図形というと苦手なイメージを持つ方が多いと思います。

特に、計算問題ばかりを練習してきた方にとっては、図形の問題は一つの関門と言えるでしょう。

もちろん、高校数学でも図形の問題はあります。

特に、新しく学習する定義や性質がたくさんあるので、それらを記憶するのに少し手間取るかもしれません。

今回は、「三角形の五心」について、一つずつその定義や性質をお伝えしていきます。

ぜひ最後までお読みください。

三角形の五心とは？

図形の性質では、各図形の性質の知識を習得することが大事なので、その知識について説明していきます。

それでは最初に、三角形の五心について説明しましょう。

三角形の五心とは、五つの三角形に関する中心のようなものです。

三角形の五心それぞれを解説

三角形の五心とは、次の5つです。

それぞれどんなものなのか、詳しく解説します。

内心とは？

まずは、三角形の内心について解説します。

内心とは、三角形の内接円、内側に接する円の中心です。

三角形の内心には、各頂点から伸ばした直線がそれぞれの角を二等分するという性質があります。

このようにそれぞれ三角形の五心は、その点の作り方と、その点の持っている性質、という2つの角度から覚えていくのが重要です。

外心とは？

続いて、三角形の外心について解説します。

三角形の外心とは、各頂点に接する円である外接円の中心です。

この外心から各頂点に線を伸ばすと、その線は全て外接円の半径となるので、同じ長さとなります。

また、外接円はあともう1個の性質があり、外心から各辺に垂線を伸ばすと、その垂線は必ず各辺を二等分するという性質があります。

少しわかりにくいかもしれないのですが、この性質はよく受験でも使われるので、覚えておいてください。

重心とは？

次に、三角形の重心について解説します。

重心とは、日常でもたまに聞く言葉かもしれませんが、各頂点から対辺の中点に向かって引いた線が交わる点のことです。

重心の性質は、頂点から重心に向かう線分の長さと重心から対辺に向かう線分の長さがちょうど2対1の長さになることです。

垂心とは？

続いて、三角形の垂心について解説します。

垂心の「垂」とは、垂直の「垂」という字ですね。

この字のごとく、各頂点から対辺に向かって垂直な線、垂線を伸ばしたその交点が垂心です。

垂心の性質は2つあります。

やや難しいのですが、きちんと理解をしておきましょう。

1つ目は垂心と頂点を結んだ線を対角線とする四角形が3つ描けますが、この四角形はすべて円に内接します。

ただ、垂心を使って作られた三つの四角形であれば、必ず円に内接します。

2つ目の性質は、各頂点から対辺に平行な直線を引いて、その三つの直線が交わった点を結んでできる、もっと大きな三角形を考えたとき、その三角形において、垂心は三角形の外心となることが挙げられます。

少しややこしいのですが、元々の三角形の垂心が、後から描いた拡大した三角形では外心となるのです。

難しいと感じる方もいるかもしれませんが、入試でよく使う考え方なので、必ず覚えておくようにしましょう。

傍心とは？

最後に解説するのは、三角形の傍心です。

傍心の「傍」というのは、「傍ら」という字です。

傍心とは、各辺をまず伸ばし、各辺の延長線2本と元々の辺の3本の線に接する円を3種類描き、その3つの円の中心のことを指します。

つまり、傍心だけは3つ存在することになります。

傍心の性質は、各頂点から傍心に伸ばした線は外角を2等分しているというものです。

三角形の五心をマスターする

ここまで、三角形の五心をそれぞれ解説してきました。

理解できていない部分は、もう一度戻って再度理解を図ってみてください。

三角形の五心の公式を覚える

そこで、もう一度三角形の五心の作り方と性質をまとめてみます。

	作り方	性質
内心	三角形の内接円、内側に接する円の中心	各頂点から伸ばした直線がそれぞれの角を二等分する
外心	各頂点に接する円である外接円の中心	①外心から各頂点に線を伸ばすと、その線は全て外接円の半径となるので、同じ長さとなる。②外心から各辺に垂線を伸ばすと、その垂線は必ず各辺を二等分する
重心	各頂点から対辺の中点に向かって引いた線が交わる点	頂点から重心に向かう線分の長さと重心から対辺に向かう線分の長さがちょうど2対1の長さ
垂心	各頂点から対辺に向かって垂直な線、垂線を伸ばしたその交点	①垂心と頂点を結んだ線を対角線とする3つの四角形が全て円に内接する②各頂点から対辺に平行な直線が交わった点を結んでできる三角形の外心となる
傍心	各辺の延長線2本と元々の辺の3本の線に接する3つの円の中心	各頂点から傍心に伸ばした線は外角を二等分する

ぜひ、ここに書いた内容を自分のノートにも記してみましょう。

書く行為は少し時間がかかるので、中にはもったいないと感じる方もいるかもしれません。

ただ、書くという行為は強力な力を発揮するので、かけた時間を十分に回収するだけの効果が得られます。

ぜひ一度、騙されたと思ってノートにこれらを書き出してみてください。

三角形の五心の練習問題

それではここで、1つ練習問題を解いてみましょう。

「三角形ABCの重心、外心、内心、垂心のうち2つが一致すれば、三角形ABCは正三角形であることを証明する」

難しい問題になっているので、解けなくても構いません。

解法を見て、理解できるように努めてください。

問題の解答解説です。

できましたでしょうか？

以下に、証明の解法を記しておきます。

解けた人も解けてない人も、解法をきちんと読んで理解するようにしましょう。

三角形の五心のおすすめの参考書・勉強法

三角形の五心のおすすめの勉強法は、知識をノートにまとめ、記憶することです。

今回学習した内容は、理解するだけでなく記憶をすることが非常に大切になります。

そのため、問題演習を解くだけでなく、きちんと出てきた定義や性質を暗記し、実践問題で使えるようにしましょう。

ノートにまとめたり何も見ずに人に説明したりするなどして、確実に覚えられるような工夫をすることが大切です。

問題集の勉強範囲

三角形の五心のおすすめの勉強法は、以下の問題集の範囲を繰り返し学習することです。

定義や性質を暗記した後は、問題演習で使えるようにしなければなりません。

どのような形で出題されるのか、どのように三角形の五心を使用していくのかを経験しておくことが大切です。

ぜひ、定義や性質を暗記するだけで終わらず、問題演習にも挑戦してみてください。

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語句の意味を正確に把握する

今回は、三角形の五心について解説しました。

本記事の中でご紹介した五心の作り方や性質はきちんと記憶しましょう。

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また、記憶するだけでなく問題演習も重ねることで、着実に知識が定着できますので、今回ご紹介した問題集の範囲を繰り返し解いてみてください。