【中学数学】等式の変形を例題付きで詳しく解説|おすすめ学習塾も紹介
今回は、等式の変形について取り上げます。
具体的には、分配法則を使った等式の変形の方法やポイントを説明しています。
等式の変形は、高校受験でも大学受験でも必ず出てくるので、とても大切な分野です。
記事の途中で解説の付いた例題を3問掲載しているので、知識の確認をしながら簡単な演習を行ってみてください。
また、記事の最後には中学生におすすめの家庭教師についても紹介しているので、家庭教師選びの参考になればと思います。
等式の変形の解き方
分配法則で()を外そう
例題:次の等式を[]内の文字について解きなさい。
24a+16b=4(8a-2) [a]
まずは、分配法則を利用して()を外すという作業をします。
例題では、4(8a-2)という部分で()が使われているので、この()を外すと、
24a+16b=4(8a-2)
24a+16b=32a-8
となります。
()が使われることにより複雑に見えていた等式を簡単にすることができました。
文字をまとめる
次に、等式で求める文字をまとめるという作業をします。
上の例題の場合、求める文字はaなので、等式の中にあるaをまとめていきます。
一般的に、まとめる文字を等式の左辺に、その他の文字や数字は等式の右辺に寄せます。
このルールに沿って移項を使って文字を寄せていくと、
24a+16b=32a-8
24a-32a=-16b-8
-8a=-8-16b
となります。
このように文字をまとめることで、最後の等式変形が簡単になります。
文字の係数で両辺を割る
最後に、文字の係数で両辺を割るという作業をします。
例題によると、aについて等式を解かなければならないので、最終的に上の等式を「a=〇〇」の形にする必要があります。
先ほどaを等式の左辺にまとめたものを見ると、aの係数は-8だから、「a=〇〇」の形にするには-8で等式を割ればよいことになります。
したがって、
-8a=-8-16b
a=1+2b
となります。
負の数の計算はミスが起こりやすいので、その点も注意しながら計算しましょう。
これで、例題を解くことができました。
✔まずは分配法則で()を外す
✔次に求めたい文字を左辺にまとめる
✔最後に文字の係数で両辺を割る
等式の変形の気を付けるポイント
係数をなくすときは掛け算で考える
等式の変形の問題は、求めたい文字の係数を1にすることを目指して解いていきます。
このとき、係数を1にするために係数で「割る」と考えるのではなく係数の逆数を「掛ける」と考えることが大切です。
例えば、xy=9という等式をxについて解くとき、x=9/yとなりますが、この際にyで「割る」と考えるのではなく1/yを「掛ける」と考えるようにします。
この考え方は、等式に分数が含まれているような場合により役立ちます。
例えば、xy=5/7という等式をxについて解くとき、yで「割る」と考えている人はx=5y/7というふうに計算ミスをすることがよくあります。
一方で、yの逆数である1/yを「掛ける」と考えている人はx=5/7yと正しく等式変形を行うことができます。
このように考え方を変えるだけで、等式に分数が含まれているような複雑な問題でも計算ミスをすることなく正確に答えを出すことができます。
「移項」と符号
等式の変形の問題を解くときには、「移項」という作業が不可欠です。
「移項」とは、等式において一方の辺の項を符号を変えて他方の辺に移すことをいいます。
例えば、5x+y=14という等式をyについて解くと、答えはy=-5x+14となります。
このとき、右辺にあった5xが左辺に移動していることが分かりますが、この移す作業を「移項」と呼んでいます。
そして、「移項」を行う際に注意すべきことは、符号を逆にすることです。
符号を逆にして移項しないと、元の等式が成り立たなくなってしまうので、移項のときは必ず符号を逆にするということを覚えておきましょう。
係数を1にする
等式の変形を行う際は、「係数を1にすること」の意味をしっかり理解しておく必要があります。
等式の変形が苦手な人は、「係数を1にすること」と「移項」の区別がついていないことが多いです。
例えば、xy =10をyについて解くとき、「係数を1にすること」と「移項」の区別がついていればy=10/xと正しい答えを導くことができますが、この区別がついていないとy=10-xと答えてしまうことがあります。
また、x+y=11をyについて解くときも、区別がついていればy=11-xと正しく答えることができますが、区別がついていないとy=11/xと答えてしまうことがあります。
このようなミスを減らすためにも、係数を1にするためには足し算や引き算をすることが必要なのか、それとも掛け算が必要なのか、ということを丁寧に考えることが大切です。
✔係数をなくすときは逆数を掛ける
✔「移項」するときは符号を逆にする
✔「係数を1にすること」と「移項」の区別をしっかりつける
等式の変形の例題
()を含む問題
例題:次の等式を[]内の文字について解きなさい。
4(3x+y)=8k [y]
()を含む問題は、2つの方法で解くことができます。
1つは分配法則で()を外してから計算する方法で、もう1つは()の外に掛けられている数で両辺を割ってから計算する方法です。
まず、分配法則で()を外してから計算する方法で解いていきます。
分配法則を使って()を外すと、左辺は4(3x+y)=12x+4yとなります。
そして、最終的に「y=〇〇」という形にしたいので、移項やyの係数をなくす作業を行うと、
4(3x+y)=8k
12x+4y=8k
4y=-12x+8k
y=-3x+2k
となります。
次に、()の外に掛けられている数で両辺を割ってから計算する方法でも解いてみます。
例題で()の外に掛けられている数は4なので、両辺を4で割ります。
前で説明した通り、「割る」のではなく「逆数を掛ける」と考えるので、今回は1/4を掛けます。
そして、前の方法と同様に「y=〇〇」という形に調整していくと、
4(3x+y)=8k
3x+y=2k
y=-3x+2k
となります。
したがって、答えは、y=-3x+2kです。
分数を含む問題
例題:次の等式を[]内の文字について解きなさい。
a/4+b/9=2[a]
分数を含む問題は、係数をなくすときの計算ミスに注意することが大切です。
「割る」のではなく「掛ける」という意識を持って問題を解いていきましょう。
まず、例題ではaについて解くので、「a=〇〇」の形にすることを目指します。
aには1/4が係数として掛けられているので、逆数である4を掛けることで係数をなくします。
そうすると、
a/4+b/9=2
a/4=-b/9+2
a=4b/9+8
となります。
したがって、答えは、a=4b/9+8です。
ルートが含まれる問題
例題:次の等式を[]内の文字について解きなさい。
2√x+y=12[x]
ルートが含まれる問題は、まずルートを外すことが大切です。
ルートを外すには、その項を2乗すれば良いので等式の両辺を2乗します。
ルートが含まれていることで複雑に思えるかもしれませんが、ルートを外すことができればその後の作業はこれまでの問題と同様です。
例題の等式を「x=〇〇」の形にすると、
2√x+y=12
2√x=12-y
(2√x)²=(12-y)²
4x=y²-24y+144
x=y/4-6y+36
となります。
したがって、答えは、 x=y/4-6y+36です。
✔()を含む問題は分配法則を使って()を外す
✔分数を含む問題は逆数を掛ける
✔ルートを含む問題は2乗してルートを外す
中学生向けにおすすめの家庭教師
【マンツーマン指導】家庭教師のトライ
特徴・授業形態
家庭教師のトライの特徴は、オーダーメイドカリキュラムに沿った指導です。
高校受験対策や定期テスト対策といった、お子様一人一人の目標に合わせて最適なカリキュラムを作成します。
また、授業形態は完全マンツーマン指導です。
授業日程は夜の遅い時間帯や土日の指定も可能なので、部活や習い事との両立をすることができ、安心です。
また、完全マンツーマン指導だからこそ、質問がしやすく授業に集中できる環境が整えられているといえます。
家庭教師のトライの春期講習
家庭教師のトライは、春期講習を実施しています。
春期講習の概要は、以下の通りです。
【2025年】家庭教師のトライの春期講習情報 | |
---|---|
対象学年 | 小学生・中学生・高校生 |
お申込み期間 | 2025/1/14(火)~2025/3/31(月)まで |
キャンペーン | |
料金 | \1ヶ月分の授業料無料/ お見積もりシミュレーションはこちら⇒ |
展開地域 | 全国47都道府県で対応可能 詳細はこちら⇒ |
資料請求 | 「資料請求」で春期講習の詳細を確認する⇒ |
家庭教師のトライの春期講習は、2025年1月14日(火)~3月31日(月)まで実施しています。
家庭教師のトライでは、春の2大応援キャンペーンとして、
大変お得なキャンペーンを実施していますので、家庭教師のトライへの入会を検討している方は、ぜひ春期講習期間にお申込みすることをおすすめします。
- 目標や悩みに合わせた講師を選べる
- 最適なオーダーメイドカリキュラム
- 教育プランナーによる徹底サポート
家庭教師のトライでは、お子さまの目標や学習状況、正確に合わせて先生を幅広く選ぶことができます。
万が一先生とお子さまとの相性が合わない場合は、何度でも無料で交代することが可能です。
そして、目標や志望校に合わせたオーダーメイドカリキュラムが作成されるため、成績向上に繋がります。
また、家庭教師のトライはお子さまとご家庭を丁寧にサポートするため、春休み中のお子さまの学習サポートは安心です。
家庭教師のトライの春期講習の費用・料金
以下では、家庭教師のトライの春期講習の費用・料金をご紹介します。
家庭教師のトライの春期講習の料金 | |
---|---|
入会金 | 通常11,000円のところ 今なら無料! |
授業料 | \1ヶ月分の授業料無料/ お見積もりシミュレーションはこちら⇒ |
家庭教師のトライでは、一人ひとりに合わせてカリキュラムが作成されます。
そのため、料金がお子さまごとに異なります。
家庭教師のトライの授業料は、お見積もりシミュレーションより簡単30秒でお見積もりをすることが出来るため、授業料の詳細が気になる方はご確認ください。
また、家庭教師のトライは春期講習キャンペーンにより、
大変お得なこの機会に、ぜひお申し込みください。
家庭教師のトライの春期講習のコース
以下では、家庭教師のトライが実施している学年別のコースについてご紹介します。
学年 | コース |
---|---|
高校生 詳しいコース内容はこちら⇒ |
大学受験対策コース |
英語資格試験対策コース | |
医/歯/薬受験対策コース | |
定期テスト/内申点対策コース | |
中学生 詳しいコース内容はこちら⇒ |
受験対策コース |
中高一貫校サポートコース | |
苦手科目克服コース | |
定期テスト/内申点対策コース | |
小学生 詳しいコース内容はこちら⇒ |
私立中学受験対策コース |
学習基礎固めコース | |
学習習慣の定着コース | |
中学学習の先取りコース |
家庭教師のトライでは、上記の他にも様々なコースが用意されています。
どのコースを選択するかはお子さま次第であるため、まずはお子さまの目標や悩みを相談してみてください。
春期講習に関する相談は、以下の公式サイトより簡単にお問い合わせをすることが出来ます。
気になる方は、お気軽にお問い合わせください。
家庭教師のトライの春期講習の流れ
家庭教師のトライの春期講習の授業開始までの流れは以下の通りです。
- お問い合わせ
- 正社員の教育プランナーによる学習相談
- 教師の決定
- 授業開始
オンライン相談が可能です。
まずは、以下の公式サイトのフォームより資料請求や学習相談を行ってください。
スマホやPCから簡単に確認できる電子パンフレットがすぐ送られてくるため、ぜひお気軽にお問い合わせください。
学習相談では、お子さまの学習状況を丁寧にヒアリングし、学習法などのアドバイスが行われます。
また、お子さまのためのオーダーメイドカリキュラムも作成し、お見積もりや入会を行います。
そして、教育プランナーである「トライさん」によって、幅広い教師陣の中から最適な教師が選択されます。
初回授業の際には、教師だけでなく、担当の教育プランナーもフォローするため安心です。
家庭教師のトライの春期講習をご検討されている方は、以下の公式サイトよりお申し込みください。
料金とコースについて
家庭教師のトライの中学生向けコースは、中学生のコースと高校受験対策コースの2つです。
高校受験対策コースは、お子様一人一人の志望校の出題傾向に合わせてカリキュラムを組むので、志望校合格に向けて効率よく学習を進めることができます。
また、中学生のコースでも、一人一人の目標に合わせて個別カリキュラムを組むので、細かいコースに分かれていなくても希望に沿った指導を受けることができます。
また、料金は非公開となっていますので、詳しくは直接お問い合わせいただくことをおすすめします。
合格実績と評判・口コミ
家庭教師のトライの合格実績 | |||
---|---|---|---|
灘高等学校 | 筑波大学附属高等学校 | 開成高等学校 | 慶應義塾高等学校 |
西高等学校 | 戸山高等学校 | 旭丘高等学校 | 明和高等学校 |
家庭教師のトライの合格実績は、上記の表のようになっています。
私立の名門といわれる高校はもちろん、公立の難関校への合格者も多数輩出していることが分かります。
家庭教師のトライの評判・口コミは、以下のようなものが見られます。
トライの先生は、自分がわからないところや苦手なところをピンポイントで教えてくださったので、とても効率よく勉強することができました。
マンツーマンのおかげで、長時間の授業も無理なく進めることができました。
家庭教師のトライは、マンツーマン指導が人気を得ています。
1対1だからこそ、自分の分からないところを徹底して取り組むことができるうえ、長時間の授業も楽しく受けることができるようです。
✔家庭教師のトライは完全マンツーマン指導
✔オーダーメイドカリキュラムによる指導が魅力
✔難関校への合格実績も豊富
東京個別指導学院
東京個別指導学院の基本情報 | |
---|---|
対象学年 | 小学生/中学生/高校生 |
展開地域 | 東京都、神奈川県、埼玉県、千葉県、愛知県、京都府、大阪府、兵庫県、福岡県 |
授業形態 | 個別指導 |
特徴 | 定期テストから受験合格まで一人ひとりに合わせた指導 |
忙しい中学生も通いやすい環境
東京個別指導学院は日々の部活や習い事が忙しい中学生におすすめです。
時間割の自由度高い点や、急な用事があっても事前に連絡することで無料で振り替えを行ってもらえるため、塾を休んでしまって無駄に費用が発生したということも起こりません。
部活後に塾に行くことも可能なため、忙しい生徒でも無理なく塾に通うことが可能です。
高校受験に強い個別指導塾
東京個別指導学院は高校受験対策に強い個別指導塾です。
生徒一人ひとりの学力状況や志望校の難易度によって、適用した指導を行うため、第一志望合格を見据えて受験対策することが可能です。
個別指導なため、自由度も高く苦手科目と得意科目のバランスをうまくとりながら、学習を管理してもらえる点も東京個別指導学院の強みとなっています。
東京個別指導学院の春期講習
東京個別指導学院では、今年も春期講習を実施しています。
春期講習の概要は以下の通りです。
東京・関西個別指導学院の春期講習概要 | |
---|---|
日程 | 2025年3月18日〜2025年4月7日 |
指導形態 | 個別指導 |
対象学年 | 小学生・中学生・高校生 |
対象科目 | 全科目 |
時間割 | 自由に時間帯・通塾回数を設定可能 |
料金 | \ 授業料シュミレーション |
東京個別指導学院では、2025年3月18日から2025年4月7日まで春期講習を実施しています。
春休みの間に苦手を克服したい方や、部活や習い事と両立しながら通塾したい方や、受験対策をしたい方など、さまざまな要望に合わせてオーダーメイドで春期講習を行っています。
時間割や授業回数も自由に組むことができるので、部活や習い事の予定が入っていても東京個別指導学院の春期講習なら問題なく通うことができます。
新しい学年になり通塾を考えている方も、東京・関西個別指導学院の春期講習であれば入会金無料で1科目から受講できるので、安心して通塾をスタートできます。
東京・関西個別指導学院の春期講習の料金は以下の通りです。
東京・関西個別指導学院の春期講習の料金 | |
---|---|
入会金 | |
授業料 | 授業料シュミレーションで確認⇒ |
教材費 |
東京・関西個別指導学院は、入会金が
そのため、春期講習だけ東京・関西個別指導学院に通いたいという方も、入会金を払う必要がないため、どなたでも通いやすい講習となっています。
授業料は、オーダーメイドのカリキュラムにより一人ひとり金額がことなるため、詳細は公表されていませんが、公式サイトにある無料でできる「授業料シュミレーション」を使えば、授業料を確認することができます。
ぜひ公式サイトから、授業料を確認してみましょう。
ここからは、学年別で、東京・関西個別指導学院の春期講習の指導内容を見ていきましょう。
春期講習のコース内容の一例 | |
---|---|
小学生のコース コースの詳細を確認する (公式サイトへ) |
・総復習や苦手克服 ・中学受験 ・学習習慣定着など |
中学生のコース コースの詳細を確認する (公式サイトへ) |
・苦手克服や学力アップ ・高校受験対策 ・新学習指導要領に応じた学習補強など |
高校生のコース コースの詳細を確認する (公式サイトへ) |
・一般選抜 ・推薦型選抜、学校推薦型選抜 ・資格検定対策 ・内部進学対策など |
①大学入試対策
②苦手克服・勉強法改善
③内部進学・帰国生対策
④進路指導・出願戦略
高校生の春期講習のポイントは4つあります。
東京・関西個別指導学院は豊富な指導実績と確かな合格実績を持っています。
ベネッセグループが持っている情報力と、35年以上の指導実績があり、目標から逆算をして一人一人に最適なプランを提供します。
評定アップや英語資格のスコアアップの対策も可能です。
有利な入試にするために、フォローします。
双方の対話型授業で、「思考力・判断力・表現力」を養います。
春休みの期間を利用し、家庭での学習や勉強方法など根本から見直して、より効果的な学習ができるように指導しています。
定期テストに向けて、基礎固めや学習の課題を解消することができます。
私立の学校や中高一貫校など通学校の独自のカリキュラムや教材に合わせて、個別指導でサポートが可能です。
帰国生入試や一時帰国中の生徒向けの対策も行っています。
短期間でも成果へと導く学習計画を立ててくれるので、春休みを有効活用できます。
大学別の入試制度や出題傾向などの最新情報を把握しており、受験や進路指導に必要なデータを提供してくれます。
志望校選びをするところから、受験で勝てる合格戦略をアドバイスしてくれます。
- 現役合格で本格的に入試対策をしたい
- 最適な情報提供&進路指導を希望
- 中高一貫や私立に合わせて対策したい
- 復習&苦手克服して新学年を迎えたい
- 推薦から一般入試まで対策したい
- 内部進学の対策もしてほしい
さまざまなお悩みを持った方に通っていただけるよう、東京・関西個別指導学院では、多様な指導プランをご用意しています。
高校生学習プラン例 | |
---|---|
大学入試対策スタートプラン | 志望校別対策プラン |
共通テスト対策プラン | 総合型・推薦型対策プラン |
英語資格・検定対策プラン | 私立・内部進学対策プラン |
苦手克服・評定UPプラン | 総復習&新学年準備プラン |
部活両立プラン | 帰国生サポートプラン |
上記のプランは一例になります。
春休みを有効活用して力をつけたい方は、ぜひ東京・関西個別指導学院の春期講習をお申し込みください。
①高校受験対策・苦手克服
②私立・中高一貫校対策
③学習習慣・勉強法改善
ベネッセグループの情報力や、35年以上の指導実績を活用して、最新の情報や分析したデータをもとに、学習計画を立てていきます。
講師一人に生徒が二人までの対話型授業を行い、「思考力・判断力・表現力・英語力」を養うことで、得点力アップや成績の上場、受験への土台作りを行っています。
中高大一貫校や私立学校などの独自の進度やカリキュラムを扱っている学校でも、一人ひとりに合わせたオーダーメイドのカリキュラムで対策をすることができます。
帰国正や一時帰国生向けの短期集中プランもあり、春休みの短い期間で、効率的に通うことができます。
春休みの期間を使って、家庭学習や勉強法の見直しをしています。
春期講習の期間は、校舎が午前中から下降しているので、学習リズムが途切れずに集中することができます。
また、授業がある日以外も利用できる自習スペースを活用できます。
- 現役合格で本格的に入試対策をしたい
- 最適な情報提供&進路指導を希望
- 中高一貫や私立に合わせて対策したい
- 復習&苦手克服して新学年を迎えたい
- 推薦から一般入試まで対策したい
- 内部進学の対策もしてほしい
さまざまなお悩みを持った方に通っていただけるよう、東京・関西個別指導学院では、多様な指導プランをご用意しています。
中学生学習プラン例 | |
---|---|
高校受験対策スタートプラン | 復習&新学年準備プラン |
苦手科目克服集中プラン | 内申点UPプラン |
内部進学対策プラン | 中高一貫・私立校プラン |
英語資格・検定プラン | 読解力&応用力教科プランプラン |
部活両立プラン | 帰国生サポートプラン |
上記のプランは一例になります。
春休みを有効活用して力をつけたい方は、ぜひ東京・関西個別指導学院の春期講習をお申し込みください。
①中学受験対策・進路指導
②苦手克服・学力向上
③学習習慣&勉強法改善
志望校選びから出願の戦略まで、ベネッセグループの情報力と35年以上の指導実績を活かして、学習の目標に合わせた対策方法や学習プランを提案してくれます。
一人一人に合わせた合格戦略プランで、塾での学習だけではなく、家庭学習や精神面でのケアまで、多角的なサポートを行っております。
講師1人に対して生徒2人までの指導形態を採用し、双方向型の対話を重視した授業を実施することで、「思考力・判断力・表現力・英語力」を養います。
一人一人の学習計画を立てることで、効率よく苦手や学習のつまづきを解消していきます。
春休みの期間を活用し、勉強の方法や学校の宿題まで指導します。
休みの期間を使って学習方法を見直すことで、新学年になっても効率よく学習ができるようサポートします。
また、講習期間は校舎が午前中から空いているので、学習リズムを維持しやすいです。
- 休み中に復習&苦手克服して新学年を迎えたい
- 勉強へのやる気&学習習慣を身につけたい
- 中学受験も視野に、基礎固めをしておきたい
- 英語の先取り学習をさせたい
- 他塾の授業や宿題のフォローをしてほしい
- 算数の文章題や国語の読解力が不安
さまざまなお悩みを持った方に通っていただけるよう、東京・関西個別指導学院では、多様な指導プランをご用意しています。
小学生学習プラン例 | |
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中学受験対策プラン | 復習&新学年準備プラン |
苦手克服短期集中プラン | 学習習慣定着プラン |
中学入学準備プラン | 復習・基礎固めプラン |
英語先取りプラン | 内部進学・成績UPプラン |
中学受験他塾フォロープラン | 帰国生サポートプラン |
上記のプランは一例になります。
春休みを有効活用して力をつけたい方は、ぜひ東京・関西個別指導学院の春期講習をお申し込みください。
上記は一例になります。
東京・関西個別指導学院は、上記のコース以外にもそれぞれの目的や目標に合わせて、柔軟に指導内容を設定しています。
学習プランや指導内容でご相談がある方は、ぜひ東京・関西個別指導学院までお問合せください。
まとめ
今回は、等式の変形について例題を交えながらおさらいしました。
等式の変形の解き方は、等式がどんなに複雑なものになっても基本的には同じです。
まずは基礎的な問題で解き方を確認してみてください。
分配法則や複雑な分数の計算を使って解かなければならない問題も多く、難しいと感じるかもしれませんが、何回も繰り返し演習することで徐々にできるようになっていくはずです。
また、係数をなくすときの計算ミスや移項するときの符号ミスは、してしまうともったいないので特に気を付けるようにしましょう。
解き終わった後に見直しを忘れずにすることが大切です。
今回は、中学生で習う等式の変形について取り上げましたが、高校生ではもっと応用的な等式の変形を学習することになります。
高校生になって苦労しないためにも、今のうちからしっかり理解を深めておきましょう。
この時点で苦手意識をなくすことができれば、受験勉強の際もスムーズに取り組むことができると思います。
中学生におすすめの家庭教師についても少し紹介しているので、ぜひ参考にしてみてください。
自分一人で苦手を克服するのが難しいと考えている方は、家庭教師も上手に活用して成績UPを目指しましょう!
【初心者でもわかる】この記事のまとめ
「等式の変形」に関してよくある質問を集めました。
等式の変形の問題を解くコツは?
解き方のポイントとしては、求めたい文字の係数を1にするために、係数の逆数を掛けるという考え方が重要です。また、符号えお逆にすることを指す「移項」の作業との区別もしっかりとつけておきましょう。
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