中学校で学習した「集合と命題」を覚えていますか？

中学でも学習しましたが、高校でもさらに内容を深掘りして学習します。

集合と命題では、基礎的な内容を定着させるために問題を繰り返し解くことが大切です。

今回は、集合と命題について、集合の記号の表し方や命題のパターンなどを解説します。

 

集合の記号の表し方と問題を解くコツとは？

集合とは、それに属しているか属していないか、はっきりと区別できる集まりのことです。

例えば「1以上の整数」や「偶数」などが挙げられます。

また数字に関した物だけでなく、「学校のサッカー部員」なども集合にあたります。

ただ、「イケメン」や「大きな数」などは、人によって区別の判断が異なり区別することができないので、集合とは言えません。

集合の記号の表し方

ここから、集合の記号の表し方について解説します。

集合の記号の表し方は、2通りあります。

1つ目は、集合の中身を全て書き並べる方法です。

面倒くさいのですが、確実に数えられる方法です。

2つ目は、{x | xは2から10までの偶数}のように、集合の中の要素をまずXと書き、その横に縦棒、その横にXの説明をする方法です。

これだと書き並べることができないような集合でも表すことができるので便利です。

集合では、6つ覚える記号があります。

これさえ覚えれば、集合の記号の表し方については心配ありません。

1つ目の「」は、「要素」を表します。

「aA」は、「aは、Aの要素です」という意味です。

また、「」という記号は「要素ではない」という意味を表します。

ちなみに、「」という記号は、"Element"という英単語の頭文字が由来となっています。

2つ目の「」は、「部分集合」です。

集合の中に集合が入ってるというパターンです。

例えば「Aは3と4と5」、「Bは1以上の整数」とすると、AはBの中にすっぽり入ります。

つまり、集合の中に集合が入っているので、AはBの部分集合であるといいます。

式としては、「AB」と表します。

3つ目の「」は、共通部分です。

共通部分とは、複数の集合に共通して含まれる部分のことです。

例えば、次のような3つの集合があるとします。

A={2,3,4,5}、B={3,4,5,6}、C={0,5,10,15}

AとBの共通部分はわかりますか？

共通している部分を探せば良いので、「3,4,5」だとわかります。

これを式で表すと、「AB={3,4,5}」となります。

今度はAとBとCの共通部分を探してみましょう。

答えは「5」ですね。

式では、「ABC={5}」と表します。

4つ目の「」は、和集合です。

和集合とは、複数の集合がある場合、いずれかの集合に含まれていればその要素として認められるというパターンです。

例えば、先ほどと同じ3つの集合がある場合、AとBの和集合はAとBに含まれる要素全部なので、要素は「{AB=2,3,4,5,6}」となります。

また、AとBとCの和集合の要素は「{ABC=0,2,3,4,5,6,10,15}」となります。

5つ目の「」は、空集合です。

これはギリシャ文字で「パイ」と読みますが、「中に要素が1個もない」ことを表します。

数字で言うと「0」のようなものです。

6つ目の「A」は、（Aの）補集合です。

補集合とは注目している集合に属さない集合のことです。

「じゃない方」というイメージがわかりやすいかもしれません。

例えば、「偶数の補集合は奇数」というものになります。

ド・モルガンの法則

続いて、ド・モルガンの法則を説明します。

「〜の法則」とついているので、難しい印象を持たれる方もいると思いますが、そんな心配は必要ありません。

言葉だとわかりにくいのですが、絵で考えると非常にわかりやすくなります。

また、ド・モルガンの法則を使った問題を解くときには、記号を作ることができれば大丈夫です。

これさえわかれば、ド・モルガンの法則は心配いりません。

練習問題に挑戦

では、集合の練習問題をやってみましょう。

A={x|xは奇数}、B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

「AB」の要素を考えてみてください。

できましたか？

この問題は、記号に照らし合わせて中身の数字を考えればOKです。

答えは、「AB={2,4,6,8,10}」となります。

命題の記号とパターンのまとめ

ここからは、命題の記号とパターンについて解説していきます。

練習問題も載せているので、解きながら内容を定着させていきましょう。

命題とは？考え方のコツを解説

命題とは、「正しいか正しくないかを判断できる文章や式」のことです。

例えば、「1は2より小さい」という文章は、正しいです。

あるいは、「1は2より大きい」という文章は、正しくありません。

これは、どちらも正しいか正しくないかを判断できるので、命題です。

ただ、「カレーは美味しい」は命題ではありません。

人の好みの問題であり、正しいか正しくないかは言えないからです。

高校数学では、特に「もしもPだったらQである」という構造の文章について扱います。

この文章は記号にすると、「P→Q」のように矢印を使って書くことができて、Pのことを仮定、Qのことを結論といいます。

ここで例題です。

次の3つは、それぞれ命題でしょうか？それとも命題ではないでしょうか？

逆・裏・対偶の命題

命題のPやQは条件と言いますが、これを否定することができます。

例えば、先ほども出した「猫→動物」という命題について考えてみます。

この命題の裏は、「猫じゃないならば、動物じゃない」となります。

また、PとQの順番を入れ替えると、逆の命題を作ることができます。

例えば先ほどの例題で言うと、「動物ならば猫」のようになります。

そして、次がかなり大事なのですが、「対偶」という命題があります。

待遇とは、裏の逆、あるいは逆の裏の命題です。

先ほどの例で言うと、「動物じゃないなら猫じゃない」となります。

ここで大事なのは、対偶の関係にある命題の真偽は、元の命題と必ず一致する点です。

練習問題に挑戦

では、命題の逆、裏、対偶に関する練習問題を解いてみましょう。

「x>1→x²>1」の逆、裏、対偶を考えてみてください。

できましたか？それでは、解答を見ていきましょう。

この命題「P→Q」は、真であればPには仮定、Qには結論という名前がついていますが、そのほかに、「必要条件」と「十分条件」という名前もつけられます。

矢印の根元が十分条件で、矢印の先が必要条件です。

必要条件と十分条件を答えさせる問題は多く出るので、確実に覚えておきましょう。

では、もう1問、練習問題をやってみましょう。

「次の条件Pは、Qに対して必要条件でしょうか、十分条件でしょうか。」

「P：x>0、Q：x²>0」

わかりましたか？

集合と命題のおすすめの参考書・勉強法

集合と命題のおすすめの勉強法は、基礎的な内容を定着させることができたら、さまざまな問題のパターンにたくさん触れることです。

集合と命題は、多くの問題パターンがあるので、1つでも多くのパターンに触れることで、テストでも落ち着いて対処することができます。

ただ、基礎的な内容が定着していないと、さまざまな問題のパターンを解いても身につかないので、まずは基礎的な内容を定着させることができるように、繰り返し問題を解いて練習しましょう。

問題集の勉強範囲

集合と命題のおすすめの勉強法は、以下の範囲の問題を繰り返し解くことです。

さまざまな問題パターンが載っているので、多種多様なパターンに対応することができるようになります。

基礎的なパターンが網羅できていない状態で難しい問題に取り組んでも、あまり定着しません。

大事なことなので繰り返し言いますが、基礎的な問題を何度も練習し、完璧に解けるようにすることが非常に大切です。

ここに挙げた基礎的な問題を完璧に解けるようになってから、難しい応用問題に挑戦するようにしましょう。

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東進

東進

　

東進の基本情報
対象学年	中学生、高校生、高卒生
校舎	全国1,100校舎以上

東進ハイスクールの特徴

東進は、映像授業と担任指導を組み合わせた独自の学習システムが特徴です。

全国のトップ講師による授業を自宅や校舎で受けられるため、効率的に受験対策を進めることができます。

また、担任や担任助手が学習計画の作成から進捗管理までサポートし、生徒一人ひとりに合わせた学習環境を提供しています。

これにより、志望校合格に向けたモチベーション維持と自己管理能力の向上が期待できます。

さらに、全国統一模試や共通テスト対策講座など、大学受験に直結する実践的なコンテンツも充実しており、多くの合格実績を支えています。

東進の料金

東進ハイスクールの料金(税込)
入学金	33,000円(税込)
担任指導費	受験生：55,000円(税込)～
	高2生以下：27,500円(税込)～
模試費	受験生：22,000円(税込)～
	高2生：11,000円(税込)～
	高1生・高0生：8,800円(税込)～
通期講座受験料/1講座	82,500円(税込)/講座

東進ハイスクールの主な費用は、入学金33,000円（税込）です。

担任指導費は受験生55,000円～／高2生以下27,500円～（税込）となっています。

模試費は受験生22,000円～／高2生11,000円～／高1・高0生8,800円～（税込）です。

また、授業にあたる通期講座受験料は1講座82,500円（税込）です。

選択講座数や校舎、時期のキャンペーン等で変動するため、最新情報の確認を推奨します。

【2026年】東進の春期特別招待講習

【2026年】東進の春期特別招待講習
対象学年	高校0年生～高校2年生 ※高校0年生は中学3年生です。
受付期間	2026年1月18日 ～ 3月27日
講習期間	～2026年4月10日まで
授業料	通常1講座20,900円(税込)相当の講習 最大4講座(83,600円分相当)が無料！ 春期特別招待講習の詳細はこちら⇒
春期講習のポイント	最大4講座(83,600円相当)が無料
対象校舎	全国約1,100校舎で実施 お近くの校舎を探す⇒
お問い合わせ	春期特別招待講習のお問い合わせはこちら⇒

東進では、2026年の春期特別招待講習を実施しています。

東進の春期特別招待講習では、通常1講座20,900円(税込)が最大4講座(83,600円相当)分無料で受講することができる、お得なキャンペーンとなっています。

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また、過去100万人の東進生の学習履歴などの膨大なデータを活用し、生徒により効果的で効率の良い学習指導を提供しています。

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東進の春期特別招待講習の料金

東進の春期特別招待講習の料金
入会金	無料
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83,600円分相当が無料になるため、東進のハイレベルな講師による質の高い授業をお得に体験するチャンスです。

この機会に是非東進の授業を体験して、他の生徒と差をつけましょう。

東進の春期特別招待講習のコース

東進の春期特別招待講習の講座は、以下より選ぶことができます。

東進の春期特別招待講習の講座一覧
高校0・1年生コース 詳細を確認する⇒	英語
	数学
	国語
	理科
	地歴
	総合問題・小論文
高校2年生コース 詳細を確認する⇒	英語
	数学
	国語
	理科
	地歴
	総合問題・小論文

東進の春期特別招待講習では、上記の科目から選択でき、それぞれ超基礎〜最難関までの講座を受講できます。

自分のレベルや学習したい科目に合わせて講座を選べる点が大きな特徴です。

さらに、大学受験に欠かせない総合問題対策や小論文対策のコースも用意されており、目的に応じた有意義な学習が可能です。

東進の合格実績

東進は、多くの難関大学へ合格者を輩出しています。

2025年の合格実績は、以下の通りです。

大学名	合格者数
東京大学	815名
京都大学	488名
早稲田大学・慶応大学	5,628名

東京大学へ800人以上の合格者を輩出しており、高い合格実績を持っています。

他にも旧七帝大やMARCH、関関同立へ多くの合格者も輩出しています。

東進の指導力やカリキュラムが、目標達成に非常に効果的であることがわかります。

東進の春期特別招待講座の申込方法

ここでは、東進の春期特別招待講座のお申し込み方法をご説明します。

1. 公式サイトよりお申し込み
2. 学力診断と面談を受講
3. テキストを受け取り受講開始

まず、公式サイトより春期特別招待講座にお申し込みを行ないます。

その後、問い合わせた校舎よりメールまたは電話で連絡を受け取り、来校日時を決定します。

来校日時が決定したら、受講準備のための学力診断と面談を個別に実施し、生徒に合わせた最適な個別カリキュラムを作成します。

テキストを受け取ったら、個別カリキュラムに沿って指導が開始されます。

多くのパターンを実践を通して勉強しよう

今回は、集合と命題に関する内容を解説しました。

集合と命題では、基礎を定着させた上でさまざまなパターンの問題を解くことが大切です。

たくさん問題を解くことで、パターンを掴むことができるようになり、難問にも挑める力がつきます。

さまざまなパターンを網羅することができたら、共通テストレベルの難しい問題にも挑戦してみてください。