平面ベクトルをおさらいしよう

まず、空間ベクトルを学習する上で理解しておくべき平面ベクトルのおさらいをします。

ここでは、以下の4点について解説します。

平面ベクトルの足し算

まずは、ベクトルの足し算の解説をします。

例えば、「ABベクトル」と「BCベクトル」の足し算は、最終的にはAからCにいくことになるため、AからCに向かって引いた矢印（ベクトル）が足し算の答えです。

ベクトルの内積

次に、ベクトルの内積を解説します。

ベクトルの内積の公式は以下の通りです。

これを「aベクトル」と「bベクトル」の内積と呼びます。

ここで、ベクトルの垂直について解説します。

問題演習において、2つのベクトルが垂直であることが条件の場合、内積が0であることを利用する問題である可能性が高いので、必ず覚えておきましょう。

ベクトルの内分点

続いて、ベクトルの内分点について解説します。

平面ベクトルのベクトル方程式（直線）

最後に、直線のベクトル方程式の計算方法を解説します。

空間ベクトルとは？｜例題を使って理解しよう

ここからは、空間ベクトルを解説します。

空間ベクトルとは、今まで学習してきた平面ベクトルを三次元に拡張して考えるものです。

平面ベクトルが理解できていれば、空間ベクトルも簡単に理解できるため、あまり焦らず1つずつ解説を理解していきましょう。

空間ベクトルの基本の考え方｜x軸・y軸・z軸

平面ベクトルでは、縦と横を表すx軸・y軸を使用していました。

しかし、2つの軸だけでは三次元の空間を表せません。

そこで、空間ベクトルでは、高さを表すz軸も使用します。

x軸・y軸・z軸の3つが揃うことで空間ベクトルを表せるようになるのです。

空間ベクトルの表し方

例えば、(1,2,3)という点を考えてみましょう。

ここまでの流れを理解しておくことが、空間ベクトルを学習するうえでのキーポイントになります。

また、原点から(1,2,3)へと引いた矢印がベクトルとなります。

成分は矢印の終点の座標と一致しているため、平面ベクトルと考え方は同じです。

空間ベクトルの公式

次に空間ベクトルの公式をおさらいします。

空間ベクトルの成分表示

座標空間において、点A(a1, a2, a3)、点B(b1, b2, b3)をとると、ABベクトルは上記のように表されます。

ちなみに座標のa1をx成分、a2をy成分、a3をz成分といいます。

空間ベクトルの分解

同じ平面上にない4点O, A, B, Cに対して、OAベクトル=aベクトル, OBベクトル=bベクトル, OCベクトル=cベクトルとすると、空間内のどんなpベクトルも、実数s, t, uを用いて

pベクトル=saベクトル+tbベクトル+ucベクトル

と表すことができます。

空間ベクトルの大きさ

空間ベクトルの大きさはx, y, z成分をそれぞれ2乗したものにルートをつけます。

空間ベクトルの内積

空間ベクトルの内積は上記で求めることができます。

空間ベクトルの平行条件と垂直条件

aベクトル, bベクトルが垂直の場合、内積は0になります。

空間における内分点・外分点・重心の位置ベクトル

空間における内分点・外分点・重心の位置ベクトルはそれぞれ上記の公式で求めることができます。

内分点と外分点は、公式が似ている分覚えやすいと感じる人もいるかもしれませんが、間違えやすいポイントでもあるので符号には注意が必要です。

4点が同一平面上

4点O, A, B, cが同一平面上にあるとき、上記の公式が成り立ちます。

空間ベクトルの典型的な問題演習

ここからは、空間ベクトルの典型的な問題演習を解説します。

基本的な考え方は平面ベクトルと変わりません。

以下の4つのトピックを順番に解説するので、焦らずゆっくりと理解しましょう。

空間ベクトルの足し算・引き算

まずは、空間ベクトルの足し算・引き算のやり方を解説します。

基本的な考え方は、平面ベクトルと同じです。

直方体ABCD-EFGHを考えてみましょう。

以上のように、平面ベクトルで学習したことを活用すれば空間ベクトルの足し算も理解できることがわかるでしょう。

空間ベクトルの内積｜角度を求める

続いて、空間ベクトルの角度を求める以下の例題の解説をします。

平面ベクトルで角度を求める場合には、2つのベクトルの内積を計算したはずです。

空間ベクトルにおいても考え方は同じで、2つのベクトルの内積を求めます。

内積には2通りの書き方があります。

実際に数字を当てはめると、cosθ=½と求められ、θ=60°であることがわかります。

これも平面ベクトルのときと同じ考え方で求められることがお分かりいただけたはずです。

空間ベクトルの内分点の公式

続いて、空間ベクトルの内分点の公式を見ていきましょう。

空間ベクトルの内分点の公式は、平面ベクトルの内分点の公式と全く同じになります。

内分点の公式に空間ベクトルの成分を代入すれば、内分点の座標を求めることが可能です。

以下の例題を解いてみましょう。

このとき点Pの座標を求めよ。

点Pは線分ABを2:1に内分した点であることから、内分点の公式を用いて、以下のような計算が可能です。

「OPベクトル」=（「OAベクトル」+2「OBベクトル」）/（2+1）=(4,-1,1)

これも平面ベクトルと同じであることがわかりますね。

以上の3つは、平面ベクトルと空間ベクトルの考え方が同じです。

空間ベクトルのベクトル方程式

これまでは、平面ベクトルと空間ベクトルとで考え方が同じことを示してきました。

しかし、ここから解説する空間ベクトルのベクトル方程式では平面ベクトルと考え方が異なります。

平面ベクトルでは考えうる平面が1つしかありませんが、空間ベクトルでは空間の中にいくつもの平面を考えられます。

ここでは、2パターンの問題を通して、空間ベクトルのベクトル方程式を解説します。

ベクトル方程式の問題演習①

では、以下の問題を見てください。

問題）空間内に3点A(「aベクトル」),B(「bベクトル」),C(「cベクトル」)がある。

次の図形を表すベクトル方程式を求めよ。

点Aを通り直線BCに平行な直線

ベクトル方程式の問題演習②

続いて、以下の問題を見てください。

問題）空間内に3点A(「aベクトル」),B(「bベクトル」),C(「cベクトル」)がある。

次の図形を表すベクトル方程式を求めよ。

点Cを通り直線ABに垂直な平面

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空間ベクトルのおすすめの参考書・勉強法

空間ベクトルのおすすめの勉強法は、平面ベクトルを正確に理解することです。

今回学習したように、ベクトル方程式以外は全て平面ベクトルと同じ考え方で問題が解けます。

そのため、平面ベクトルが理解できていれば空間ベクトルも半分以上理解できていることになるのです。

平面ベクトルをマスターした上で、空間ベクトルのベクトル方程式のみ別途学習すれば、空間ベクトルはマスターできます。

まずは、平面ベクトルの問題を繰り返し解いて、平面ベクトルをマスターしましょう。

問題集の勉強範囲

空間ベクトルのおすすめの問題集の勉強範囲は以下の通りです。

これらの問題と併せて、平面ベクトルの問題も繰り返し復習しておきましょう。

前述のとおり、空間ベクトルの大半は平面ベクトルと同じ考え方で問題が解けます。

そのため、平面ベクトルについての理解を深めておくことが空間ベクトルの理解にも役立ちます。

土台を固めることが数学力向上には1番大切なので、基礎をおろそかにせず着実に学習しましょう。

まとめ

今回は、空間ベクトルについて解説しました。

本文で見てきたように、空間ベクトルを理解するには、平面ベクトルを理解しておくことが重要です。

ベクトル方程式以外は、平面ベクトルで学習した考え方をそのまま取り入れれば、問題を解けます。

基本に忠実に学習すれば必ず理解できるようになります。

わからない部分があれば、本記事や平面ベクトルを解説した記事を見直して、理解を深めるようにしましょう。