平面ベクトルをおさらいしよう

まず、空間ベクトルを学習する上で理解しておくべき平面ベクトルのおさらいをします。

ここでは、以下の4点について解説します。

平面ベクトルの足し算

まずは、ベクトルの足し算の解説をします。

例えば、「ABベクトル」と「BCベクトル」の足し算は、最終的にはAからCにいくことになるため、AからCに向かって引いた矢印（ベクトル）が足し算の答えです。

ベクトルの内積

次に、ベクトルの内積を解説します。

ベクトルの内積の公式は以下の通りです。

これを「aベクトル」と「bベクトル」の内積と呼びます。

ここで、ベクトルの垂直について解説します。

問題演習において、2つのベクトルが垂直であることが条件の場合、内積が0であることを利用する問題である可能性が高いので、必ず覚えておきましょう。

ベクトルの内分点

続いて、ベクトルの内分点について解説します。

平面ベクトルのベクトル方程式（直線）

最後に、直線のベクトル方程式の計算方法を解説します。

空間ベクトルとは？｜例題を使って理解しよう

ここからは、空間ベクトルを解説します。

空間ベクトルとは、今まで学習してきた平面ベクトルを三次元に拡張して考えるものです。

平面ベクトルが理解できていれば、空間ベクトルも簡単に理解できるため、あまり焦らず1つずつ解説を理解していきましょう。

空間ベクトルの基本の考え方｜x軸・y軸・z軸

平面ベクトルでは、縦と横を表すx軸・y軸を使用していました。

しかし、2つの軸だけでは三次元の空間を表せません。

そこで、空間ベクトルでは、高さを表すz軸も使用します。

x軸・y軸・z軸の3つが揃うことで空間ベクトルを表せるようになるのです。

空間ベクトルの表し方

例えば、(1,2,3)という点を考えてみましょう。

ここまでの流れを理解しておくことが、空間ベクトルを学習するうえでのキーポイントになります。

また、原点から(1,2,3)へと引いた矢印がベクトルとなります。

成分は矢印の終点の座標と一致しているため、平面ベクトルと考え方は同じです。

空間ベクトルの公式

次に空間ベクトルの公式をおさらいします。

空間ベクトルの成分表示

座標空間において、点A(a1, a2, a3)、点B(b1, b2, b3)をとると、ABベクトルは上記のように表されます。

ちなみに座標のa1をx成分、a2をy成分、a3をz成分といいます。

空間ベクトルの分解

同じ平面上にない4点O, A, B, Cに対して、OAベクトル=aベクトル, OBベクトル=bベクトル, OCベクトル=cベクトルとすると、空間内のどんなpベクトルも、実数s, t, uを用いて

pベクトル=saベクトル+tbベクトル+ucベクトル

と表すことができます。

空間ベクトルの大きさ

空間ベクトルの大きさはx, y, z成分をそれぞれ2乗したものにルートをつけます。

空間ベクトルの内積

空間ベクトルの内積は上記で求めることができます。

空間ベクトルの平行条件と垂直条件

aベクトル, bベクトルが垂直の場合、内積は0になります。

空間における内分点・外分点・重心の位置ベクトル

空間における内分点・外分点・重心の位置ベクトルはそれぞれ上記の公式で求めることができます。

内分点と外分点は、公式が似ている分覚えやすいと感じる人もいるかもしれませんが、間違えやすいポイントでもあるので符号には注意が必要です。

4点が同一平面上

4点O, A, B, cが同一平面上にあるとき、上記の公式が成り立ちます。

空間ベクトルの典型的な問題演習

ここからは、空間ベクトルの典型的な問題演習を解説します。

基本的な考え方は平面ベクトルと変わりません。

以下の4つのトピックを順番に解説するので、焦らずゆっくりと理解しましょう。

空間ベクトルの足し算・引き算

まずは、空間ベクトルの足し算・引き算のやり方を解説します。

基本的な考え方は、平面ベクトルと同じです。

直方体ABCD-EFGHを考えてみましょう。

以上のように、平面ベクトルで学習したことを活用すれば空間ベクトルの足し算も理解できることがわかるでしょう。

空間ベクトルの内積｜角度を求める

続いて、空間ベクトルの角度を求める以下の例題の解説をします。

平面ベクトルで角度を求める場合には、2つのベクトルの内積を計算したはずです。

空間ベクトルにおいても考え方は同じで、2つのベクトルの内積を求めます。

内積には2通りの書き方があります。

実際に数字を当てはめると、cosθ=½と求められ、θ=60°であることがわかります。

これも平面ベクトルのときと同じ考え方で求められることがお分かりいただけたはずです。

空間ベクトルの内分点の公式

続いて、空間ベクトルの内分点の公式を見ていきましょう。

空間ベクトルの内分点の公式は、平面ベクトルの内分点の公式と全く同じになります。

内分点の公式に空間ベクトルの成分を代入すれば、内分点の座標を求めることが可能です。

以下の例題を解いてみましょう。

このとき点Pの座標を求めよ。

点Pは線分ABを2:1に内分した点であることから、内分点の公式を用いて、以下のような計算が可能です。

「OPベクトル」=（「OAベクトル」+2「OBベクトル」）/（2+1）=(4,-1,1)

これも平面ベクトルと同じであることがわかりますね。

以上の3つは、平面ベクトルと空間ベクトルの考え方が同じです。

空間ベクトルのベクトル方程式

これまでは、平面ベクトルと空間ベクトルとで考え方が同じことを示してきました。

しかし、ここから解説する空間ベクトルのベクトル方程式では平面ベクトルと考え方が異なります。

平面ベクトルでは考えうる平面が1つしかありませんが、空間ベクトルでは空間の中にいくつもの平面を考えられます。

ここでは、2パターンの問題を通して、空間ベクトルのベクトル方程式を解説します。

ベクトル方程式の問題演習①

では、以下の問題を見てください。

問題）空間内に3点A(「aベクトル」),B(「bベクトル」),C(「cベクトル」)がある。

次の図形を表すベクトル方程式を求めよ。

点Aを通り直線BCに平行な直線

ベクトル方程式の問題演習②

続いて、以下の問題を見てください。

問題）空間内に3点A(「aベクトル」),B(「bベクトル」),C(「cベクトル」)がある。

次の図形を表すベクトル方程式を求めよ。

点Cを通り直線ABに垂直な平面

【苦手克服】数学対策におすすめの塾

ここからは、数学の苦手意識を克服したい方や、もっと点数を伸ばしてさらに得意教科にしたい方向けに、数学の対策におすすめの塾を紹介していきます。

今回ご紹介するのは、以下の3つの塾です。

まず最初に3つの塾の料金を比較して見てみましょう。

塾名 （対象学年）	入会金	授業料
MeTa (小・中・高)	無料資料請求で確認
東京個別指導学院 関西個別指導学院 (小・中・高・既卒)	無料	授業料シュミレーション
個別教室のトライ (幼・小・中・高・既卒)	11,000円(税込)	お見積もりシュミレーション

ここからは、各塾について細かく解説していきます。

オンライン数学克服塾MeTa

オンライン数学克服塾MeTaがおすすめです。

対象	高校生
授業形式	1対1のオンライン個別指導
校舎	オンライン
特徴	数学克服に特化したオンライン専門塾

なぜ空間ベクトルの勉強に「オンライン数学克服塾MeTa」がおすすめなのか、その理由を2つ紹介します。

論理的思考力の向上

1つ目は、論理的思考力の向上につながることです。

数学の学習では、論理的思考力を養うことが大事です。

しかし、学校や予備校では数学の問題を解くことに意識が向き、論理的思考力の向上につながる取り組みが行われていません。

オンライン数学克服塾MeTaでは、対話を通しての学習で論理的思考力の向上を目指します。

日常的に質問できる環境が整っている

2つ目は、日常的に質問できる環境が整っていることです。

オンライン数学克服塾MeTaの公式LINEアカウントがあり、そのアカウントを利用していつでも質問が可能です。

自習の際に質問ができないと、そこで学習が止まってしまうので、大きなタイムロスにつながります。

いつでも質問できる環境があることで、疑問を瞬時に解決でき、ストレスを感じずに学習できるのです。

オンライン数学克服塾MeTaの料金・授業料

オンライン数学克服塾MeTaの料金は以下の通りです。

オンライン数学克服塾MeTaの料金
設備費	資料請求はこちらから⇒
授業料

オンライン数学克服塾MeTaの授業料の詳細は公開されていません。

無料の資料請求をすると、授業料を確認することができます。

無料体験授業実施中！

MeTaでは、サービスを無料で体験することができる無料体験授業を実施中です。

無料体験は主に4つのステップで進みます。

1. オンライン個別説明会
2. 学習計画表の作成
3. 1対1の個別指導
4. 親御様も交えた報告面談

お問い合わせをしていただいたあと、スマートフォンやPCを用いて30分程の個別説明会を実施します。

学習計画表の作成を行い、勉強方法に関するアドバイスを行います。

1対1の個別指導を実施します。

スマートフォンスタンドは無料で提供してくれます。

親御様を交えた報告面談を行い、学習のアドバイスなど三者面談を行います。

入塾を検討している方は、手続きを行います。

東京・関西個別指導学院

東京・関西個別指導学院の基本情報
対象生徒	小学生・中学生・高校生・高卒生
対象地域	首都圏を中心に全260の直営教室を展開 公式サイトで教室検索をする⇒
指導方法	最大1対2までの個別指導
自習室情報	あり（教室により要確認）
特徴	「成績向上・結果」「講師」で顧客満足度の高い指導

東京個別指導学院・関西個別指導学院は、全国に約260校舎を展開する個別指導塾です。

ベネッセグループの豊富な情報量

東京・関西個別指導学院は、ベネッセグループであり、全教室が直営で運用されています。

各教室が連携をすることによって、最新情報を交換したり、入手したりしています。

近隣学校の年間行事やテスト範囲などを分析し、出題内容を予測することで、テスト対策も行います。

選べる担当講師制度

東京個別指導学院・関西個別指導学院では、複数の講師の授業を体験することが可能です。

その上で、自分と相性が良い講師を相談して決定することができます。

担当講師は、お子さまの学習状況や志望校などの学習目標を把握しており、コーチング指導を用いながら、一人一人に合わせた対話型の授業を展開しています。

東京・関西個別指導学院の冬期講習キャンペーン

東京・関西個別指導学院の冬期講習の概要

東京・関西個別の冬期講習キャンペーン
対象学年	小学生/中学生/高校生
特徴	入会金無料＆1科目からでも受講OK!
料金	授業料シミュレーション
お申込み	2024年10月23日（水）～2025年1月7日（木）
冬期講習期間	2024年12月11日（水）～2025年1月7日（木）

東京・関西個別指導学院は、2024年12/11（水）～2025年1/7（木）まで冬期講習を実施しています。

東京・関西個別指導学院の冬期講習では、入会金無料かつ、1科目から受講OKとなっています。

対象としている学年は小学生～高校生まで対応しているので、どの学年でも冬期講習を受けることができます。

受験直前の対策や苦手単元の復習などしっかりと対策したいお子さまは、早めに冬期講習のお申込みすることをおすすめします。

冬期講習でも、実際に授業を受けて科目別に講師を選ぶことができ、1人ひとり専用の学習プランを作成して対応します。

東京・関西個別指導学院の冬期講習の料金・費用

東京・関西個別指導学院の冬期講習の料金・費用
入会金	無料
授業料	授業料シミュレーション

東京・関西個別指導学院は生徒一人ひとりカリキュラムが異なることから、冬期講習の料金を公開していません。

料金の詳細が気になる方は、授業料シミュレーションで確認してみてください！

東京個別指導学院への入会を迷われている方は、1科目から受講できるこの冬期講習を機にぜひ東京個別指導学院の指導を受けてみてはいかがでしょうか。

詳しい料金については、以下の公式サイトよりご確認ください。

冬期講習のコース内容

冬期講習の学年ごとのコース内容としては以下の通りです。

学年	学習内容
高校生 詳しい学習内容はこちら⇒	大学受験対策
	学年末テスト対策
	内申点対策
	内部進学フォロー
中学生 詳しい学習内容はこちら⇒	高校受験対策
	苦手克服・復習・予習
	内部進学フォロー
小学生 詳しい学習内容はこちら⇒	中学受験対策
	苦手克服・復習
	英語対策

東京個別は、講師と1対1か1対2で授業が受けられる個別指導なので、時間帯や科目、学習内容まで1人1人に合わせた完全なオーダーメイドカリキュラムを作成してくれます。

受験対策や苦手な科目の克服、勉強法の改善まで様々な目的に合わせて授業を進めることができます。

また、いつでも使うことのできる自習スペースや、授業の振替制度などの学習サポートも充実しています。

詳しくは、公式サイトから学年別の学習内容を確認してみてください。

東京・関西個別指導学院の料金

東京・関西個別指導学院の料金は以下の通りです。

東京・関西個別指導学院の料金
入塾金	0円
設備費	3,300円(税込)～（/月）
授業料	授業料シュミレーションはこちら

東京・関西個別指導学院の入会金は無料です。

一般的に入会金がかかる塾が多いので、東京・関西個別指導学院はお得に入塾することができます。

授業料は、公式サイトでは公開されていません。

詳細な授業料を知りたい方は、公式サイトより無料でできる授業料シミュレーションをお試しください。

授業開始までの流れ

東京・関西個別指導学院の授業開始までの流れは以下の通りです。

1. お問い合わせ
2. カウンセリング
3. 無料体験授業
4. 通塾スケジュールを決定

まず、公式サイトよりお問い合わせください。

その後カウンセリングを行い、学習状況や進路先の希望についてヒアリングをしていきます。

無料体験授業を希望の方は、受講をし、東京・関西個別指導学院の授業の質や進め方、教室の雰囲気などを知ってもらいます。

もし入塾をする場合は、その後の実際の通塾スケジュールを相談し、決定します。

無料の学習相談も実施中で、学習相談は学習や受験など勉強に関するアドバイスや悩みを聞いてくれます。

どなたでも受付中なので、お気軽にお申し込みください。

個別教室のトライ

個別教室のトライの基本情報
対象	幼児・小学生・中学生・高校生・高卒生
授業形式	1対1の完全マンツーマン指導
校舎	全国600教室以上

個別教室のトライは全国に約650校舎も展開する個別指導塾になります。

ぴったりの講師を選抜

個別教室のトライは、約33万人の登録講師のなかからぴったりな講師を選抜しています。

毎回同じ講師が授業を担当する専任制を採用しており、一人ひとりに合わせて適切な指導を行っています。

もし相性が合わないことがあれば、無料での講師交代が可能です。

また、講師は厳しい採用基準をクリアした講師のみを採用しています。

オリジナルのトライ式学習法

個別教室のトライでは、トライ式学習法というオリジナルの学習方法を取り入れて授業を行っています。

分かったつもりを防ぐ「ダイアログ学習法」、記憶の定着を計る「エピソード反復法」、脳科学理論を応用した「トライ式復習法」の3種類がある。

また、120万人のデータから生まれた「性格別学習法」を使って性格を9つのタイプに分け、性格タイプに合わせた授業を実施しています。

個別教室のトライの冬期講習

個別教室のトライは、2024年度の冬期講習を実施しています。

冬期講習の概要は、以下の通りです。

個別教室のトライの冬期講習
対象学年	小学生～高校生
冬期講習期間	2024/11/1~2025/1/31
料金	お見積りシミュレーション
校舎情報	全国650校舎 公式サイトで近くの校舎情報を確認する⇒
資料請求	まずは資料請求で詳しいカリキュラムをチェック！

個別教室のトライの冬期講習は、1人1人に合わせたオーダーメイドでカリキュラムを作成するので、目的に合わせた最適な冬期講習をご提案します。

個別教室のトライのオーダーメイド冬期講習のポイントは、以下の通りです。

お子さまの学習のお悩みで、「総復習を行いたいけど、何からしたらいいか分からない。」「いつも後回しにしてしまう。」「志望校までに合格したいが時間がない。」と考えている方は、個別教室のトライの冬期講習を受けてみましょう。

目的に合わせたオーダーメイド授業が受けられるので、一度ご検討してみてはいかがでしょうか。

お子様の学習で悩んでいることなどがあれば、一度トライに無料の学習相談をしてみてください。

個別教室のトライの冬期講習の料金・費用

個別教室のトライの冬期講習の料金
入会金	11,000円（税込）
【冬期講習】 費用・授業料	⇓⇓【簡単1分】冬期講習の費用が分かる⇓⇓ お見積りシミュレーション

個別教室のトライの料金は、1人1人のカリキュラムに合わせて作成するため料金が異なってきます。

そのため、目的や予算に合わせてカリキュラムを作成することができます。

料金の詳細は、以下のお見積りシミュレーションから確認してみてください。

公式サイトから30秒で簡単にお見積りができるので、気になる方はぜひ確認してみましょう。

個別教室のトライの冬期講習コース

個別教室のトライは、小学生～高校生まで対象に冬期講習を実施しており、それぞれの目的に合わせた指導を行います。

また、個別教室のトライの冬期講習では、冬期講習専用の教科書や教材を購入する必要がないので、安心して受講ができるでしょう。

コースの詳細は、以下の通りです。

個別教室のトライのコース
高校生 高校生のコースの詳細を確認する⇒	大学受験対策
	医学部・看護学部対策
	定期テスト/内申点対策
	総合型/学校推薦型選抜対策
	英語資格検定対策
	内部進学対策
	苦手科目対策
中学生 中学生のコースの詳細を確認する⇒	公立/私立高校受験対策
	定期テスト/内申点対策
	推薦入試対策
	苦手科目集中対策
	学校の授業サポート
	他塾との併用
小学生 小学生のコースの詳細を確認する⇒	学習基礎固め/学習習慣の定着
	中学受験対策
	算数/英語対策
	習い事と両立
	苦手克服

受験対策から苦手科目克服まで様々な目的に合わせることができるので、一度相談してみましょう。

そして、自分に合った目的で個別教室のトライを受講をしましょう。

個別教室のトライの冬期講習無料体験

個別教室のトライは、冬期講習期間で無料体験授業を実施しています。

小学生～高校生が対象で、1対1の授業が無料で受けることができます。

講師との相性や教室の雰囲気などを無料で体験することが出来るので、一度受けてみましょう。

また、料金プランも無料で作成してくれるので、相談しながら専用のオーダーメイドカリキュラムを作成してみてはいかがでしょうか。

また、冬期講習の詳細が書かれた資料については、公式サイトより30秒で資料請求が出来るのでお問い合わせしてみてください。

以下より、ぜひお気軽にお問い合わせをしてみてください。

個別教室のトライの料金

個別教室のトライの料金は以下の通りです。

個別教室のトライの料金
入会金	11,000円(税込)
月謝	お見積りシュミレーション
教材費	要相談

個別教室のトライの入会金は11,000円(税込)になります。

授業料は、一人ひとりのオーダーメイドのカリキュラムを作成し授業を実施しているため、公式サイトでの詳細な金額は公開されていません。

授業料を確認したい方は、公式サイトより無料でできるお見積りシミュレーションを使うと確認することができます。

簡単に確認ができるので、金額を確認したい方はお試しください。

個別教室のトライの授業開始までの流れ

個別教室のトライの授業開始までの主な流れをご説明します。

1. お問い合わせ
2. 教室長兼教育プランナーとの学習相談
3. 無料体験授業
4. オーダーメイドのカリキュラムの作成
5. お見積り作成
6. 契約
7. 担当講師の決定

まず公式サイトよりお問い合わせをしていただいた後、教室長兼教育プランナーである「トライさん」と進路相談や学習相談などを行い、トライのマンツーマン指導についてを知ってもらいます。

その後、無料体験授業を通して個別教室のトライの授業の進め方や教室の雰囲気を知ってもらいます。

学習相談のヒアリング結果を元にして、目標に向けたオーダーメイドのカリキュラムを作成します。

作成したオーダーメイドのカリキュラムから正式なお見積りを作成します。

ここまでは、完全無料で行っているサポートになります。

入会が決まれば担当講師を決定します。

空間ベクトルのおすすめの参考書・勉強法

空間ベクトルのおすすめの勉強法は、平面ベクトルを正確に理解することです。

今回学習したように、ベクトル方程式以外は全て平面ベクトルと同じ考え方で問題が解けます。

そのため、平面ベクトルが理解できていれば空間ベクトルも半分以上理解できていることになるのです。

平面ベクトルをマスターした上で、空間ベクトルのベクトル方程式のみ別途学習すれば、空間ベクトルはマスターできます。

まずは、平面ベクトルの問題を繰り返し解いて、平面ベクトルをマスターしましょう。

問題集の勉強範囲

空間ベクトルのおすすめの問題集の勉強範囲は以下の通りです。

これらの問題と併せて、平面ベクトルの問題も繰り返し復習しておきましょう。

前述のとおり、空間ベクトルの大半は平面ベクトルと同じ考え方で問題が解けます。

そのため、平面ベクトルについての理解を深めておくことが空間ベクトルの理解にも役立ちます。

土台を固めることが数学力向上には1番大切なので、基礎をおろそかにせず着実に学習しましょう。

まとめ

今回は、空間ベクトルについて解説しました。

本文で見てきたように、空間ベクトルを理解するには、平面ベクトルを理解しておくことが重要です。

ベクトル方程式以外は、平面ベクトルで学習した考え方をそのまま取り入れれば、問題を解けます。

基本に忠実に学習すれば必ず理解できるようになります。

わからない部分があれば、本記事や平面ベクトルを解説した記事を見直して、理解を深めるようにしましょう。