反復試行の確率・条件付き確率とは？公式や求め方をわかりやすく解説
確率の応用問題に挑戦したことはありますか？
応用問題ともなると、なんだか抽象的な説明でよく分からず、挫折してしまった経験がある方も多いかもしれません。
今回は反復試行の確率・条件付き確率の求め方について、わかりやすく解説します。
練習問題もついているので、ぜひ解きながら理解を深めるようにしましょう。
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反復試行の確率
まずは、反復試行の確率について学習します。
反復試行とは、同じ試行を何回も繰り返し行うことで、それぞれの事項が独立であるような試行のことです。
それでは、早速例題を使いながら学習していきましょう。
反復試行の確率の求め方は？
反復試行の確率の求め方を例題を使って学習していきます。
例えば「サイコロを5回振って、そのうち3回2の目が出る」のような問題です。
このような問題の解き方もポイントは、注目している事象、例えば今の例で言うと、「2の目が出る」事象が起こる回数を数える点です。
サイコロを5回振って2の目が出るパターンや、1・3・5回目に2の目が出て2・4回目に2の目が出ないパターンなどがあります。
このパターンは、5ヶ所から3ヶ所を選べば良いので、5C3で計算できます。
5C3を計算すると、パターンは10通りあることがわかります。
つまり5回のうち3回2の目が出る場合の数は10通りです。
これがわかればこの反復試行の確率の計算は簡単です。
独立試行であるかどうかの見分け方
それでは、続きの解法を見ていきましょう。
最初の3回2の目が出てそれ以外が2の目以外であるパターンにおいて、それぞれ1回目に2の目が出る確率や、2回目2の目が出る確率を考えてみます。
1回目に2の目が出る確率はもちろん6分の1です。
2回目に2の目が出る確率も、これは1回目の結果に影響を受けない「独立」なので、やっぱり6分の1です。
3回目も6分の1になります。
4・5回目は、2の目以外が出る確率なので、6分の5となります。
そしてこれらの試行はお互いに影響を与えない確率なので、全部かければ、このパターンの確率が求められることになります。
つまり6分の1の3乗×6分の5の2乗という計算になります。
ただ、これが答えではありません。
あくまで1・2・3回目が2、4・5回目は2以外の目が出るパターンの確率の計算をしただけに過ぎません。
それでは、もう1つ具体的に計算してみます。
例えば1・2・5回目に2の目が出て、3・4回目は2以外の目が出るパターンについて見ていきます。
これも先ほどと同じように、1・2・5回目の確率は6分の1になり、3・4回目の確率は6分の5になります。
これらは全て「独立」なので、すべて掛け合わせることができます。
すべて掛け合わせると、先程と同じ結果になります。
6分の1の3乗×6分の5の2乗です。
今2つの例を扱いましたが、他のパターンでも、すべて同じ確率になるはずです。
また、すべて同じ確率であるのみならず、すべて排反です。
排反とは同時に起こらない確率のことでした。
従って、この全ての6分の1の3乗×6分の5の2乗を足すことができます。
合計で5C3=10通りのパターンがあるので、以下のような計算式を使うと、場合の数の計算ができます。
「5C3×6分の1の3乗×6分の5の2乗」となります。
反復試行の確率の計算問題
それでは、反復試行の確率の計算問題を1問解いてみましょう。
「今度は3本中2本当たりがあるくじから、1本だけくじを引いて当たりかどうか確認するという試行を6回繰り返したとき、その6回中に4回当たる確率」を求めてください。
できましたでしょうか？
今回もくじを引いたら毎回元に戻します。
元に戻すということは、1回目に当たりが出たかどうかは、2回目3回目に影響しません。
よって、それぞれの試行は独立の試行になります。
それでは、ある1つのパターンを考えましょう。
当たる確率は7分の2、外れる確率は7分の5となっています。
よって、ある1つのパターンの確率は、7分の2の4乗×7分の5の2乗です。
ただ、これは答えではありません。
同じような確率が6C4分ありますよね。
なので、求める計算式は「6C4×7分の2の4乗×7分の5の2乗」となります。
CHECK
- 反復試行とは同じ試行を何回も繰り返しそれぞれが独立である試行
- ポイントは注目している事象が起こる確率
- 独立の場合はすべての確率を掛け合わせることができる
条件付き確率の求め方は？
続いて、条件付き確率について勉強します。
条件付き確率とは、苦手とする人が多い分野なのですが、カルノー図という図を書くととても簡単に解くことができるようになります。
-
よって、細かい原理原則について学習するよりも、カルノー図の作り方とその使い方だけを勉強するようにしましょう。
条件付き確率はカルノー図で理解する
それでは、まず、具体例を使って解説していきます。
カレーが好きな人が75%、ハンバーグが好きな人が60%で、どちらも好きな人が35%いるクラスを考えます。
このときのカルノー図を書いてみます。
縦の列にはカレーが好きか好きではないかを、横の行にはハンバーグが好きか好きではないかを書きます。
カレーが好きな人は75%いるので、左の列が75％になります。
続いて、横の行を見てみると、ハンバーグが好きな人は60%いるので、上の行が60％となり、下の行はハンバーグが好きではない人で40%になります。
そして最後にどちらも好きな人は35%であることから、左上の場所が35％となります。
これでカルノー図の完成です。
これさえ書ければこの問題は簡単に解くことができます。
例えば、カレーが好きな人から1人選んで、その人がハンバーグも好きな確率を求めてみます。
まず、カレーが好きな人の割合は75%。
左側の列に当たります。
その人のうち、ハンバーグも好きということは、カレーもハンバーグも好きということなので、左上の35％が、それに当たります。
今出した2つの数字を分数にすれば良いだけです。
75％のうちの35％がカレー好きの中のハンバーグ好きとなるので、75％分の35％となり、答えは15分の7となります。
条件付き確率の計算問題
それでは、条件付き確率の計算問題にも挑戦してみましょう。
「ある集団の中で、ある病気に感染している人が20%いるとします。
その病気に感染している人が検査のときにちゃんと陽性だと言われる確率は90%だとします。
-
つまり、陽性であることが当たる確率が90%となります。
また、感染していない人で検査を受けたときに間違って陽性だと言われてしまう確率は20%だとします。
」まずはこのときのカルノー図を書いてみましょう。
できましたでしょうか？
まず、事象が2つあります。
感染しているかしていないかという事象と、検査をして陽性か陰性かという事象です。
それぞれ縦が感染しているかしていないかと横が検査をして陽性か陰性かを記します。
感染している人が全体の20%なので、左側の列のところに20%、そして右側の列は、それ以外の感染していない人なので、80%と書きます。
それでは、この状況において、次の問題を考えてみましょう。
「検査を受けて陽性だった人が実際に病気に感染していた確率は何でしょう？」
わかりますでしょうか？
これは上の行の陽性である部分が分母になり、そして陽性かつ感染しているという左上の部分が分子になれば良いのです。
なので、左上の四角と、あと右上の四角に含まれる
確率がわかれば答えを導くことができます。左上の四角に含まれる確率の計算方法は、感染している人が陽性と判定される確率なので、感染した人が20%、そのうちの90%が陽性という数字を使います。
よって、90%×20%の18%が感染していて陽性だと判定される人になります。
続いて、右上の四角のところは感染していない人が陽性だと判定される確率です。
感染していない人は80%いて、そのうちの20%は間違って陽性と判定されます。
なので、右上の確率は80%×20%で16%になります。
つまり、上の行の確率は18%+16%で34%ということになります。
これが分母になって、分子は左上の四角の18%です。
これを計算すると17分の9という結果になります。
このようにカルノー図を使って整理すると、概念的に説明されるような条件付き確率も機械的に計算することができます。
ぜひ使ってみてください。
CHECK
- 条件付き確率はカルノー図を使うのがおすすめ
- 概念的な説明も機械的に計算できるようになる
- カルノー図で求めた数字をそれぞれ分数に落とし込むだけ
反復試行の確率・条件付き確率のおすすめの参考書・勉強法
確率のおすすめの勉強法は、基礎的な問題を何度も繰り返し解くことです。
今回ご紹介したのは応用問題ですが、解き方さえ習得すれば難易度はあまり高くありません。
そのため、今回のような問題も基礎問題として扱い、何度も繰り返し学習することで、多くのパターンの問題を解くことができるようになります。
-
さらに、反復試行の確率や条件付き確率を用いた応用問題も出題されることがあるので、それに備えて基礎力を養っておくことが非常に大切です。
そのため、基礎となる問題を何度も繰り返し解くことで、解ける問題の範囲を増やしましょう。
問題集の勉強範囲
反復試行の確率・条件付き確率のおすすめの勉強法は、以下の問題集の範囲を繰り返し解くことです。
- 青チャート【第2章確率】6事象と確率、7確率の基本性質
- サクシード【第1章場合の数と確率】10事象と確率⑴、11事象と確率⑵、12確率の基本性質、13独立な試行の確率
- 4STEP【第1章場合の数と確率】6事象と確率、7確率の基本性質、8独立な試行の確率
- Legend【第6章場合の数と確率】15確率の基本性質
反復試行の確率・条件付き確率はよく出題される分野になっているので、習得しておくことで非常に楽に学習を進めることができるようになります。
ぜひ、ここにご紹介したような問題を何度も解き、身につけていきましょう。
また、これらの問題を完璧に解けるようになったら、確率のあらゆる応用問題にもチャレンジできるようになります。
共通テストレベルの応用問題に挑戦し、さまざまな問題パターンに触れましょう。
CHECK
- 反復試行の確率・条件付き確率はよく出題される
- 応用問題だが基礎を押さえ確実に反復練習
- 基礎が完璧になったら共通テストレベルにも挑戦
高校数学を基礎から勉強するなら「オンライン数学克服塾MeTa」
| オンライン数学克服塾MeTaの基本情報 | |
|---|---|
| 対象 | 中学生・高校生 |
| 授業形式 | オンライン（個別1対1、集団） |
| 特徴 | 数学克服・対策に特化したオンライン専門塾 |
オンライン数学克服塾MeTaの強み
オンライン数学克服塾MeTaは、数学の学習に特化したオンライン個別指導塾です。
マンツーマンの1対1指導で、各生徒との対話を意識して、思考力向上を狙った指導を行っています。
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オンライン数学克服塾MeTaの合格実績
| オンライン数学克服塾MeTaの合格実績 | |
|---|---|
| 北海道大学 | 筑波大学 |
| 横浜国立大学 | 明治大学 |
| 広島大学 | 静岡大学 |
| 岐阜大学 | 高知大学 |
上記は2023年度の最新の合格実績になります。
国公立大学から難関私立大学までさまざまな大学に合格者を輩出しています。
CHECK
- 思考力の向上を狙った指導
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反復試行の確率・条件付き確率を勉強するなら「湘南ゼミナール」
湘南ゼミナール
| 湘南ゼミナールの基本情報 | |
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【2025年】湘南ゼミナールの冬期講習
| 【2025年】湘南ゼミナールの冬期講習 | |
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湘南ゼミナールの冬期講習の料金・費用
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|---|---|
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| 湘南ゼミナールの料金・授業料 | |
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基礎的な問題を繰り返し学習する
今回は、反復試行の確率・条件付き確率について解説しました。
一般的に確率の応用問題として捉えられがちですが、今回解説した内容をきちんと理解することができれば、あまり難しくない分野であると言えます。
学習した内容を基礎問題だと考え、何度も繰り返し学習すれば、必ず解けるようになります。
ぜひ繰り返し解いて、基礎問題をマスターしましょう。
【初心者でもわかる】この記事のまとめ
「反復試行」に関してよくある質問を集めました。
反復試行の確率の計算方法は？
反復試行の確率の計算方法は、まず、あるパターンにおいての確率を求めます。そして、他のパターンにおいても同様の計算結果となるので、いくつパターンがあるのかを計算し、掛け合わせます。これだけで反復試行の確率を導くことはできます。反復試行の確率の計算方法の詳細はこちらを参考にしてください。
条件付き確率の求め方は？
条件付き確率の求め方はカルノー図を使うとやりやすくなります。問題文から読み取れる範囲でカルノー図を描き、それをもとに分数に当てはめていくだけで簡単に求めることができます。カルノー図を使わないと難しい考え方をしなければならなくなるので、ぜひカルノー図を使いましょう。条件付き確率の求め方についてはこちらを参考にしてください。
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