ここでは、漸化式の応用について解説します。

紹介する問題は、右辺が分数かつ分子の項が1つのパターンと、定数項が式になっているパターンの2つについて紹介しています。

それぞれ、解き方の順序があります。

今回は、漸化式や数列の基本的な公式に立ち返りつつ、応用問題の解法を細かく解説するため、数列の内容の総合的な理解力が求められます。

もし、今回の範囲がどうしてもわからない場合は、数列の基本についての記事を復習し、基礎を理解し直しましょう。

おすすめの問題集や学習塾も併せて紹介しているので、ぜひ、数学の勉強の参考にしてください。

右辺が分数かつ分子の項が1つのパターン

今回も、前回と同様に難しい漸化式の問題を解説しましょう。

前回勉強したとおり、難しい漸化式は初手をどうするかによって、解けるかどうかが決まります。

漸化式と一口に言っても、さまざまな種類がありました。

どのタイプに該当するかを見極めて、それに対する初手を覚えれば問題が解けるようになります。

ここで紹介する難しい漸化式はこちらです。

問題）a1=1/5　an+1=an/3an+2（n=1,2,3・・・）で定められた数列｛an｝の一般項を求めよ。

現段階でわかることは数列｛an｝の初項が1/5で、左辺が変わらず「an+1」と記されている点です。

しかし、右辺はan/3an+2と分数になっています。

分数の漸化式の求め方も何通りかありますが、このように右辺が分数で分子は項が1つであるパターンの解き方を見ていきましょう。

両辺の逆数をとる

問題を見てみると、分子には「an」が置かれています。

この場合まずは両辺の逆数をとることが大切です。

逆数とは、例えば「2」であれば「1/2」、「2/3」であれば「3/2」と分子および分母の入れ替えを指します。

最終的に「1/an+1=2/an+3」とまとめられます。

1/anをbnと置き換えて計算する

前回も、数列｛an｝の文字数anの項を「bn」に置き換えて計算しました。

今回も、全く同じ方法で漸化式を求めていきます。

この問題におけるanの項は「1/an+1=2/an」です。

つまり、「bn=1/an」に置き換えて計算を進めます。

また、数列｛an｝の初項a1の値は「1/5」でした。

「bn=1/an」であるため、b1の初項を求めるときはa1の逆数をとります。

要するに、「b1=1/a1=5」です。

ここまで計算すると、前回と同じ「an+1=pan+q」の漸化式になることが分かります。

各々を計算すると、「bn+1+3=2bn+6」と式を作ることができました。

ちなみに右辺の「2bn+6」は因数分解して、「2(bn+3)」と表記したほうが望ましいです。

bn+3をCnと置き換えて計算する

「bn」の形に直した漸化式は、「bn+1+3=2(bn+3)」でした。

つづいて、「bn+3」を異なる文字数に変えて計算し直します。

前回と同様に「bn+3=cn」と仮定して計算を進めましょう。

すると、「cn+1=2cn」と新たに式が完成します。

最後に、問題文の目的でもあった「an」の一般項を求めましょう。

難しい計算は必要ありません。

定数項が式になっているパターン

つづいて、前題とはまた違ったパターンについて紹介しましょう。

ここで、出されている問題は以下のとおりです。

問題）a1=5,an+1=2an-3n+4(n=1,2,3・・・)で定められた数列｛an｝の一般項を求めよ。

先程と同じく、まずは漸化式の特徴をしっかりと掴みます。

左辺については、特に前問と大きな違いはありません。

しかし、右辺をみてみると「2an-3n+4」と定数項が式になっています。

では、この場合はどのように初手をとればいいのでしょうか。

この問題も、漸化式のパターンとしてすでに解き方が定められています。

実際に、計算しながら解き方を押さえましょう。

n+1をnに置き換えた式を作る

この問題において、「nをｎ+1に置き換えた式」は次のように作ることができます。

元々の問題にあった漸化式は、「an+1=2an-3n+4」でした。

こちらの式で「nをn+1に置き換えた式」へ直します。

つまり、それぞれの項にnを加えればいいだけです。

bn=an+1-anの式をおいて計算する

「an+2-an+1=2(an+1-an)-3」の「(an+1-an)」を「bn」に直してみましょう。

まずは「bn+1=2bn-3」と式を作り変えられるはずです。

左辺がわかりづらいかもしれませんが、「an+2-an+1」は「an+1-an」のnをそれぞれ+1したものです。

そのため、「an+2-an+1」を「bn+1」に置き換えましょう。

この形に直せば、漸化式の計算でおなじみの「an+1=pan+q」の形に直せます。

こうした一連の計算は、漸化式のよくあるパターンへ落とし込むためのプロセスです。

あとは、先ほどの問題と同様に「2(bn-3)」の式をさらに置き換えて解いていくだけです。

問題を繰り返し、一連の作業がスムーズにできるよう練習しましょう。

cn=bn-3とおいて計算する

「bn+1-3=2(bn-3)」において、「(bn-3)」を「cn」と仮定して計算を続けます。

式を整理すると、「cn+1=2cn」となりました。

まずは、数列｛cn｝の初項と公比を求めていかなければなりません。

とはいえ、こちらも基本的な考え方は前述の問題と全く同じです。

定数項がない数列｛cn｝は、等比数列だと見ただけで判断できます。

あとは、等比数列の一般項を求めるため、「cn=c1・rn-1」の公式を上手く使うだけです。

まず、公比については係数を見ればすぐにわかります。

「cn+1=2cn」とあることから、公比は「2」です。

つづいて、初項も解き進めていきましょう。

cnは「bn-3」を置き換えたものです。

つまり、「c1=b1-3」と初項を求める式が作られます。

ここで、「b1」を求めるときにはどのような計算が必要か確かめなければなりません。

そもそも、「bn」は「an+1-an」を置き換えたものでした。

つまり、「b1」と初項を求める場合は、nに1を代入するため「a2-a1」の計算式となります。

では、漸化式の「an+1=2an-3n+4」を使って「a2」の値を求めましょう。

ここで、式を「an+1=an+3・2n-1+3」と変形しましょう。

すると、基本数列の漸化式になることがわかるはずです。

あとは、漸化式の一般項を導き出します。

漸化式の応用のおすすめな参考書・勉強法

漸化式の応用を勉強するうえで、おすすめの勉強法は、問題を解く順番に気をつけることです。

応用問題であるため、どの内容も難しく感じるかもしれません。

まずは、1問だけ難問を解いてみましょう。

とりあえず、できるところまで進めてみてください。

応用問題はでは、解くためのポイントをいかに自分で見つけられるかが大切です。

漸化式の応用問題を正解するには、パターンや公式などの基本を押さえておく必要があります。

序盤で手が止まるようであれば、一度基本問題に戻りましょう。

さまざまな範囲を網羅的に学習することがコツです。

また、答えを確認しながら解答例の意図を掴むやり方も効率良いといえます。

コツコツと問題に取り組みつつ、解き方を筋道立てながら理解しましょう。

問題集の範囲

漸化式の応用を勉強するうえで、おすすめの問題集と範囲は以下のとおりです。

応用問題を解けるようになるには、まずは、手元にある問題を自力で完璧に解けるまで繰り返し演習しましょう。

解説も参考にしつつ、暗記ではなく理解に努めてください。

間違えやすい勉強法は、さまざまな問題集を購入してしまうことです。

特に、応用問題は数問程度しか用意されていないケースもあり、物足りなく感じる方も多いでしょう。

しかし、1問ずつ正確にマスターすることが漸化式を得意にする近道です。

基本的な考え方を押さえれば、ほかの問題も根本の部分は大して変わりません。

決して焦らず、問題集を限定して選んでください。

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まとめ

今回は、漸化式の応用について解説しました。

漸化式自体がさまざまなパターンを使って解かなければならないため、最初はつまづくこともあるかもしれません。

しかし、あくまで問題を解くときには順序立ててポイントを押さえることが求められます。

基本的な問題にも立ち返りつつ、1問をしっかりと自力で取り組めるよう練習を繰り返しましょう。

わからない問題が出てきたら、答えの解説から解法を確認することが大切です。

漸化式の応用を克服するのであれば、「オンライン数学克服塾MeTa」の利用をおすすめします。

論理的思考力は、漸化式の問題を解くうえでも欠かせません。

講師たちの手も借り、難しい問題にも対処できるよう準備しましょう。