中学校で学習した「集合と命題」を覚えていますか？

中学でも学習しましたが、高校でもさらに内容を深掘りして学習します。

集合と命題では、基礎的な内容を定着させるために問題を繰り返し解くことが大切です。

今回は、集合と命題について、集合の記号の表し方や命題のパターンなどを解説します。

 

集合の記号の表し方と問題を解くコツとは？

集合とは、それに属しているか属していないか、はっきりと区別できる集まりのことです。

例えば「1以上の整数」や「偶数」などが挙げられます。

また数字に関した物だけでなく、「学校のサッカー部員」なども集合にあたります。

ただ、「イケメン」や「大きな数」などは、人によって区別の判断が異なり区別することができないので、集合とは言えません。

集合の記号の表し方

ここから、集合の記号の表し方について解説します。

集合の記号の表し方は、2通りあります。

1つ目は、集合の中身を全て書き並べる方法です。

面倒くさいのですが、確実に数えられる方法です。

2つ目は、{x | xは2から10までの偶数}のように、集合の中の要素をまずXと書き、その横に縦棒、その横にXの説明をする方法です。

これだと書き並べることができないような集合でも表すことができるので便利です。

集合では、6つ覚える記号があります。

これさえ覚えれば、集合の記号の表し方については心配ありません。

1つ目の「」は、「要素」を表します。

「aA」は、「aは、Aの要素です」という意味です。

また、「」という記号は「要素ではない」という意味を表します。

ちなみに、「」という記号は、"Element"という英単語の頭文字が由来となっています。

2つ目の「」は、「部分集合」です。

集合の中に集合が入ってるというパターンです。

例えば「Aは3と4と5」、「Bは1以上の整数」とすると、AはBの中にすっぽり入ります。

つまり、集合の中に集合が入っているので、AはBの部分集合であるといいます。

式としては、「AB」と表します。

3つ目の「」は、共通部分です。

共通部分とは、複数の集合に共通して含まれる部分のことです。

例えば、次のような3つの集合があるとします。

A={2,3,4,5}、B={3,4,5,6}、C={0,5,10,15}

AとBの共通部分はわかりますか？

共通している部分を探せば良いので、「3,4,5」だとわかります。

これを式で表すと、「AB={3,4,5}」となります。

今度はAとBとCの共通部分を探してみましょう。

答えは「5」ですね。

式では、「ABC={5}」と表します。

4つ目の「」は、和集合です。

和集合とは、複数の集合がある場合、いずれかの集合に含まれていればその要素として認められるというパターンです。

例えば、先ほどと同じ3つの集合がある場合、AとBの和集合はAとBに含まれる要素全部なので、要素は「{AB=2,3,4,5,6}」となります。

また、AとBとCの和集合の要素は「{ABC=0,2,3,4,5,6,10,15}」となります。

5つ目の「」は、空集合です。

これはギリシャ文字で「パイ」と読みますが、「中に要素が1個もない」ことを表します。

数字で言うと「0」のようなものです。

6つ目の「A」は、（Aの）補集合です。

補集合とは注目している集合に属さない集合のことです。

「じゃない方」というイメージがわかりやすいかもしれません。

例えば、「偶数の補集合は奇数」というものになります。

ド・モルガンの法則

続いて、ド・モルガンの法則を説明します。

「〜の法則」とついているので、難しい印象を持たれる方もいると思いますが、そんな心配は必要ありません。

言葉だとわかりにくいのですが、絵で考えると非常にわかりやすくなります。

また、ド・モルガンの法則を使った問題を解くときには、記号を作ることができれば大丈夫です。

これさえわかれば、ド・モルガンの法則は心配いりません。

練習問題に挑戦

では、集合の練習問題をやってみましょう。

A={x|xは奇数}、B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

「AB」の要素を考えてみてください。

できましたか？

この問題は、記号に照らし合わせて中身の数字を考えればOKです。

答えは、「AB={2,4,6,8,10}」となります。

命題の記号とパターンのまとめ

ここからは、命題の記号とパターンについて解説していきます。

練習問題も載せているので、解きながら内容を定着させていきましょう。

命題とは？考え方のコツを解説

命題とは、「正しいか正しくないかを判断できる文章や式」のことです。

例えば、「1は2より小さい」という文章は、正しいです。

あるいは、「1は2より大きい」という文章は、正しくありません。

これは、どちらも正しいか正しくないかを判断できるので、命題です。

ただ、「カレーは美味しい」は命題ではありません。

人の好みの問題であり、正しいか正しくないかは言えないからです。

高校数学では、特に「もしもPだったらQである」という構造の文章について扱います。

この文章は記号にすると、「P→Q」のように矢印を使って書くことができて、Pのことを仮定、Qのことを結論といいます。

ここで例題です。

次の3つは、それぞれ命題でしょうか？それとも命題ではないでしょうか？

逆・裏・対偶の命題

命題のPやQは条件と言いますが、これを否定することができます。

例えば、先ほども出した「猫→動物」という命題について考えてみます。

この命題の裏は、「猫じゃないならば、動物じゃない」となります。

また、PとQの順番を入れ替えると、逆の命題を作ることができます。

例えば先ほどの例題で言うと、「動物ならば猫」のようになります。

そして、次がかなり大事なのですが、「対偶」という命題があります。

待遇とは、裏の逆、あるいは逆の裏の命題です。

先ほどの例で言うと、「動物じゃないなら猫じゃない」となります。

ここで大事なのは、対偶の関係にある命題の真偽は、元の命題と必ず一致する点です。

練習問題に挑戦

では、命題の逆、裏、対偶に関する練習問題を解いてみましょう。

「x>1→x²>1」の逆、裏、対偶を考えてみてください。

できましたか？それでは、解答を見ていきましょう。

この命題「P→Q」は、真であればPには仮定、Qには結論という名前がついていますが、そのほかに、「必要条件」と「十分条件」という名前もつけられます。

矢印の根元が十分条件で、矢印の先が必要条件です。

必要条件と十分条件を答えさせる問題は多く出るので、確実に覚えておきましょう。

では、もう1問、練習問題をやってみましょう。

「次の条件Pは、Qに対して必要条件でしょうか、十分条件でしょうか。」

「P：x>0、Q：x²>0」

わかりましたか？

集合と命題のおすすめの参考書・勉強法

集合と命題のおすすめの勉強法は、基礎的な内容を定着させることができたら、さまざまな問題のパターンにたくさん触れることです。

集合と命題は、多くの問題パターンがあるので、1つでも多くのパターンに触れることで、テストでも落ち着いて対処することができます。

ただ、基礎的な内容が定着していないと、さまざまな問題のパターンを解いても身につかないので、まずは基礎的な内容を定着させることができるように、繰り返し問題を解いて練習しましょう。

問題集の勉強範囲

集合と命題のおすすめの勉強法は、以下の範囲の問題を繰り返し解くことです。

さまざまな問題パターンが載っているので、多種多様なパターンに対応することができるようになります。

基礎的なパターンが網羅できていない状態で難しい問題に取り組んでも、あまり定着しません。

大事なことなので繰り返し言いますが、基礎的な問題を何度も練習し、完璧に解けるようにすることが非常に大切です。

ここに挙げた基礎的な問題を完璧に解けるようになってから、難しい応用問題に挑戦するようにしましょう。

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多くのパターンを実践を通して勉強しよう

今回は、集合と命題に関する内容を解説しました。

集合と命題では、基礎を定着させた上でさまざまなパターンの問題を解くことが大切です。

たくさん問題を解くことで、パターンを掴むことができるようになり、難問にも挑める力がつきます。

さまざまなパターンを網羅することができたら、共通テストレベルの難しい問題にも挑戦してみてください。