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更新日 2024.2.4

【中3数学】特別な直角三角形|直角三角形の種類・三平方の定理を解説

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数学の単元の1つである直角三角形。

様々な特徴を持ち公式を用いて解く問題がよく出題されています。

数学や図形の問題が苦手な方は、「どうやって直角三角形を解いたらいいのか」「解くときのコツはあるのか」と悩んでいるのではないでしょうか。

そこで今回は、特別な直角三角形に焦点を当てて主な特徴や関連する公式について、例題と共に詳しくご紹介していきますので参考にしてみてください。

特別な直角三角形とは

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特別な直角三角形の大きな特徴は、辺の比が決まっていることです。

そして、辺の比を決めるパターンは以下の3つがあります。

  • 30°・60°の直角三角形
  • 直角二等辺三角形
  • 3:4:5の直角三角形

それぞれどのような特徴があるのか確認していきましょう。

30°・60°の直角三角形

まずは、30°・60°の直角三角形ですが、この30°・60°は直角三角形の2つの角度を表しています。

三角形の角度の和は180°となるため、残り1つの角度は90°と求められます。

そして「30°・60°・90°」が成り立つ直角三角形は、必ず辺の比が「1:2:√3」となるのです。

この1:2:√3は三角定規の長いほうをイメージすると非常にわかりやすいです。

図形の問題で30°・60°の直角三角形が出てきて辺の長さを用いる場合は、1:2:√3を忘れないようにしましょう。

直角二等辺三角形

直角二等辺三角形と聞いてどのような図形を思い浮かべるでしょうか。

最もわかりやすい図形は三角定規の短いほうです。

直角二等辺三角形の角度は「45°・45°・90°」と決められており、辺の比は「1:1:√2」と求められます。

問題の例として、正方形の対角線の長さを求めるときに直角二等辺三角形の辺の比を用いることがあります。

2辺の長さが同じになるため、問題の図形から直角二等辺三角形を見つけることがポイントになるでしょう。

応用問題では、先ほどの30°・60°の直角三角形と合わせて導き出す問題もあるため、様々な問題に慣れると解きやすくなります。

3:4:5の直角三角形

最後は、3:4:5の直角三角形ですがこの「3:4:5」はその三角形の辺の比を表しています。

2辺の長さの比を確認してみて3:4:5に該当していたら、残り1つの辺の長さを求めることができます。

この辺の比の問題もよく出題されるため、必ず覚えておきたい図形の1つです。

また、3:4:5の図形の計算は分数の計算が基本となるため、分数の計算が苦手な方は練習しておく必要があるでしょう。

今回紹介した3つの特別な直角三角形は、図形問題を解く上で必須の知識となるため、例題を通して少しでも慣れておくと良いです。

✔特別な直角三角形には3パターン

✔辺の比に当てはまるかを考えながら解くと良い

✔それぞれ使いながら覚えていこう

三平方の定理とは

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ここまで特別な直角三角形について3つのパターンをご紹介しましたが、3つのパターンに当てはまらない三角形の辺の長さを求めるには「三平方の定理」を使用します。

三平方の定理を攻略する上で重要な公式と定理の逆について確認しておきましょう。

三平方の定理の公式

まずは、三平方の定理の公式についてですが、直角三角形が成り立つとき辺の長さは「(底辺)²+(高さ)²=(斜辺)²」となります。

式自体は複雑ではないため覚えるのは簡単ですが、直角三角形が成り立つときのみしか使えないため注意してください。

「長方形の対角線を求める問題」「正三角形の高さと面積」など基礎から応用問題まで幅広く使用するため必ず覚えておきましょう。

また、余裕がある方は三平方の定理がなぜ成り立つのか証明できるようにしておくとより理解が深まるためおすすめです。

三平方の定理の逆

三平方の定理の逆とは、ある三角形の3辺を調べて(底辺)²+(高さ)²=(斜辺)²が成り立つのであれば、それは直角三角形であると証明できることです。

通常は直角三角形であることがわかっていれば成り立つ公式のため「逆」として扱われています。

問題では、ある三角形の3つの辺を提示して直角三角形なのか答えるものが多いです。

先ほど紹介した特別な直角三角形の3パターンを使用して証明する問題もあるため、問題をたくさん解いて慣れておくと良いでしょう。

応用問題として三平方の定理の逆を証明するなどがありますので、深く理解したい方は証明してみましょう。

✔三平方の定理は使用頻度が高い

✔証明問題を解いて公式について理解を深めると良い

✔直角三角形を証明するなら三平方の定理の逆

特別な直角三角形の基本問題

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ここからは、具体的な直角三角形の問題を解きながら、実際に紹介したパターンはどのようにして使うのか見ていきましょう。

問題を解く途中で、パターンがわからなくなったら再度どのような仕組みになっているのか確認すると確実に理解できるでしょう。

【問題①】30°・60°の直角三角形

1問目は、30°・60°の直角三角形の基本問題です。

基礎問題➀:下の図形の斜辺の長さを求めてください。

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ヒントは底辺と高さの長さが分かっていることです。

問題①の答え

この問題は、30°・60°の直角三角形だとわかっているため、1:2:√3の公式を使って解くことが可能です。

1:2:√3に当てはめると3:x:3√3となります。

わからないところは1:2:√3の2の部分のため底辺の3cmを利用して3×2=xを計算すれば求められます。

よって答えは6cmとなります。

【問題②】直角二等辺三角形

続いて直角二等辺三角形の基礎問題について見ていきましょう。

基礎問題➁:下の図形の斜辺を求めてください。

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この問題も同様に直角二等辺三角形に当てはまる公式がヒントとなります。

問題②の答え

図形を見ると直角をはさんだ二等辺三角形であることがわかるため、この図形は直角二等辺三角形だと断定できます。

そして、直角二等辺三角形の辺を求めるには辺の比を利用した公式である1:1:√2を使います。

1:1:√2の公式に数字を当てはめると4:4:xとなり、xの部分は4×√2を計算することで求められ、答えは4√2cmとわかります。

【問題③】3:4:5の直角三角形

最後に3:4:5の直角三角形の基礎問題を解いていきます。

基礎問題③:下の図形の高さを求めてください。

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この三角形は直角以外の角度が提示されていないため、2つの辺の数字を頼りに高さを求めなければいけません。

問題③の答え

図形を見ると直角三角形であることがわかりますが、2辺の数字は等しくなく1:2:√3や1:1:√2は使えません。

しかし、2つの数字を見ると12cmと20cmで辺の比が12:20=3:5であることがわかります。

このことから、3:4:5の比の公式に当てはめることで12:x:20となり、答えは16cmであることがわかります。

辺の比の公式を用いれば、三平方の定理を使わなくても図形を見て一目で判断できるため簡単に解くことが可能です。

✔提示された図形をよく見ることが大切

✔基礎問題は3辺の比に当てはめるだけで解ける

✔三平方の定理を使うよりも簡単

特別な直角三角形の応用問題

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基礎問題にて特別な直角三角形の解き方について理解したら、次は応用問題を解いてさらに理解を深めていきましょう。

今回は2つの例題をご紹介します。

もっと例題を解きたい方は参考書等を購入して納得できるまで問題を解くと良いです。

応用問題①

応用問題➀:下の図形のxの長さを求めてください。

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ポイントは上の三角形の2辺の長さが等しいことです。

応用問題①の解答

この図形は一見ただの四角形に見えますが、2つの三角形が合わさってできています。

そして、上下に図形を分けたとき、上の三角形は2辺の長さが同じで1つの角度が45°であることがわかります。

よって上の三角形は直角二等辺三角形であり、1:1:√2が使えます。

そして、下の三角形は2つの角度が30°と60°のため、こちらも直角三角形であることがわかり1:2:√3の公式が使えます。

  • 上の三角形(直角二等辺三角形)→1:1:√2が使える
  • 下の三角形(直角三角形)→1:2:√3が使える

このことからまずは上の直角二等辺三角形の斜辺を求めます。

すると、1:√2=4:xより斜辺は4√2であることがわかります。

次に下の直角三角形の高さがわかったため、3辺の比を活用して斜辺を求めます。

答えは、1:2:√3=2√2:4√2:xとなりx=4√6であると求められます。

この問題は、2つの直角三角形を見つけることができれば解ける問題です。

応用問題②

応用問題➁:一辺3㎝の立方体の点ABCをつないでできる三角形の面積を求めてください。

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この問題のポイントは、立方体のため全ての辺が3㎝であることです。

応用問題②の解答

それでは、回答を見ていきましょう。

三角形ABCは底辺であるABが3㎝とわかっているため後は高さがわかれば面積を求められます。

ACは斜辺となっておりBCの長さがわかれば良いのですが、ここでBCが関わっている面を見てみましょう。

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BCは、1辺が3㎝の正方形の対角線となっていることがわかります。

そして、図形を見るとBCは直角二等辺三角形の斜辺であることもわかります。

このことから、直角二等辺三角形の3辺の比を用いて1:1:√2=3:3:xよりxは3√2であることがわかりました。

最後に、直角三角形ABCの面積を求めるために(底辺)×(高さ)÷2の公式を使います。

すると答えは3×3√2÷2=(9√2)/2㎠と求められました。

直角三角形を用いれば、複雑な図形の面積も求めることが可能です。

✔直角三角形がどこにあるか探す

✔辺の比を用いて求めたい値を1つずつ求めていく

✔複雑な図形の面積を求めることもできる

数学の勉強におすすめの塾

数学を学んでいく途中で、どうしても自分の力だけじゃ成績が伸びないと感じているなら学習塾を頼ってみると良いです。

個別指導塾なら、個人の苦手科目や得意科目に応じてカリキュラムや指導の方針を決めることができるため効果的です。

今回は、数ある学習塾の中で多くの合格実績を持っているTOMASについてご紹介していきます。

TOMAS

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まずは、TOMASの基本情報について見ていきましょう。

 TOMASの基本情報
対象学年 小学生・中学生・高校生
指導形態 完全個別指導(1対1)
展開地域 東京都・神奈川県・埼玉県・千葉県
 
  • 苦手科目も克服するまで徹底指導
  • 1対1の完全個別指導
  • 担任制で生徒をサポート

苦手科目も克服するまで徹底指導

TOMASは、苦手科目や単元を克服するための個人別のカリキュラムを作成しています。

そのため、高校受験直前で数学、特に図形の単元が苦手、なかなか理解できないという方に効果的な指導を行ってもらえます。

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詳しくは以下にて説明しています。

1対1の完全個別指導

TOMASは、個別カリキュラムのもと完全1対1で指導が進みます。

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1対1指導に特化した学習環境が提供されており、疑問があってもすぐに質問できるため「わからない」を無くします。

発問・解説を中心に80分間しっかりと学習できるため、集中しやすく生徒の満足度も高いです。

担任制で生徒をサポート

TOMASでは、生徒一人ひとりが快適かつ集中して勉強に取り組めるよう担任制を採用して徹底したサポートをしています。

生徒・保護者・講師・担任の四位一体となり、担任が成績や学習状況を管理しています。

また、講師に対して指導やマネジメントを行うことでさらに質の高い授業を受けられることも特徴です。

生徒はただTOMASへ通い、授業や課題をこなすだけですが全面バックアップのサポート体制により安心して学習に励めるでしょう。

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本記事はスタディサーチ編集部による独自記事であり、TOMASとは関連がありません。

まとめ

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今回は、特別な直角三角形に焦点を当てて直角三角形の具体的な解き方や三平方の定理について詳しくご紹介しました。

直角三角形は、3辺の比を用いることで三平方の定理よりも簡単に問題を解くことが可能です。

また、特別な直角三角形に限らず数学を勉強していてなかなか成績が伸びない、壁に当たっていると感じているなら学習塾を頼ってみても良いでしょう。

苦手科目を克服したいなら個別指導塾がおすすめで、今回ご紹介したTOMASを筆頭に生徒一人ひとりのことを考えて指導してくれます。

志望校を視野に入れた学習なら苦手を克服することは非常に重要なため、無料相談などを積極的に受けてみましょう。

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【初心者でもわかる】この記事のまとめ

「特別な直角三角形 三平方の定理」に関してよくある質問を集めました。

特別な直角三角形にはどんなものがありますか?

特別な直角三角形には次の3種類があります。「30°・60°の直角三角形」「直角二等辺三角形」「3:4:5の直角三角形」 それぞれ3辺の比が決まっており、それらを活用して解く問題も多くあるため覚えておくことをおすすめします。また、図形の問題はたくさん問題を解いて慣れることが大切です。参考書などを用いてどのようにして解くのか知っておきましょう。

三平方の定理とは何ですか?

三平方の定理とは、(底辺)²+(高さ)²=(斜辺)²という公式のことで直角三角形が成り立つときに使用できます。式が複雑というわけではないため、特段難しいことはないでしょう。3辺の比が使えない時、辺の長さを求めるのに活用できます。

この記事を企画・執筆した人
-StudySearch編集部-
この記事は、StudySearchを運営している株式会社デジタルトレンズのStudySearch編集部が企画・執筆した記事です。
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