それでは、グラフの概形を求めましょう。

増減表は以下のようになります。

x	…	0	…	4	…
y’	-	0	+	0	-
y	↘︎	4	↗︎	36	↘︎

よって、y=-x³+6x²+4のグラフは、頂上がx=4、谷底がx=0となるグラフであることがわかります。

3次関数のグラフの特徴

ここで、3次関数のグラフの特徴について解説します。

1次関数は直線、2次関数は放物線のように、グラフの形を一言で表すことができます。

しかし、3次関数は一言で表すのが難しい形をしています。

例題で使用したグラフを見てみると、山が1つ、谷が1つのグラフになっています。

3次関数は、多くの場合で山と谷が1つずつ現れるような形になるのです。

※山と谷が出てこない場合もあるので注意してください。

a>0のときのグラフの形

3次関数のグラフは、a>0の時は山が左で谷が右になります。

なお、aとはx³の係数（y=ax³+bx²+cx+1）を表しています。

すなわち、3次関数の式を見たときに、最初の数字が正であれば、左に山、右に谷の形になります。

a<0のときのグラフの形

一方、a<0のときは山が右で谷が左になります。

左上から降りてくるように谷を作り、続いて少し浮上して山、最後に右下に降りていく形です。

3次関数の式を見たときに、最初の数字が負であれば、右に山、左に谷の形が作られます。

3次関数の極値と変曲点を理解する

ここでは、3次関数の極値と変曲点について学習します。

極値や変曲点について理解することで、3次関数の理解を一段と深めることができるでしょう。

3次関数の極値

まず、3次関数の極値から解説します。

先ほど、3次関数について、多くの場合で山と谷が1つずつあると紹介しました。

その山の点を「極大」、谷の点を「極小」と呼び、極大・極小における関数yの値を「極値」と呼びます。

言い換えると、グラフの接線の傾きが+から-に変わる点が極大、-から+に変わる点が極小です。

また、3次関数のグラフでは、山と谷が現れない場合もあります。

では、どの場合に極大・極小が現れるのでしょうか？

なお、極大・極小が現れる場合を「極値を持つ」とも表現します。

3次関数の変曲点

続いて、3次関数の変曲点について解説します。

変曲点とは、曲線上において、接線の傾きが単調に増加するところから単調に減少するのに切り替わる点のことです。

計算上では、関数f(x)を2回微分したf’’(x)の符号が切り替わる点を指します。

関数の変曲点は、接線の傾きの増減について以下の性質を示します。

このことを理解することで、変曲点についての理解を深めることができるでしょう。

また、3次関数の変曲点には以下の性質が成り立つことも理解しましょう。

3次関数のおすすめの参考書・勉強法

同じ問題を繰り返し学習するので構いません。

一度解いた問題でも、少し時間が経てば解き方を忘れてしまう可能性もあります。

ある問題が完璧に解けるようになれば、違う問題が出題されても数値を変えて計算するだけなので、十分対応が可能です。

そのため、同じ問題を何度も繰り返し学習することで、3次関数の解き方を身につけましょう。

問題集の勉強範囲

3次関数のおすすめの勉強法は、以下の問題集の範囲を繰り返し解くことです。

これらに該当する問題、または学校や塾で使う問題集を解けるようになるまで繰り返し学習することが大切です。

共通テストレベルの応用問題に挑戦する際も、基礎が定着しているかどうかで学習の理解度に大きな差が出ます。

そのため、何度も繰り返し学習することで深く理解できるようにしていきましょう。

3次関数を勉強するなら「オンライン数学克服塾MeTa」

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対象	高校生
授業形式	1対1のオンライン個別指導
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なぜ「オンライン数学克服塾MeTa」がおすすめなのか、その理由を2つ紹介します。

論理的思考力を養うソクラテスメソッド

オンライン数学克服塾MeTaでは、ソクラテスメソッドを使った学習を行っています。

ソクラテスとは、有名な哲学者の名前ですが、ソクラテスが編み出した対話による学習法を数学にも応用して採用しているのです。

対話により論理的思考力を養うことで、数学を理屈から理解できるようにし、暗記数学からの解放を目指しています。

学習計画を毎月作成

オンライン数学克服塾MeTaでは、学習計画を毎月作成しています。

数学が苦手であれば、他の科目やゲームなどに逃げてしまい、勉強時間を十分に確保できないことがあるでしょう。

そこで、学習計画を作成することで、後回しにせず数学の学習に時間を使えるようにするのです。

また、一方的に学習計画を押し付けることはせず、個別面談を通して一緒に考えていくので、「やらされた勉強」になりにくいように工夫がされています。

まとめ

今回は、3次関数のグラフの書き方について学習しました。

微分を使って増減表に記載することで、グラフの概形を求めることができます。

また、極値や変曲点についても理解をしておくと良いでしょう。

グラフを書けるようにするためには何度も繰り返し練習することが大事です。

ぜひ今回の記事を何度も見返して、理解を深めていきましょう。