二次関数の基本の解き方を押さえよう！練習問題の解説や勉強法も紹介

二次関数は、高校数学の最初の難関と言っても過言ではありません。

中学でも習った二次関数ですが、その内容をさらに深く学ぶため、難しいと感じる人が多くなる分野です。

ただ、正しい勉強法で繰り返し学習すれば、必ずマスターできる分野でもあります。

今回は、高校で学習する二次関数の基本形や平方完成の方法について解説します。

関数とは？

まずは、関数の基本的な内容から始めていきます。

そもそも関数とは何かというと、「何か物が入ってきたら中で計算をして、違う形にして外に出す装置」のような物だと考えてください。

例えば、入ってきたものに対して、必ず2倍+1して外に出す、ということを行います。

つまり、入ってきたものを計算するためのルールが関数になります。

ここで、入ってきたものを「x」、出てきたものを「y」とすると、「y=2x+1」と表せるのです。

従って、関数は入ってきたXを計算するためのルールだと理解することが大切です。

高校で習う関数の基本

式の形を見ただけで、どんな形の関数なのかを理解するのは難しいと思います。

そこで、わかりやすく視覚化する方法をご紹介します。

2つの例題を使って見ていきましょう。

関数の種類とグラフの形

実は、関数にはさまざまな種類があります。

一次関数や二次関数、三次関数など、挙げればキリがありません。

ただ、これらの関数もその種類によって、大まかにグラフの形は決まっています。

例えば、一次関数であれば直線のような形になり、二次関数であれば放物線のような形になります。

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二次関数の基本形

このようにたくさんある関数の中でも、今回は二次関数について学習します。

二次関数は中学でも学習した分野ではありますが、より発展的な内容になるので、一つずつ落ち着いて理解するようにしましょう。

高校で習う二次関数とは？

まず、高校で習う二次関数は、式の形が変わります。

「y=a(x-p)²+q」となります。

高校では、これが基本の形として使われるので、覚えておくようにしましょう。

この式に含まれているaとpとqには、それぞれ役割があります。

aは放物線の形を決める数字です。

ここまでは中学でも学習した範囲ですので、「忘れちゃったよ」という方は、一度中学の内容に戻って確認するようにしましょう。

では、pとqは何を表すかというと、「頂点の座標」です。

頂点というのはグラフにおける頂上の部分のことを指しますが、これがどこにあるのかを示すのがpとqです。

pが頂点のx座標を表し、qが頂点のy座標を表す点を理解しておきましょう。

では、例題です。

二次関数の実践問題

では、練習問題に挑戦してみましょう。

「y=2(x-3)²+5」の関数のグラフを書いてみてください。

できましたか？

1つずつ解説していきます。

では、もう1問やってみましょう。

「y=-(x+4)²-3」の関数のグラフを書いてみてください。

できましたか？

先ほどの問題よりも少し難しかったと思いますが、同じように1つずつ解説していきます。

以上の2問を理解できましたか？

これが理解できれば中学で習ったものよりも複雑な二次関数のグラフを書けるようになります。

平方完成とは？

先ほどまでは、基本形である「y=a(x-p)²+q」と表される式をグラフにする方法を学習していました。

しかし、必ずしも基本形の形で問題が出題されるとは限りません。

例えば、「y=2x-4x²+1」という式が出てきたとします。

これは基本形とは異なるので、パッとみただけでは頂点の位置がわかりません。

すると、グラフを書くこともできなくなります。

平方完成のやり方とは？

平方完成のやり方を習得するのは、難しい部類に入ります。

なので、以下に記すやり方を、覚えやすいようにスクショを撮ったりメモを取ったりして、何回も見返せるようにしましょう。

平方完成の計算をする際に注意点があるので、説明を付け加えます。

2行目から3行目に行くときに、Xの前の数字a分のbだけを2分の1倍してください。

また、xをつけて、3行目に持っていってはいけません。

間違えやすい部分なので、要注意です。

では、具体例2x²-4x+5を代入してみましょう。

このようになります。

1回だけではわからないと思うので、初めは見ながらでもOKなので、繰り返し練習してみてください。

平方完成の実践問題

では、練習問題に挑戦してみましょう。

「3x²-8x+1」を平方完成してみてください。

できましたか？解答を以下に示しておきます。

これで、頂点の座標がわからないような二次関数でもグラフを書くことができるようになりました。

そこで、もう1つ練習問題を解いてみましょう。

「y=2x²-8x+1」という関数のグラフを書いてください。

できましたか？まずは、平方完成の過程を以下に示します。

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二次関数のおすすめ勉強法

二次関数のおすすめの勉強法は、基本を正確に理解し、焦らず落ち着いて何度も繰り返し練習することに尽きます。

特に平方完成は、その複雑な計算方法から、多くの高校生が挫折し、習得できなかった部分です。

そのため、焦ったり慌てたりするのではなく、一つずつ丁寧に理解を進めていくことで、そのやり方を頭に叩き込んでください。

そして、最初は見ながらでもいいので、繰り返し練習します。

塾・家庭教師を利用する

基礎が身についている方は上記のように問題を繰り返し解くことで成績を伸ばせますが、中には基礎的な内容が理解できずに困っている人も多いでしょう。

特に二次関数はそれ自体もとても重要ですが、多くの分野の基礎になってくるので、ここでつまずくと、高校数学全体の理解に大きな支障をきたすようになります。

少しでも不安要素がある方は、プロである塾講師 や家庭教師のサポートを受けて、確実に基礎を理解したのちに演習に取り組むとよいでしょう。

また、基礎が既に身についている方も、プロの指導を受けることで取り組むべき問題が明らかになり、今以上に成績を伸ばすことができます。

参考書を使って勉強する

数学はインプット以上にアウトプットの積み重ねが重要な科目で、基本事項を頭に入れたら、多くの問題を解くことが大切です。

二次関数も例外ではなく、本記事で紹介した公式や基本事項を理解したら、とにかく多く問題演習に取り組み、様々な解き方のバリエーションを持っておくと、受験や定期テストのときに有利に働きます。

具体的には以下の参考書の該当箇所を繰り返し行うとよいでしょう。

特に平方完成は基礎が難しいので、習得するにもかなりの時間がかかる可能性があります。

方法を覚えていないうちは、やり方を隣に置きながら手を動かすことも大切です。

とにかく、何度も何度も繰り返し触れることで、段々と覚えていくことができます。

数学の勉強におすすめの塾・家庭教師

ここでは、二次関数や数学を生徒の学習状況に併せて柔軟に指導してくれる塾やオンライン家庭教師を紹介します。

湘南ゼミナール

湘南ゼミナールの基本情報や具体的な特徴について確認していきましょう。

湘南ゼミナールの基本情報
対象	小学生～高校生
授業形式	集団指導、個別指導
対象地域	神奈川、千葉、埼玉、東京

サポート体制が充実している

湘南ゼミナールでは各年代の生徒に合わせたサポート体制があり、授業フォローをはじめ継続して勉強を続けられるように考えられています。

学習状況を考慮してどのようなところで生徒がつまづいているのか明確にして解決しているため、苦手科目が生まれません。

また、継続して通えるように学習環境が整っており、授業がなくても利用できる自習室や全教室ホワイトボードにて指導を行うなど環境整備も行われています。

学習習慣がつくように講師も親身になってサポートしてくれるでしょう。

各学年の目的に合わせたコース

湘南ゼミナールは各学年ごとに以下の種類のコースが設けられています。

基本的には集団指導にて勉強を行いますが、コースによっては個別指導によって受けることが可能です。

個別指導では独自の学習サイクルの元、生徒個人に合わせた勉強をピンポイントで行えるでしょう。

また、受験対策に特化したコースもあるため、受験に特化して勉強したいならおすすめです。

1ヶ月無料体験実施中

湘南ゼミナールでは1ヶ月無料体験を受付中です。

無料体験の概要は以下の通りです。

【定員あり】1ヶ月無料体験の概要
対象学年	小学生~高校生
体験費用	1ヶ月授業料無料
対象校舎	全校舎

湘南ゼミナールは、湘南ゼミナールの授業を受けるのが初めての方を対象に、1ヶ月無料体験を実施中です。

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実施講座については下記で詳しくご説明します。

湘南ゼミナールの講座について

湘南ゼミナールの講座の一例は以下の通りです。

受講講座例
小学生コース 講座を詳しく見る⇒	学力アップ／公立中進学準備
	公立中高一貫校受検対策
	小学生の英語力育成
	小学生の国語力育成
中学生コース 講座を詳しく見る⇒	高校受験／定期テスト対策
	横浜翠嵐・御三家等 受験指導
	難関国私立高 受験指導
高校生コース 講座を詳しく見る⇒	一般入試対策 / 定期テスト対策
	総合型選抜（AO）/推薦入試対策

湘南ゼミナールは集団指導ですが、個別指導のように、生徒に対して個々に対応する時間も設けていて、授業で分からない部分があっても、質問することができます。

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二次関数を勉強するなら「個別教室のトライ」

二次関数を勉強するなら「個別教室のトライ」がおすすめです。

対象	小学生・中学生・高校生
授業形式	1対1の個別指導
校舎	全国607教室
特徴	厳選されプロ講師陣による全国No.1の個別指導塾

なぜおすすめなのか、その理由を2つご紹介します。

双方向の授業で確実に身につける

個別教室のトライでは、双方向の授業を行っています。

通常では、先生が生徒に対して説明し、説明し終えたらすぐに問題演習に取り掛かります。

しかし、トライでは先生による説明の後に、生徒による説明の時間も設けられています。

生徒が自ら説明することで、わかっている部分とそうでない部分を見分けることができ、苦手な分野がはっきりとわかります。

そのため、苦手分野を早期に克服することにつながり、確実に内容を身につけることができるようになります。

毎回の授業で反復をする「エピソード反復法」

個別教室のトライでは、エピソード反復法という復習方法を導入しています。

エビングハウス博士による研究をもとに、毎回の授業で今までに習ったことを確認していきます。

その際に、ただ単純に記憶・復習をするのではなく、対話の中で生まれるエピソードに紐づけて記憶できるようにしています。

エピソード反復法を行うことで、より効率的に記憶をすることができます。

オンライン数学克服塾MeTa

オンライン数学克服塾MeTaの基本情報
対象	中学生・高校生
授業形式	オンライン（個別1対1、集団）
対象地域	全国
特徴	数学克服・対策に特化したオンライン専門塾

論理的思考力を磨く独自の指導法

MeTaでは、ソクラテスが実践していた問答法を教育の場で応用した「ソクラテスメソッド」を指導に取り入れています。

この指導の特徴は、講師の質問に生徒が繰り返し答えていくことで、徐々に解答に近づいていく点にあります。

言い換えれば、講師との対話を通して正しい解答のプロセスを学べる指導法なので、論理的思考力が身に付き、様々な応用問題にも対応できるようになります。

特に二次関数は、応用問題や他の分野との融合問題が定期テスト・入試ともに頻出なので、ソクラテスメソッドを用いて二次関数の原理・原則を理解することで、飛躍的に成績を伸ばすことができます。

目標や理解度に応じた3つコース

生徒の理解度や目標に合わせて、3つのコースが用意されています。

スタンダードコースは週1回の演習指導を行うコースで、定期テスト対策をしたい方や、他の学習塾と併用しながら数学の演習量を増やしたい方におすすめです。

スタンダードコースは演習指導に加えて、週1回のマンツーマン指導がつくので、数学が苦手な方や、受験対策をしたい方に最適です。

最後のプレミアムコースは、上記のスタンダードコースを3か月に凝縮した、超短期集中型コースになっています。

このように、苦手分野の克服・定期テスト対策・受験指導と、生徒が抱える数学に関する悩み全てに対応できるコース設計になっています。

家庭教師ファースト

家庭教師ファーストの基本情報
対象	小学生、中学生、高校生
授業形式	個別指導
対象地域	全国
特徴	オーダーメイドの段階別指導

オーダーメイドの段階別指導

家庭教師ファーストのマンツーマン指導では、生徒のつまづきの原因を突き止めて解決策を考えます。

数学に苦手意識がある生徒でも、分からない単元まで戻るさかのぼり学習や日々の学習習慣づけなど、一人ひとりに合わせた段階別指導を行うので安心です。

目的に応じた9つのコース

家庭教師ファーストは学年、目的に応じた9つのコースがあります。

学年に応じた小学生・中学生・高校生コースでは、自分の希望や学習状況に合わせた指導が受けられます。

集団指導が難しい不登校や発達障害のお子さんでも、生徒に合わせた指導を自宅で受けられるのでリラックスしやすいです。

また、勉強以外にも運動も教えてもらえる文武両道コースや有名大学出身で勉強のやり方を極めた講師から指導が受けられる有名大学プレミアムコースもあります。

【オンラインで受験指導】オンラインプロ教師メガスタ

オンラインで受験指導を受けたいなら、オンラインプロ教師メガスタがおすすめです。

オンラインプロ教師メガスタの基本情報
対象	小学生・中学生・高校生・浪人生
授業形式	オンライン指導
対象地域	全国
特徴	苦手科目は分かるまで徹底指導！

苦手科目は分かるまで徹底的に指導

数学は積み重ねの学問といわれており、理解できていない分野が一つでもあると、それが原因で複数の分野の理解が不十分になってしまいますが、その逆で、一つの単元が理解できれば、それまで苦手だった複数の分野の理解が一気に進むケースもあります。

メガスタでは、教務や担当教師と生徒による面談で明らかになった生徒の学習状況から、弱点の根本的な原因を見つけ出し、それを克服するための学習プランを生徒一人ひとりに作成してくれます。

もしその原因が既習の内容の理解不足にあった場合には、その単元まで戻り100％分かるまで丁寧に指導してくれます。

このように生徒の弱点の根本的な原因まで深堀して指導してくれるメガスタは、分野同士のつながりが強い数学の学習に向いているといえます。

授業日以外も学習管理

上述の通り数学はインプット以上にアウトプットが重要な学問ですから、授業以外の時間でいかに効率的かつ効果的に演習に取り組めるかが成績アップのカギを握ります。

メガスタでは、正しい勉強のやり方を指導したうえで、授業日以外の具体的な学習計画も提示してくれます。

その結果、授業は演習時の疑問解消やインプットの場、それ以外の日は授業で学んだことのアウトプットの場となり、非常に効率よく成績を上げることができます。

基礎的な問題をマスターしてから応用に取り組もう

今回は、高校で習う二次関数について解説しました。

基本形という新しい形や、平方完成という複雑な計算方法など、新しく学んだことがたくさんあります。

特に平方完成は難しいので、記事内でご紹介した参考書や塾・家庭教師を利用して、何度も復習して定着させてください。

どんな問題が来ても対応できるとテストでの点数も向上します。