをします。

x<1のときx=0、x<3のときx=4で、どちらも条件を満たすので、「x=0,4」が答えとなります。

練習問題に挑戦

では、絶対値記号を含んだ方程式の応用問題の練習問題を解いてみましょう。

「|x-2|=2x-1」の方程式を解いてください。

答えられましたか？では、解き方と解答を見てみましょう。

よって、今回の答えは「x=1」になります。

もう1問解いてみましょう。

「|x+2|+|x-1|=4x-1」の方程式を解いてください。

答えられましたか？では、解き方と解答を見てみましょう。

|x+2|においては、切り替わるポイントは-2です。

|x-1|においては、切り替わるポイントは1です。

この場合、数直線がx＜-2,-2≦x≦1,1＜xの3つの部分に分けられます。

こういった難しい問題でも、1つずつ丁寧に解いていけば必ず正解することができるようになります。

何度も解いて定着させるようにしましょう。

絶対値記号を含む不等式の解き方

続いて、絶対値記号を含む不等式の解き方を解説します。

基本的なやり方は方程式と全く同じです。

絶対値記号の中身で場合分けをして、絶対値を外して問題を解きます。

例えば、「|x|＜1」という問題について考えます。

まず、Xが0より大きいか小さいかの場合分けをして、絶対値記号を外します。

基本となる方程式の解き方をマスターすれば、不等式も解けるようになります。

練習問題に挑戦

では、絶対値記号を含んだ不等式の練習問題を解いてみましょう。

「|x+3|≦4」の不等式を解いてください。

答えられましたか？では、解き方と解答を見てみましょう。

絶対値のおすすめの参考書・勉強法

絶対値記号を含む方程式のおすすめの勉強法は、基本の解き方をマスターした後にさまざまなパターンの問題を繰り返し練習する方法です。

まずは基本の解き方をマスターしないと、さまざまな問題をやってもあまり理解ができず定着しません。

確実に定着させるためにも、時間を無駄にしないためにも、まずは基本の解き方をマスターするようにしましょう。

問題集の勉強範囲

絶対値記号を含む方程式のおすすめの勉強法は、以下の範囲の問題を繰り返し解くことです。

最初は、難しい問題には取り組まず簡単な問題を完璧に解けるようにしましょう。

基礎力をおろそかにした状態よりも、基礎力が身についた状態で難しい問題に取り組んだ方が成果が速く出ます。

まずは、記事や動画の内容を参考に基礎的な解き方を理解し、ここに挙げた問題を完璧に解けるように練習しましょう。

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