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更新日 2022.8.6

【中学数学】多項式を徹底解説!解き方のポイントから用語、例題も

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今回は多項式について取り上げていきます。

多項式の分野は、中学数学で学ぶ一分野となります。

その内容は一見ただの計算のようでも、考え方は中学数学、高校数学の基礎になる非常に重要な分野です。

この記事では、多項式の分野の基礎的な部分の紹介のほか、簡単な例題もいくつか取り上げています。

また、中学生におすすめの家庭教師も紹介しています。

この記事が少しでも参考になればと思います。

多項式と単項式

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項とは?

項とは、式を構成する文字(x,yなど)、数字(3,-25など)、及びそれらの積(Ⅹ/3,-12xyzなど)で表される、ひとかたまりの要素のことを言います。

注意点として、項には符号も含まれています。

例えば、3+x-25yという式があるとすると、この場合の項は3,x,-25yの3種になります。

項にはマイナスも付けることを忘れてはいけません。

3+x+(-25y)のように加法だけの式に変形して、+で結ばれたものを項、と考えれば分かりやすいかと思います。

単項式とは?

単項式とは、一つの項で表される式のことをいいます。

つまり先ほど挙げた例のように単項式は数字や文字、それらの積で表されます。

ただし、2/xのように分母に文字(変数)がくる項は、単項式ではなく分数式といわれます。

単項式のように数字や文字の積ではなく、2/xであれば2/x=2÷xと表すことができるからです。

多項式とは?

多項式とは、2つ以上の項で構成される式、つまり、単項式の和として表される式のことをいいます。

例えば、3+4x-52xyという多項式は一見マイナスも含んだ式かのように思われますが、既にお伝えさせていただいた通り、項は符号も含まれます。

そのため、上記のような式は減法を含む式ではなく、マイナスを含む項の加法ととらえ3+4x+(-52xy)と変形して考えましょう。

✔項とは、文字、数字及びそれらの積で表された式を構成するひとかたまりの要素のこと

✔単項式とは、一つの項で表される式のこと

✔多項式とは、単項式の和で表される式のこと

多項式の名称

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ここでは、3x2+2x-4という多項式を例に、単項式、多項式に関する重要な語句を紹介していきます。

次数

まずは次数とは何かご紹介します。

次数は単項式と多項式で意味合いが多少異なるので注意してください。

単項式の次数とは、項に含まれる文字の個数のことを指します。

多項式の次数とは、多項式に含まれる各項の次数の中で最も大きい次数のことを指します。

実際に例に挙げた多項式3x2+2x-4で考えてみましょう。

【単項式の次数】
  • 3x2→3×x×x 文字xが2個含まれる→次数は2
  • 2x→2×x 文字xが1個含まれる→次数は1
  • -4 文字なし→次数は0
 
【多項式の次数】
  • それぞれの項の次数の最大値は2→3x2+2x-4の次数は2

係数

次に係数とは何かご紹介します。

係数とは、文字を含む項の数字部分のことを指します。

あくまで文字を含む 項の数字部分のことを指すため、数字のみで表される項(1、-10など)に関しては係数なしとなります。

実際に例に挙げた多項式3x2+2x-4で考えてみましょう。

  • 3x2→x2の係数は3
  • 2x→xの係数は2
  • -4→文字を含む項ではないため係数なし

定数項

最後に定数項とは何かご紹介します。

定数項とは、文字が含まれない数字のみで表される項のことをいいます。

実際に例に挙げた多項式3x2+2x-4で考えてみましょう。

  • 3x2→x2が含まれるので定数項ではない。
  • 2x→xが含まれるので定数項ではない。
  • -4→文字が含まれない定数項である。

✔「次数」とは、単項式の場合は文字の個数、多項式の場合は次数の中で最も大きい次数のこと

✔「係数」とは文字を含む項の数字部分のこと

✔「定数項」とは数字のみで表される項のこと

多項式の解き方のポイント

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ここでは5(3a+5b-6c)+6(4a-5b-9c)という多項式を例に多項式の解き方のポイントをご紹介します。

分配法則を使おう

例に挙げた多項式のように、カッコで多くの文字がくくられていると計算が出来ません。

そんな時重要になるのが、分配法則を使うということです。

分配法則とはカッコを外す計算方法のことですが、実際に例に挙げた多項式の5(3a+5b-6c)の部分を使ってやり方を学んでみましょう。

5(3a+5b-6c)=5×3a+5×5b+5×6c

抽象的な説明で分かりにくかったかもしれませんが、例のように簡単なことで、5とカッコが掛け算で繋がっていると考えて5をカッコ内の項にそれぞれ分配して掛け算すればいいのです。

このようなやり方を覚えておけば、98×11といった一見計算しにくい問題でも、98の部分を100-2と考えて(100-2)×11と変形すれば計算を楽にすることもできます。

同類項を使って解く

分配法則を使ってカッコを取り除くことができたら、次のステップに進みましょう。

それは同類項を使って解くということです。

つまり、同じ文字を持つ項(同類項)をまとめて更にすっきりさせて答えを出すということです。

実際に例に挙げた多項式の5(3a+5b-6c)+6(4a-5b-9c)を使ってやり方を学んでみましょう。

5(3a+5b-6c)+6(4a-5b-9c)=15a+25b-30c+24a-30b-54c

分配法則を使って例に挙げた式のカッコを取り除きましたが、注目してみるとaを持つ項が2つ、bを持つ項が2つ、cを持つ項が2つあるのがわかります。

これを分かりやすいようにまとめていきます。

15a+25b-30c+24a-30b-54c=15a+24a+25b-30b-30c-54c

より簡単になりましたね。

これで同類項の部分をそれぞれ計算すれば答えを出すことができます。

✔カッコがあるときは分配法則

✔カッコを外したら同類項に注目

✔最後に同類項をまとめる

多項式の例題

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ここでは多項式の例題を出しています。

今まで学んだことを活かして解いてみましょう。

解説も載せているので参考にしてみてください。

基本問題

次の問題を解いてみましょう。

  • (1) 次の多項式にある項をすべて挙げてください 7A+5B-6C
  • (2)次の多項式の次数を答えてください 60x2+26x+30
  • (3)次の多項式の同類項をそれぞれ挙げてください 4A+7B+7A-8B

(1)7A+5B-6Cにある項

項は加法だけの式に直すことが重要でした。

7A+5B-6C=7A+5B+(-6C)

解答:7A、5B、-6C

(2)60x2+26x+30の次数

多項式の次数は各項の中で一番大きい次数のことです。

今回の式の項は60x2、26x、30の3つです。

この中で次数が一番大きいのは60x2で次数は2となります。

よって今回の式の次数も2となります。

解答:2

(3)4A+7B+7A-8Bの同類項

Aを持つ項、Bを持つ項に注目しましょう。

4A+7B+7A-8B=4A+7A+7B-8B

解答:4Aと7A、7Bと-8B

【中学^2年生】多項式の加法・減法

ここでは中学^2年生向けの多項式の加法・減法問題を出しています。

次の問題を解いてみましょう。

  • (1) (1)(25A+30B)÷(-5)
  • (2)(25x2+30x) ×1/^2
  • (3)(16a+64b-28)÷(-4)

(1)(-25A+30B)÷(-1/5)

(-25A+30B)÷(-1/5) =(-25A+30B)×(-5)

=-25A×(-5) +30B×(-5)

=-125A-180B

解答:-125A-180B

(2)(25x2+30x) ×1/5

(25x2+30x) ×1/5=25x2×1/5+30x×1/5

=5x2+6x

解答:5x2+6x

(3)(16a+64b-28)÷(-4)

(16a+64b-28)÷(-4)=(16a+64b-28)×(-1/4)

=16a×(-1/4)+64b×(-1/4)-28×(-1/4) 

=-4a-16b+7

解答:=-4a-16b+7

3問とも分配法則を使って解けば簡単に答えを出すことができます。

÷分数という形は一見ややこしい形であるので、×の形にすると、分かりやすくなり計算ミスが少なくなると思います。

【中学3年生】応用問題

ここでは中学3年生向けの多項式の応用問題を出しています。

次の問題を解いてみましょう。

(1)次の式を展開してみましょう。

 ①(3A+B-7)(3A+B+8)

 ②(6X-5Y)^2

(2)次の式を因数分解してみましょう。

 x2+11x+30

(1)①(3A+B-7)(3A+B+8)

このまま計算することも可能ですが、3A+Bの部分に注目してみましょう。

それぞれのカッコ内に同じ3A+Bがありますよね。

この部分をXに仮に変換して計算してみましょう。

Xに変えた式で計算すると以下のようになります。

(X-7)(X+8)=X^2+X-54

簡単な式になったことがわかります。

ここで変換したXを3A+Bに戻して計算しましょう。

(3A+B)^2+(3A+B)-54=9A^2+6AB+B^2+3A+B-54

=9A^2+B^2+6AB+3A+B-54

複雑な部分を別の文字に変えて表すことでより簡単に展開することができます。

②(6X-5Y)^2

(6X-5Y)^2=(6X-5Y) (×(6X-5Y)

=36X^2-30XY-30XY-25Y^2

=36X^2-60XY-25Y^2

2乗の式をカッコ2つの式に直せば、分配法則を使って計算していけばいいということがわかると思います。

(2)x2+11x+30

x^2+11x+30=(x+5)(x+6)

因数分解の公式x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)を利用しましょう。

a+bが11、abが30となっていることからaとbの組み合わせが5と6であることがわかれば簡単に解くことができますね。

✔項は加法だけの式にして判断

✔カッコがある計算式は掛け算の形にして解く

✔同じ部分がある複雑な計算式は、別の文字で簡単に表す

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まとめ

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今回は多項式についてご紹介しました。

今回ご紹介した多項式の基礎的な問題だけでも、複雑な部分を別の文字を使って表すこと、因数分解など様々な考え方が出てきました。

分からなかった方、理解できた方いらっしゃると思います。

今回学んだことはあくまで基礎的な部分です。

多項式の分野は奥深く、これからも様々な問題と出会うと思います。

理解するにはひたすら演習を繰り返し、慣れていくしかありません。

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基礎的な部分のみの紹介となりましたが、この記事を通して多項式について少しでも理解を深めることができていれば幸いです。

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【初心者でもわかる】この記事のまとめ

「多項式」に関してよくある質問を集めました。

多項式とは?

多項式とは、2つ以上の項で構成される式、つまり単項式の和で表される式のことをいいます。 単項式の和で成り立つ式であるため、4+3x-5xyといった多項式であれば4+3x+(-5xy)という考え方をすることが重要です。また次数について、単項式であれば、該当の項に含まれる文字の個数のことを指しますが、多項式であれば、含まれる項の次数の中で一番大きいものを指すことに注意しておきましょう。多項式についてのより詳細な解説はこちらに記載しています。

定数項とは?

定数項とは、文字を含まない数字のみからなる項のことをいいます。例えば、5x^2+6x^3+32という式であれば、定数項は32となります。係数の定義はあくまで文字を含む項の数字部分のことを言うため、例に挙げた式でいう5x^2、6xなど文字を含む項とは異なり、定数項は係数なしとなることを注意して覚えておきましょう。その他の用語についての解説はこちらに記載しています。

この記事を企画・執筆した人
-StudySearch編集部-
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