一般項を求める問題

今回、勉強するのは「階差数列」です。

階差数列とは、並んでいる数字同士の差の値が数列になっているものを指します。

では、階差数列をつくり出している元の数列の一般項を求めましょう。

とはいえ、不規則に並んでいる数列は極めて計算しづらいです。

そこで、数が最も小さい項を使って考えます。

ここで、一度以下のように数列をまとめます。

次に「a3」の作り方について説明します。

10を作るためには、同じようにa1とb1の数字を合わせます。

双方を足し算すると、この問題では5と求めることができました。

階差数列の和を求める方法

つづいて、階差数列の和を求めます。

数列｛bn｝はそれぞれ初項3、公差2です。

ここで、和の公式である「an=a1+(n-1)d」に当てはめます。

すると、「bn=3+(n-1)×2」と式が作れるはずです。

これを計算すると「bn=2n+1」とまとめられます。

次に数列{an}の和を求めましょう。

計算するときは数列の問題で頻繁に用いられる「Σ」を利用します。

kは変数を指し、nは足し終わるときの番号を表しています。

例えば、Σ3k=1(k)とある場合は、「1＋2＋3」と計算されて答えが6です。

上記で求めた数列の一般項について、Σを使いながら和の値を算出します。

anの値は「an=a1+(b1+b2・・・bn-1)」で求めることができました。

ただし、Σのnの部分が「n-1」であることに注意してください。

この一連の流れが、階差数列の和を用いた一般項の計算方法です。

階差数列の和においては、初項から（n-1）項を足すと押さえましょう。

等比数列で一般項を求める問題

では、上述とは異なる数列を使って再度一般項を求める問題の解説をします。

（1）1,4,13,40,121,364,…

同じように階差数列の値を求めましょう。

隣り合っている数字の差を各々求めていくと、以下のように求められます。

（1’）3,9,27,81,243,…

この階差数列の規則性を掴むことはできましたか。

先程の等差数列とは異なり、右へ進むに連れて数がどんどん大きくなっています。

しかし、あまりにも数字が大きくなりすぎて、規則性をどのように見つけたらいいかわからないかもしれません。

ここで、（1’）の数列を確かめましょう。

隣り合っている数字は全て「3の倍数」となっており、加えて1番左から順番に3を掛けると右隣の値になっています。

これらの要素をまとめると、（1’）の数列は数字が3の倍数ずつ変化する等比数列です。

先程と同じく、最初に問題として出された数列と、等比数列となっている階差数列を整理しましょう。

では、階差数列の和を用いつつ、一般項の計算をします。

階差数列の和を求める方法

階差数列の和を求める前に、等比数列の初項と等比を導き出します。

数列｛bn｝を確認すると、初項の値は3です。

また、隣り合っている数字は全て3の乗数となっているため、公比も3と簡単に分かります。

前題と同じく、等比数列の公式に当てはめることが一般項を求めるカギです。

等比数列は次の公式で一般項を表せます。

「an=arn-1」（第n項=初項×公比n-1）

｛an｝をΣで表した式が、「an=a1+Σn-1k=13K」です。

a1は｛an｝の数列から当てはめて1と表せます。

しかし、Σn-1k=13Kの求め方が複雑です。

最もわかりやすい方法として「等比数列の和の公式」を使って解説しましょう。

あとは、それぞれの数字をまとめていくだけです。

ちなみに、「3×3n-1」の求め方は係数が同じ数であるため、指数を+1すると覚えましょう。

つまり、3n-1+1と表すことができ「3n」となります。

　

指数の計算も生かしつつ、再度anをまとめると「an=1+3n-3/2」となり、最終的な答えは「an=1/2(3n-1)」です。

こちらが、等比数列の和の公式を用いた、階差数列の一般項の解となります。

漸化式とは？

最後に階差数列の漸化式について解説しましょう。

高校数学以外ではあまり聞き慣れない言葉ですが、漸化式とは「複数の項の関係式」を指します。

こちらも規則性を確かめるうえで非常に重要な考え方です。

漸化式が存在することにより、経済の動向や環境問題などと将来の予測が必要な研究の精度が高まります。

漸化式の求め方には、さまざまなパターンがあります。

ここでは、階差数列を使った漸化式の求め方をまとめます。

もし、項数のn+1の値を求めたい場合の公式は「an+1=an+bn」です。

要するに、n項に階差数列の一般項を足すことで漸化式が作れます。

一般項を求める問題

最後に、階差数列の漸化式を使った練習問題で計算方法を紹介します。

練習）次の数列｛an｝の一般項を求めよ。

ただし、n=1,2,3・・・とする。

a1=1,an+1=an+2n-3

この問題で重要なポイントはΣを適切に使うことです。

例題の式を整理していきながら、最後にΣを用いて数列の一般項を求めます。

次にΣn-1k=1(bk）の値は、「Σn-1k=12k-3」です。

ここで、上述でも紹介したΣの公式を活用します。

ただし、あくまで階差数列であるため「Σn-1k=1」となることに注意してください。

公式もこのように変化します。

階差数列のおすすめの勉強法・参考書

階差数列のおすすめ勉強法は、問題集を何度も繰り返し解きながらパターンを押さえることです。

まず、数列の基本である等差数列や等比数列の公式は必ず覚えなければなりません。

特に階差数列はこれらの数列とは異なり、問題に出されても最初のうちは上手く見つけられない人もいるでしょう。

そのため、さまざまな問題にチャレンジして特徴を掴む必要があります。

また、階差数列の一般項を求める問題では「Σ」を使った計算が頻繁に用いられます。

速く確実に解くためには、公式を使いこなし計算スピードを上げることが大切です。

数Bの範囲を難しく感じる方も多いでしょう。

しかし、解き方を覚えてしまえば点数に繋げられます。

基本的な問題から始めましょう。

問題集の勉強範囲

階差数列の勉強をしたいのであれば、以下の問題集がおすすめです。

問題集を解く際には、慣れないうちは基本問題から順番に進めるといいでしょう。

難しい問題に挑戦するよりも、簡単な問題を繰り返し解いたほうが有効です。

まずは、階差数列の一般項の求め方を確実に押さえます。

基本的な問題は解き方のパターンを頭に入れておけば、しっかりと解を求めることができます。

また、階差数列の一般項を計算していくうえで、漸化式やΣの意味などの理解も必須でしょう。

もし、これらの内容に不安を覚えているのであれば、併せて学習する必要があります。

数列はややこしい公式も多く、使いこなすのは簡単ではないかもしれません。

しかし、ベクトルと比べると定義自体はイメージしやすいはずです。

少しずつ問題に慣れていけるよう練習しましょう。

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この方法をマスターすれば、応用問題にも上手く対処できるようになります。

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まとめ

　

今回は、数Bの範囲である「階差数列」について解説しました。

階差数列とは、隣り合った数字の差が等差数列になっている数列です。

はじめのうちは、形を見つけるだけでも大変かもしれません。

もし、等差数列や等比数列にならない数列があったら、まずは階差数列の可能性を疑ってみましょう。

また、一般項を求める問題では、漸化式やΣといった内容も押さえる必要があります。

要するに、数列の範囲をある程度網羅的に押さえておかなければなりません。

問題に慣れるためには、問題集を繰り返し解くことが必要不可欠です。

オンライン数学克服塾MeTaの活用も検討しつつ、階差数列が出題されても解けるよう勉強を進めていきましょう。